【精品讲义】 人教版 八年级上册数学 第09讲 期中复习（讲义+练习）学生版

这是一份数学八年级上册本册综合优秀教案，共26页。教案主要包含了知识导图，如图（1）等内容，欢迎下载使用。

第9讲


讲























期中复习












































概 述








【知识导图】

















教学过程





一、导入








复习预习


1、复习三角形的相关性质


2、复习三角形全等的几种证明方法


3、复习角平分线的相关性质及判定方法


4、复习轴对称图形的性质


5、复习等腰三角形，等边三角形的相关性质


6、复习最短路径问题








二、知识讲解








考点1三角形的相关概念








1、不在一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形


2、组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角，相邻两边的公共端点是三角形的顶点


3、三角形ABC用符号表示为△ABC。三角形ABC的顶点C所对的边AB可用c 表示,顶点B所对的边AC可用b表示,顶点A所对的边BC可用a表示.


4、三角形的分类








考点2三角形三边的关系








三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边





考点3与三角形有关的线段念








从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在的直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的高，表示为AD⊥BC于点D。


注意：高与垂线不同，高是线段，垂线是直线。


再画出这个三角形AB 、AC边上的高，三角形的三条高相交于一点。


如图，我们把连结△ABC的顶点A和它的对边BC的中点D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线，表示为BD=DC或BD=DC＝BC或2BD=2DC=BC.


在图中画出△ABC的另两条边上的中线，三角的三条中线相交于一点。





三角形的三条中线相交于一点，交点叫做三角形的重心。


如图，画∠A的平分线AD，交∠A所对的边BC于点D，所得线段AD叫做△ABC的角平分线,表示为∠BAD=∠CAD或∠BAD=∠CAD＝∠BAC或2∠BAD=2∠CAD＝∠BAC。





三角形的角平分线是线段，而角的平分线是射线，是不一样的。三角形三个角的平分线相交于一点。


如果三角形是直角三角形、钝角三角形，上面的结论仍然成立。


考点4三角形内角和定理








三角形三个内角的和等于180°


用平行线的性质证明内角和180°


已知△ABC，求证：∠A+∠B+∠C=180°。


证明：过点C作CM∥AB，则∠A=∠ACM，∠B=∠DCM，


又∠ACB+∠ACM+∠DCM=180°


∴∠A+∠B+∠ACB=180°。


即：三角形的内角和等于180°。








考点5三角形外角的概念











∠ACD叫做△ABC的外角。也就是，三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。


三角形的外角共有六个。


注意：每个顶点处有两个外角，它们是对顶角。研究与三角形外角有关的问题时，通常每个顶点处取一个外角





三角形的外角∠ACD与相邻的内角∠ACB是邻补角。


如图，这是我们证明三角形内角和定理时画的辅助线，你能就此图说明∠ACD与∠A、∠B的关系吗？





∵CM∥AB，∴∠A=∠1，∠B=∠2，又∠ACD=∠1+∠2


∴∠ACD=∠A+∠B


三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。


三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。





考点6多边形概念








在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形（p1ygn）


多边形按组成它的线段的条数分成三角形、四边形、五边形……三角形是最简单的多边形。如果一个多边形由n条线段组成，那么这个多边形就叫做n边形。如图7.3—2，螺母底面的边缘可以设计为六边形，也可以设计为八边形。





多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。图7.3—3中的∠A、∠B、∠C、∠D、∠E是五边形ABCDE的5个内角。多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。图7.3－4中的∠l是五边形ABCDE的一个外角。








考点7多边形的对角线





连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线（diagnal）。图7.3—5中，AC、AD是五边形ABCDE的两条对角线。


特别提醒：n边形（n≥3）从一个顶点可引出（n－3）条对角线，把n边形分割成（n－2）个三角形，共有对角线条。


例如：十边形有________条对角线。在这里n=10，就可套用对角线条数公式（条）。

















考点8多边形的内角和








从四边形的一个顶点出发可以引一条对角线，它们将四边形分成两个三角形，因此，四边形的内角和=△ABD的内角和+△BDC的内角和=2×180°=360°。


从五边形一个顶点出发可以引两条对角线，它们将五边形分成三个三角形，五边形的内角和等于540°；


从六边形一个顶点出发可以引三条对角线，它们将六边形分成四个三角形，六边形的内角和等于720°；


从n边形一个顶点出发，可以引（n-3）对角线，它们将n边形分成（n-2）三角形，n边形的内角和等于（n一2）·180°。


n边形的内角和等于（n一2）·180°．





考点9全等三角形的判定








三角形全等的五种判定方法SAS、SSS、AAS、ASA、HL





考点10判定三角形全等的基本思路














……





考点11角平分线的性质及判定念








角平分线上的点到角两边的距离相等。


角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。


考点12线段的垂直平分线的尺规作图








要作出线段的垂直平分线，根据垂直平分线的判定定理，到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，又由两点确定一条直线这个公理，那么必须找到两个到线段两端点距离相等的点，这样才能确定已知线段的垂直平分线．


[例]如图（1），点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？





已知：线段AB【如图（1）】．


求作：线段AB的垂直平分线．


作法：如图（2）


(1)．分别以点A、B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C和D两点；


(2)．作直线CD．


直线CD就是线段AB的垂直平分线．


考点13等腰三角形概念








有两条边相等的三角形叫做等腰三角形


相等的两边叫做等腰三角形的腰，第三边叫做底边


腰与底边的夹角叫做底角


两腰的夹角叫做顶角


考点14三角形的特征








等腰三角形是轴对称图形


等腰三角形顶角的角平分线、底边的中线、底边上的高互相重合（也称等腰三角形三线合一），它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴





考点15等边三角形


等腰三角形的两个底角相等





（1）性质：①等边三角形各边都相等；②等边三角形各角都相等，并且都等于60°。


（2）判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形。②三个角都相等的三角形是等边三角形。③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形


特殊直角三角形


（1）含30°的直角三角形中，30°角所对的边等于斜边一半，且三边长度比为1：：2；





考点16 求直线同侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题


（2）等腰直角三角形各边长比为1：1：





求直线同侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题


讲解内容：只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，所得线段与该直线的交点即为所求的位置。





三 、例题精析











例题1








如图所示，三角形的个数是（）





A．3个 B．4个 C．5个 D．6个





例题2








用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形。


（1）如果腰长是底长的2倍，那么各边的长是多少？


（2）能围成有一边的长是4cm的等腰三角形吗？为什么？











例题3








下面四个图形中，线段BE是△ABC的高的图是（ ）


A． B．C． D．





例题4








BM是△ABC中AC边上的中线，AB=5cm，BC=3cm，求△ABM与△BCM的周长之差





例题5








如图，在△ABC中，∠BAC=40°，∠B=75°，AD是△ABC的角平分线。求∠ADB得度数。








例题6








如图，在△ABC中，∠B=47°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC=











例题7








（1）如图1，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于O．


①已知∠A=40°，求∠BOC的度数，∠A与∠BOC有怎样的数量关系？


②若∠A=n°，则∠A与∠BOC有怎样的数量关系？


（2）如图2，在△A′B′C′中，∠A′B′C′的平分线与∠A′C′B′的外角平分线相交于O′，请你探索∠A′与∠O′有怎样的数量关系？








例题8








若一个多边形截去一个角后，变成十五边形，则原来的多边形的边数可能为（ ）


A．14或15或16 B．15或16 C．14或16 D．15或16或17








例题9








如图，∠1、∠2、∠3、∠4是五边形ABCDE的4个外角．若∠A=120°，则∠1+∠2+∠3+∠4=．








例题10








如图，小华不小心把一块三角形玻璃打碎为三块，他能否只带其中一块碎片到商店，就能配出一块和原来一样的三角形玻璃？如果能，带哪一块去？为什么？

















例题11





如下图，Rt△ADC与Rt△BCD，AC=BD，求证AD=BC








例题12








已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E


求证：PD=PE．














例题13





如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DC=2，则D到AB边的距离是______





例题14








如图，△ABC中，∠ABC、∠ACB外角的平分线相交于点F，连接AF，则下列结论正确的有（）


AF平分BC B．AF平分∠BAC C．AF⊥BC D．以上结论都正确











例题15





如图，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB，若EC=1，则EF=





例题16








△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等；∠A=40°，则∠BOC=————








例题17








如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E，若△DEB的周长为10cm，求斜边AB的长








例题18








如图所示，DE是线段AB的垂直平分线，下列结论一定成立的是（ ）


A．ED=CD B．∠DAC=∠B C．∠C＞2∠B D．∠B+∠ADE=90°








例题19








如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求：△ABC各角的度数．





例题20








如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E分别在AC，AB上，且BC=BD=DE=EA，则∠A的度数为

















例题21





已知MN是线段AB的垂直平分线，下列说法正确的是（ ）


A．与AB距离相等的点在MN上


B．与点A和点B距离相等的点在MN上


C．与MN距离相等的点在AB上


D．AB垂直平分MN





例题22








下列说法中：


①P是线段AB上的一点，直线l经过点P且l⊥AB，则l是线段AB的垂直平分线；


②直线l经过线段AB的中点，则l是线段AB的垂直平分线；


③若AP=PB，且直线l垂直于线段AB，则l是线段AB的垂直平分线；


④经过线段AB的中点P且垂直于AB的直线l是线段AB的垂直平分线．


其中正确的个数有（ ）


A．1个 B．2个 C．3个 D．4个





例题23








如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，BE平分∠ABC，ED垂直平分AB于D．若AC=9，则AE的值是（）


A．63 B．43 C．6 D．4











例题24


例题24


等边三角形ABC的边长是6cm，BD是中线，延长BC至E，使CE=CD，连接DE，则DE的长是cm．





例题25








如图，将边长为2的等边三角形沿x轴正方向连续翻折2011次，依次得到点P1、P2、P3、…、P2011，则点P2011的坐标是．











例题26








如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交于BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则EF的长是（）


A．3 B．2 C． D．1














例题27








如图，△ABC是等边三角形，P是∠ABC的平分线BD上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q．若BF=2，则PE的长为（）


A．2 B．C．D．3





例题28








如图，△ABD与△AEC都是等边三角形，AB≠AC．下列结论：①BE=CD；②∠BOD=60°；③∠BDO=∠CEO，正确的是．








例题29








如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AM+NB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）








例题30








如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小.








1、本次课主要针对期中考试前学习的内容进行综合复习：


复习三角形的相关性质


复习三角形全等的几种证明方法


复习角平分线的相关性质及判定方法


复习轴对称图形的性质


复习等腰三角形，等边三角形的相关性质


复习最短路径问题








五、课后作业








基础








1．如图，点D是△ABC中∠BAC的平分线AD和边BC的垂直平分线DE的交点，DG⊥AB于点G,DH⊥AC的延长线于点H,求证：BG=CH.





2. 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE=1，则BC=（）





A. B.2 C.3 D.


3、如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC=90°，∠DAE=90°，B，C，D在同一条直线上.


求证：BD=CE.

















巩固





1.如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于点E．在△ABC外有一点F，使FA⊥AE，FC⊥BC．


（1）求证：BE＝CF；


（2）在AB上取一点M，使BM＝2DE，连接MC，交AD于点N，连接ME．


求证：①ME⊥BC；②DE＝DN





2. （1）如图1，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于O．


①已知∠A=40°，求∠BOC的度数，∠A与∠BOC有怎样的数量关系？


②若∠A=n°，则∠A与∠BOC有怎样的数量关系？


（2）如图2，在△A′B′C′中，∠A′B′C′的平分线与∠A′C′B′的外角平分线相交于O′，请你探索∠A′与∠O′有怎样的数量关系？





3. 如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AM+NB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）














拔高








1.(1)如图(1)，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明:DE=BD+CE．


(2) 如图(2)，将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=，其中为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立?如成立，请你给出证明;若不成立，请说明理由．


(3) 拓展与应用：如图(3)，D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状．








2. 某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：


（1）操作发现：


在等腰△ABC，AB=AC，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，M是BC的中点，连接MD和ME，则下列结论正确的是（填序号即可）


①AF=AG= EQ \F(1,2) AB；②MD=ME；③整个图形是轴对称图形；④MD⊥ME.


（2）数学思考：


在任意△ABC中，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，M是BC的中点，连接MD和ME，则MD与ME具有怎样的数量关系？请给出证明过程；M


（3）类比探究：


（i）在任意△ABC中，仍分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M是BC的中点，连接MD和ME，试判断△MEC的形状.答：.





（ii）在三边互不相等的△ABC中（见备用图），仍分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作（非等腰）直角三角形ABD和（非等腰）直角三角形ACE，M是BC的中点，连接MD和ME，要使（2）中的结论时仍然成立，你认为需增加一个什么样的条件？（限制用题中字母表示）并说明理由.





3. 如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小.

















六 、教学反思








适用学科
初中数学
适用年级
初中二年级
适用区域
人教版
课时时长（分钟）
120
知识点
三角形的概念；三角形三边的关系定理及推论；三角形中的主要线段；三角形内角和定理；三角形的外角性质；全等图形；全等三角形的表示和性质；全等三角形的判定；等腰三角形的判定；等腰三角形的判定；等边三角形的判定与性质；轴对称：最短路径问题
教学目标
了解三角形的意义,认识三角形的边、内角、顶点，能用符号语言表示三角形；


理解三角形三边不等的关系，会判断三条线段能否构成一个三角形,并能运用它解决有关的问题；


认识三角形的高、中线与角平分线；会画三角形的高、中线与角平分线；了解三角形的三条高所在的直线,三条中线,三条角平分线分别交于一点；掌握三角形内角和定理；理解三角形的外角；掌握三角形外角的性质，能利用三角形外角的性质解决问题


了解多边形及有关概念，理解正多边形的概念；区别凸多边形与凹多边形；了解多边形的内角、外角等概念；能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式，并会应用它们进行有关计算．


知道什么是全等形、全等三角形及全等三角形的对应元素；知道全等三角形的性质，能用符号正确地表示两个三角形全等；能熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边；掌握全等三角形的判定；应用角的平分线性质定理；轴对称：最短路径问题
教学重点
三角形的有关概念和符号表示，三角形三边间的不等关系；三角形的高、中线与角平分线；三角形内角和定理；三角形的外角和三角形外角的性质


多边形及有关概念、正多边形的概念；多边形的内角和与多边形的外角和公式；应用角的平分线性质定理．


等腰三角形的判定；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质


轴对称：最短路径问题
教学难点
用三角形三边不等关系判定三条线段可否组成三角形；三角形的角平分线与角的平分线的区别；理解三角形的外角；


区别凸多边形与凹多边形；多边形的内角和定理的推导；应用角的平分线性质定理．等腰三角形的判定；等边三角形的判定与性质


轴对称：最短路径问题