初中数学人教版八年级上册14.1 整式的乘法综合与测试优秀教学设计

这是一份初中数学人教版八年级上册14.1 整式的乘法综合与测试优秀教学设计，共19页。教案主要包含了知识导图等内容，欢迎下载使用。

第10讲


讲























整式乘法












































概 述








【知识导图】











教学过程





一、导入








复习预习


1.求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。例如an这个表达式中，a是底数，n是指数，an又读作a的n次幂


2.乘方的性质：负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数，正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是零，例如(-1)2=1,(-1)-1=-1等





二、知识讲解








考点1








同底数幂的乘法法则：一般地，对于任何底数a与任何正整数m、n，


=因此我们有am﹒an=am+n（m，n都是正整数）


即同底数幂相乘，底数不变，指数相加。


注意：（1）三个或三个以上同底数幂相乘，法则也适用。即am×an×﹒﹒﹒×ap=am+n+﹒﹒﹒+p


(m，n，...,p都是正整数)


（2）不要忽略指数为1的因数


（3）底数不一定只是一个数字或一个字母


注意法则的逆用，即am+n=am﹒an（m，n都是正整数）


考点2








幂的乘方的的意义：幂的乘方是指几个相同的幂相乘。


幂的乘方法则：一般的，对于任意底数a与任意正整数m，n，因此，我们有(am)n=amn（m，n都是正整数）


即幂的乘方，底数不变，指数相乘。


注意：(1)法则可推广为[(am)n]p=amnp（m，n,p都是正整数）


(2)此法则可以逆用amn=(am)n=(an)m（m，n都是正整数）


考点3








积的乘方法则：一般的，对于任意底数a,b与任意正整数n，


因此，可得出(ab)n=anbn（n是正整数）


即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。


注意：(1)三个或三个以上因式的积的乘方，也具有这一性质.例如(abc)n=anbncn


(2)此法则可逆用：anbn=(ab)n


考点4








发现、总结


1.问题：光的速度约为3×105千米/秒，太阳光照射到地球上需要的时间大约是5×102秒，你知道地球与太阳的距离约是多少千米吗?


解答：(3×105 )×(5×102 )=(3×5)×(105 ×102 )=15×107


如果将上式中的数字改为字母，即ac5·bc2，我们可以得到


ac5·bc2 =(a·c5)·(b·c2) =(a·b)·(c5·c2) =abc5+2=abc7根据上式总结出单项式与单项式相乘的方法


2.问题：三家连锁店以相同的价格m(单位：元/瓶)销售某种商品，它们在一个月内的销售量(单位：瓶)，分别是a,b,c。请用不同方法计算它们在这个月内销售这种商品的总收入


一种方法是先求三家连锁店的总销售量，再求总收入，即总收入为m(a+b+c),另一种方法是先分别求三家连锁店的收入，再求它们的和，即总收入为ma+mb+mc,所以：


m(a+b+c)= ma+mb+mc ,根据上式总结出单项式与多项式相乘的方法


3.问题：为了扩大绿地面积，要把街心花园的一块长a米，宽m米的长方形绿地增长b米，加宽n米，求扩地以后的面积是多少？用两种方法表示扩大后绿地的面积。





方法一：这块花园现在长(a+b)米，宽(m+n)米，因而面积为(a+b)(m+n)米2．


方法二：这块花园现在是由四小块组成，它们的面积分别为：am米2、an米2、bm米2、bn米2，故这块绿地的面积为(am+an+bm+bn)米2． (a+b)(m+n)和(am+an+bm+bn)表示同一块绿地的面积，(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn，根据上式总结出多项式与多项式相乘的方法





考点5








结合以上情形，我们可以得到单项式与单项式、单项式与多项式、多项式与多项式相乘的乘法法则，即


1.单项式与单项式相乘的乘法法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。


2.单项式与多项式相乘的乘法法则：单项式与多项式相乘，就是先用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。用式子表示为m(a+b+c)= ma+mb+mc(m,a,b,c都是单项式)


3.多项式与多项式相乘的乘法法则: 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。用式子表示为(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn





考点6








同底数幂的除法法则：一般地，我们有am÷an=am-n（a≠0,m，n都是正整数，并且m>n）


即同底数幂相除，底数不变，指数相减。


注意：


（1）底数a可以是单项式，也可以是多项式，但底数a不能为0，则除数为零，除法就没有意义了


（2）当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质，例如am÷an÷ap=am-n-p（a≠0,m，n，p是正整数，并且m>n+p）


（3）应用这一法则时，必须明确底数是什么，指数是什么，然后按照同底数幂除法法则进行计算


（4）同底数幂的除法和同底数幂的乘法是互为逆运算


考点7








零指数幂的性质：同底数幂相除，如果被除式的指数等于除式的指数，例如am÷am，根据除法的意义可知所得的商为1，另一方面，如果按照同底数幂的除法来计算，又有am÷am=am-m


=a0


于是规定：a0=1（a≠0）


即任何不等于0的数的0次幂都等于1


注意：任何一个常数都可以看作与字母0次方的积，因此常数项可以看作是0次单项式





三 、例题精析








类型一 同底数幂相乘





例题1








计算（1）104×102 （2）(-b)3×(-b)2（3）xm+2﹒xm+1﹒xm﹒x


【答案】（1）104×102=104+2=106


（2）(-b)3×(-b)2=(-b)3+2=(-b)5


（3）xm+2﹒xm+1﹒xm﹒x=xm+2+m+1+m+1=x3m+4


【解析】三个题中，每个题中幂的底数都相同，根据同底数幂的运算法则同底数幂相乘，底


数不变，指数相加计算即可。





例题2








计算(1)(a+3)﹒(a+3)2﹒(a+3)5(2)(-x)﹒x2﹒(-x)3(3)(2a-3b)3﹒(3b-2a)4


【答案】(1)(a+3)﹒(a+3)2﹒(a+3)5=(a+3)1+2+5=(a+3)8


(2)(-x)﹒x2﹒(-x)3=-y﹒y2﹒（-y3）=y1+2+3=y6


(3)(2a-3b)3﹒(3b-2a)4=(2a-3b)3﹒(2a-3b)4=(2a-3b)3+4=(2a-3b)7


【解析】题（1）中把a+3看成一个整体，同样适用于同底数幂的乘法法则；题(2)中第二个


幂的底数与其它两个互为相反数，通过幂的运算转化为同底数后后进行计算；题（3）同题（2）一样底数互为相反数，通过幂的乘方符号法则转化运算转化成同底数幂后运用同底数


幂的运算法则进行计算。


注意：（1）同底数幂相乘时，底数可以是单项式，也可以是多项式


（2）幂的运算中经常用到的变形


，








例题3





(1)若am=2,an=5,则am+n=________.(2)已知3y=4，则3y+2=_______.


【答案】(1)am=2,an=5,am+n=am﹒an=2×5=10


(2)3y=4，则3y+2=3y﹒32=4×9=36


【解析】此例题运用了同底数幂的乘法法则，将所求转化为同底数幂的乘法然后整体代入求


值，体现了整体思想的应用。


类型二 幂的乘方





例题4








计算(1)(a2)3 (2)(xm-1)3 (3)[(-y)4]5


【答案】(1)(a2)3=a2×3=a6


(2)(xm-1)3 =x3(m-1)=x3m-3


(3)[(-y)4]5 =(-x)4×5=(-x)20=x20


【解析】根据幂的乘方法则，幂的乘方，底数不变，指数相乘计算即可





例题5








已知am=2，求a2m-a4m的值。


【答案】a2m-a3m==22-23=4-8=-4


【解析】此题逆用幂的乘方法则，将a2m-a3m转化为(am)2-(am)3后，把am=2整体代入求值即


可解答。





例题6








计算(1)(-2a2b)2 (2)-(-3xy2)4 (3)(-a3b2)3


【答案】(1)(-2a2b)2 =(-2)2﹒(a2)2﹒b2=4a4b2


(2)-(-3xy2)4 =-(-3)4﹒x4﹒(y2)4=-81x4y8


(3)(-a3b2)3=(-1)3﹒(a3)3﹒(b2)3=-a9b6


【解析】按照积的乘方的运算法则，把积中的每一个因式分别乘方即可。











类型三 积的乘方





例题7





计算(1)46×(0.25)6 (2)


【答案】(1)46×(0.5)6 =(4×0.25)6=16=1


(2)==(-1)1013=-1


【解析】此题若先算乘方，运算量太大，注意到4×0.25=1，，即


两底数的积容易求出.而指数又是相同的，故可逆用积的乘方的法则简便计算。


类型四 单项式乘单项式





例题8








计算(1)3x2﹒4x (2)2xy2﹒6x2y


【答案】(1)3x2﹒4x=3×4﹒x2+1=12x3


(2)2xy2﹒6x2y=2×6﹒x1+2y2+1=12x3y3





例题9


【解析】直接运用单项式与单项式相乘的乘法法则计算即可。





计算(1)(-xy2z3)2﹒(-x2y)3 (2)(2x3y)2﹒x3y+(-4x6)(-xy)3


【答案】(1)(-xy2z3)2﹒(-x2y)3 =x2y4z6﹒(-1)x6y3=-x8y7z6


(2)(2x3y)2﹒x3y+(-4x6)(-xy)3=4x6y2﹒x3y+(-4)﹒x6﹒(-1)﹒x3y3=4x9y3+4x9y3=8x9y3


【解析】先根据积的乘方法则进行计算，再直接运用单项式与单项式相乘的乘法法则计算，题(2)最后还要合并同类项


类型五 单项式乘多项式





例题10








计算(1)3x(x-1) (2)2x(3a+4b) (3)(x2y-2xy+y2)﹒(4xy)


【答案】(1)3x(x-1)=3x2-3x


(2)2x(3a+4b)=6xa+8xb


(3)(x2y-2xy+y2)﹒(4xy)=4x3y2-8x2y2+4xy3


【解析】直接运用单项式与多项式相乘的乘法法则计算即可


类型六 多项式乘多项式





例题11





计算(1)(3a+1)(a-3) (2)(2a+b)(a-2b) (3)(x-y)(x2+xy+y2)


【答案】(1)(3a+1)(a-3)=3a2-9a+a-3= 3a2-8a-3


(2)(2a+b)(a-2b)=2a2-4ab+ab-2b2=2a2-3ab-2b2


(3)(x-y)(x2+xy+y2)=x3+x2y+xy2-x2y-xy2-y3=x3-y3


【解析】首先运用多项式与多项式相乘的乘法法则计算，最后一定注意合并同类项





例题12








计算：


①； ②；





③； ④.


【答案】①；②；③；④.


【解析】根据同底数幂的除法法则即同底数幂相除，底数不变，指数相减计算即可。





例题13








计算(1)(x-2y)5÷(2y-x)2 (2)(-a)5÷a2 (3)(-ab)4÷(-a2b2)


【答案】(1)(x-2y)5÷(2y-x)2=)(x-2y)5÷(x-2y)2=(x-2y)5-2=(x-2y)3


(2)(-a)5÷a2=-a5÷a2=-a3


(3)(-ab)4÷(-a2b2)=(ab)4÷[-(ab)2]=-(ab)4-2=-(ab)2=-a2b2





例题14


【解析】底数不同，通过幂的乘方符号法则转化为同底数幂,再根据同底数幂的除法法则进行计算





若式子(x-2)0有意义，求x的取值范围


【答案】x-2≠0，x≠2


【解析】由零指数幂的意义可知，只要底数不等于零即可








例题15








已知ax=6，ay=2，求ax-y，a2x-y.


【答案】ax-y=ax÷ay=6÷2=3 a2x-y=a2x÷ay=(ax)2÷ay=62÷2=36÷2=18


【解析】根据同底数幂的除法的逆用及幂的乘方法则即可计算出结果





例题16





若，求的值.


【答案】∵32﹒(32)2a+1÷(33)a+1=32﹒34a+2÷33a+3=32+4a+2-3a-3=3a+1=81=34∴a+1=4∴a=3


【解析】等式左边底数都不相同，首先转化成同底数幂的形式，再根据同底数幂的乘法和除法法则进行计算，等式右边转化成与左边同底数的形式列出等量关系解答出结果。





四 、课堂运用








基础








1、计算：（1）；（2）；（3）


2、计算：（1）；（2）；（3） ；（4）


3、计算：（1）；（2）；（3）





答案与解析


【答案】1解：（1）


（2）


（3）


2 解：（1）


（2）


（3）


（4）


3解：（1）


（2）


（3）





提升








1、计算：（1）；（2）


2、计算（1）；（2）


3、计算：


答案与解析


【答案】 1解：（1）


2）





（2）





3











拔高








1、计算：（1）；（2）；


（3）；（4）





2、计算：（1）；（2）；（3）（用简便运算）








3、计算：（1）；（2）


答案与解析


【答案】1、解：（1）


（2）


（3）


（4）


2、解：（1）


（2）


（3）


3、解：（1）





（2）








五、课堂小结











1.同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即am﹒an=am+n（m，n都是正整数）


2.幂的乘法法则：即幂的乘方，底数不变，指数相乘，即(am)n=amn（m，n都是正整数），


3.积的乘方法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即(ab)n=anbn（n是正整数）


六、课后作业











基础








1．下列计算正确的是（ ）


A．x+x=2x2B．x3•x2=x5C．（x2）3=x5D．（2x）2=2x2


2.先化简，再求值：（x-1）（x+1）-x（x-3），其中x=3．























3.（1）；（2）




















答案与解析


【答案】1、解：A、x+x=2x≠2x2，故本选项错误；B、x3•x2=x5，故本选项正确；C、（x2）3=x6≠x5，故本选项错误；


D、（2x）2=4x2≠2x2，故本选项错误．故选：B．


2、解：原式=x2-1-x2+3x=3x-1，当x=3时，原式=9-1=8．


3、解





巩固








已知x-y=2，y-z=2，x+z=14,求x2-z2的值











3.


答案与解析


【答案】


1、解：因为x-y=2，y-z=2，将两式相加得x-z=4，所以x2-z2=（x+z）(x-z)=14×4=56.


2、





3、





拔高








1.为了交通方便，在一块长为am，宽为bm的长方形稻田内修两条道路，横向道路为矩形，纵向道路为平行四边形，道路的宽均为1m(如图)，则余下可耕种土地的面积是_______________m2.














2.请看杨辉三角（1），并观察下列等式（2）：








根据前面各式的规律，则（a+b）6=．


答案与解析


【答案】1、解答：.


2、解答：a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6．





七 、教学反思


适用学科
初中数学
适用年级
初中二年级
适用区域
人教版
课时时长（分钟）
120
知识点
1、同底数幂的乘法；幂的乘方；积的乘方


2、单项式乘以单项式；单项式乘以多项式；多项式乘以多项式


3、同底数幂的除法；零指数指数幂
教学目标
1.熟记同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方的运算法则，会结合实际问题进行基本运算；发展推理能力和有条理的表达能力。理解单项式与单项式、单项式与多项式、多项式与多项式相乘的乘法法则，并能熟练地运用这些法则进行相关的运算；了解同底数幂的除法运算性质，并解决一些实际问题，通过归纳规律猜想出零指数幂的意义


2.通过自己的计算和归纳概括，得到同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方的运算法则；发展学生的推理能力和表达能力，能熟练灵活地运用法则进行整式的运算，培养学生的数学能力。通过同底数幂除法运算法则的导出及运用，让学生体会知识具有普遍联系性和相互转化性，通过同底数幂除法运算，培养学生的运算能力


3.在发展推理能力和有条理的表达能力的同时，体会学习数学的兴趣，培养学习数学的信心。
教学重点
同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方的运算法则；单项式与单项式、单项式与多项式、多项式与多项式相乘的乘法法则的灵活运用；同底数幂除法法则的探索和应用，理解零指数指数幂的意义
教学难点
同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方的综合应用；多项式与多项式相乘的乘法法则的运用；理解零指数指数幂的意义