初中数学人教版八年级上册14.2 乘法公式综合与测试一等奖教学设计

这是一份初中数学人教版八年级上册14.2 乘法公式综合与测试一等奖教学设计，共20页。教案主要包含了教学建议，知识导图，总结与反思等内容，欢迎下载使用。

第11讲


讲























乘法公式












































概 述














【教学建议】


本章内容是位于人教版教材八年级上册，第14章《整式的乘法与因式分解》，14.2乘法公式。根据过往学生的认识过程来看，学生的定向思维就认为两数的和的平方等于两数的平方和，而且还容易根深蒂固，那么如何在教学中转变或是加深学生对此公式的正确认识呢？教材做了合理的安排，较好的方法是“数形结合”，借助面积相等帮助代数恒等式的学习。














【知识导图】











教学过程








一、导入








【教学建议】


导入是一节课必备的一个环节，是为了激发学生的学习兴趣，帮助学生尽快进入学习状态。


导入的方法很多，仅举两种方法：


情境导入，比如讲一个和本讲内容有关的生活现象；


温故知新，在知识体系中，从学生已有知识入手，揭示本节知识与旧知识的关系，帮学生建立知识网络。


提供一个教学设计供讲师参考：


知识复习：


1.多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项去乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。


2.计算：⑴ （x－3）（x+7） ⑵ （2a+5b）（3a－2b） ⑶ (m－n)(m2+mn+n2)

















二、知识讲解








考点1 平方差公式








【教学建议】根据样题，观察算式及运算结果，让学生归纳验证。


计算下列各题


（1）（a-3）（a+3）（2）（1+2x）（1－2x）


（3） （a+3b）（a－3b）（4）（2x+y）（2x－y）


观察以上算式及其运算结果，你有什么发现？并举例计算验证自己的猜想.


平方差公式：（a+b）(a-b)=a2-b2


两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.这个公式叫平方差公式


平方差公式的特点：


（1）左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；


（2）右边是相同项的平方减去相反相的平方


（3）公式中的a和b可以是单项式，也可以是多项式。


归纳：（a+b）(a-b)=a2-b2的8种变化形式








考点2 完全平方公式








1.发现、总结


根据乘方的定义，我们知道：a2=a·a，那么(a+b)2 应该写成什么样的形式呢？


(a+b)2的运算结果有什么规律？计算下列各式，你能发现什么规律？


（1）（p+1）2=（p+1）（p+1）=_______； （m+2）2=_______；


（2）（p-1）2=（p-1）（p-1）=________； （m-2）2=_______；


通过计算，可以得到结果：（1）（p+1）2=（p+1）（p+1）=p2 +2p+1


（m+2）2=（m+2）（m+2）= m2+4m+4


（2）（p-1）2=（p-1）（p-1）= p2-2p+1


（m-2）2=（m-2）（m-2)=m2 -4m+4


结果中有两个数的平方和，而2p=2·p·1，4m=2·m·2，恰好是两个数乘积的二倍。


（1）（2）之间只差一个符号.





2. 结合以上情形，我们得到完全平方公式：(a+b)2 =a2+2ab+b2


(a-b)2=a2-2ab+b2


即：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍．


完全平方公式的特点：公式的左边都是一个二项式的平方，二者仅有一个“符号”不同，右边都是二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，中间一项是左边二项式中两项乘积的2倍，二者也仅有一个“符号”不同。





3. 注意事项：（1）完全平方公式：(a+b)2 =a2+2ab+b2或(a-b)2=a2-2ab+b2中的a、b可以是单项式，也可以是多项式


（2）对于形如两数和（或差）的平方的乘法，都可以应用完全平方公式计算











三 、例题精析








类型一 平方差公式的应用





例题1








【总结与反思】平方差公式特征是：字母同，符号有同有异，同前异后平方差。





例题2








【教学建议】本题目在巩固定义的理解上，对于公式在数字类的简便运算中的运用，需要学生观察仔细，认真思考。


计算:（1）9.8×10.2 （2）59.8×60.2





【答案】（1）9.8×10.2 =（10-0.2）（10+0.2）=100-0.04=99.96


（2）59.8×60.2=（60-0.2）（60+0.2）=3600-0.04=3599.96





【解析】此类题注意向平方差公式形式转化，写成两个数的和与差的积的形式，使运算简便。





【总结与反思】平方差公式在数字简便运算中的运用，需要把握平方差的结构特征。














类型二 完全平方公式的应用





例题1








【教学建议】完全平方公式由多项式乘以多项式得到，属于公式的简便记忆，需要学生掌握基本结构及特征。


计算(1)（2x+3）2 (2)(a-2b)2


(3)(-x-y)2 (4)(3a+2)(-3a-2)


【答案】(1)（2x+3）2=(2x)2+2﹒2x﹒3+32=4x2+12x+9


(2)(a-2b)2=a2-2﹒a﹒2b+(2b)2=a2-4ab+4b2


(3)(-x-y)2=[-(x+y)2]=(x+y)2=x2+2xy+y2


(4)(3a+2)(-3a-2)=(3a+2)[-(3a+2)]=-(3a+2)2=-(9a2+12a+4)=-9a2-12a-4


【解析】前两题直接应用完全平方公式计算即可。后两题通过转化把各个式子转化为和完全平方公式然后利用公式进行计算，通过此例我们可以得到(-x-y)2可以直接转化为(x+y)2的形式。





【总结与反思】完全平方公式基本结构：首平方，尾平方，首尾2倍乘积在中央。注意符号，及变形，把握结构及特征。








例题2








【教学建议】本题目在巩固定义的理解上，对于公式在数字类的简便运算中的运用，需要学生观察仔细，认真思考。


计算(1)1022 (2)982





【答案】(1)1022=(100+2)2=10000+400+4=10404


(2)982=(100-2)2=10000-400+4=9604


【解析】根据数的特征，将底数转化为一个大数和一个小数和或差的形式，然后利用完全平方公式计算比较简便。





【总结与反思】完全平方公式在数字简便运算中的运用，需要把握平方差的结构特征。











类型三 乘法公式综合应用





例题1








【教学建议】乘法公式在化简及计算中的应用，需要关注各种变形，注意符号变化，注意结构特征。


（1）对于任意的正整数n，能整除代数式（3n+1）（3n-1）-（3-n）（3+n）的整数是（ ）


A．3 B．6 C．10 D．9


【答案】C


【解析】（3n+1）（3n-1）-（3-n）（3+n）=9n2-1-(9-n2)=9n2-1-9+n2=10n2-10=10（n2-1）


n是正整数，10（n2-1）为10的整数倍，所以能被10整除。





（2）计算：①（x-y+z）（x+y+z） ； ②（2a-b）（2a+b）（4a2+b2）


【答案】①（x-y+z）（x+y+z）=[(x+z)-y][(x+z)+y]=(x+z)2-y2


②（2a-b）（2a+b）（4a2+b2）=（4a2-b2）（4a2+b2）=16a4-b4


【解析】此题主要是平方差公式的综合应用，主要是找到a、b所代表的具体式子，然后应用平方差公式进行计算。








例题2








【教学建议】完全平方公式有两个，在二倍乘积项，常考分类问题，牢记公式。在两个完全平方公式中存在两数的和、差、平方和、积，共四个基本部分，知二推二，掌握结构，牢记公式。


（1）如果x2-2（m+1）x+4是一个完全平方公式，则m=______．


【答案】-3或1


【解析】∵x2-2（m+1）x+4是一个完全平方公式，∴-2（m+1）=±4，则m=-3或1．


（2）已知 则（ ）


A. B. C. D. 3


【答案】B


【解析】两个数的平方和，及和，属于完全平方公式的一部分，故根据公式得，从而，得.








四 、课堂运用








基础








利用图中图形面积关系可以解释的公式是（ ）





A．（a+b）2=a2+2ab+b2B．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2


C．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2D．（a+b）（a2﹣ab+b3）=a3+b3





如图（一），在边长为a的正方形中，挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下


的部分剪成一个矩形（如图（二）），通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了


一个等式，则这个等式是（ ）





A．B．


C．D．





计算（x﹣3y）（x+3y）的结果是（ ）


A．x2﹣3y2B．x2﹣6y2C．x2﹣9y2D．2x2﹣6y2





在多项式x2+9中添加一个单项式，使其成为一个完全平方式，则添加的单项式可以是（ ）


A．xB．3xC．6xD．9x





答案与解析


1.【答案】A．


【解析】边长为a与b的正方形与长为b宽为a的长方形拼接成边长为（a+b）的正方形，,根据面积关系可以表示为.


2. 【答案】A


【解析】阴影部分的面积是图一边长为a与边长为b的正方形面积差表示为，图二是拼成长为（a+b），宽为（a-b）长方形，面积为（a+b）（a-b）.


3. 【答案】C.


【解析】（x﹣3y）（x+3y）=x2﹣（3y）2=x2﹣9y2，故选C．


4. 【答案】C


【解析】完全平方公式，首平方，尾平方，首尾2倍乘积在中央，本题缺少2倍乘积项，故符合的只有选项C.








巩固








下列算式能用平方差公式计算的是（ ）


A．（2a+b）（2b﹣a）B．


C．（3x﹣y）（﹣3x+y）D．（﹣m﹣n）（﹣m+n）





已知x2+kxy+64y2是一个完全平方式，则k的值是（ ）


A．8B．±8C．16D．±16





先化简再求值


，其中a＝－1，b＝－2











答案与解析





1.【答案】D


【解析】平方差两个因式中的含相同字母的项符号需有同有异，全同全异是完全平方公式。


2.【答案】D


【解析】完全平方公式，首平方，尾平方，首尾2倍乘积在中央，本题缺少2倍乘积项系数，有两种，故符合的只有选项D.


3. 【答案】


【解析】先化简；再代入求值，将a＝－1，b＝－2代入上式得值为0

















拔高








用乘法公式计算：


①20022﹣2001×2003；


②（2+1）（22+1）（24+1）…（22n+1）





阅读下列材料：


一个自然数a恰好等于另一个自然数b的平方，则称自然数a为完全平方数．


已知a=20042+20042×20052+20052，试说明a是一个完全平方数．





观察下列各式：


（x﹣1）（x+1）=x2﹣1


（x﹣1）（x2+x+1）=x3﹣1


（x﹣1）（x3+x2+x+1）=x4﹣1


（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）=x5﹣1


①你能否由此归纳出一般性规律：


（x﹣1）（xn﹣1+xn﹣2+xn﹣3+…+x2+x+1）= ；


②根据①求出：1+2+22+…+262+263的结果．








答案与解析


1.【答案】1


【解析】①20022﹣2001×2003=20022﹣（2002﹣1）（2002+1）=20022﹣20022+1=1；


②（2+1）（22+1）（24+1）…（22n+1）=（2﹣1）（2+1）（22+1）…（2n+1），


=（22﹣1）（22+1）…（22n+1）…=24n﹣1．


2.【答案】见解析


【解析】设x=2004，则2005=2004+1=x+1，故有：


a=x2+x2（x+1）2+（x+1）2=x2﹣2x（x+1）+（x+1）2+2x（x+1）+x2（x+1）2


=[x﹣（x+1）]2+2x（x+1）+x2（x+1）2=1+2x（x+1）+x2（x+1）2=[1+x（x+1）]2


=[1+x+x2]2=（1+2004+20042）2=40180212．


∴a是一个完全平方数．


3.【答案】①xn﹣1；②264﹣1


【解析】 ①（x﹣1）（xn﹣1+xn﹣2+xn﹣3+…+x2+x+1）=xn﹣1；


②原式=（2﹣1）（263+262++22+2+1）=264﹣1．








五 、课堂小结











1、两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.这个公式叫平方差公式，即


（a+b）(a-b)=a2-b2


平方差公式的特点：


（1）左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；


（2）右边是相同项的平方减去相反相的平方


（3）公式中的a和b可以是单项式，也可以是多项式。





2、两数和的完全平方公式：(a+b)2 =a2+2ab+b2


两数差的完全平方公式：(a-b)2=a2-2ab+b2


即：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍．


完全平方公式的特点：公式的左边都是一个二项式的平方，二者仅有一个“符号”不同，右边都是二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，中间一项是左边二项式中两项乘积的2倍，二者也仅有一个“符号”不同。


3、完全平方公式：(a+b)2 =a2+2ab+b2或(a-b)2=a2-2ab+b2中的a、b可以是单项式，也可以是多项式


4、对于形如两数和（或差）的平方的乘法，都可以应用完全平方公式计算


六 、课后作业

















基础








下列多项式相乘，不能用平方差公式计算的是（ ）


A. B.


C. D.


下列运算中，运用完全平方公式计算正确的是（ ）


A. B.


C. D.





( )－( )





已知是完全平方式， 则 ；是完全平方式， 则 ；





答案与解析


1.【答案】D


【解析】平方差两个因式中的含相同字母的项符号需有同有异，全同全异是完全平方公式。


2.【答案】C


【解析】两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍．


3.【答案】a+b c


【解析】平方差公式，有同有异，同前异后平方差，同一组，


故.


4.【答案】4 ﹢3或 -3


【解析】完全平方公式符合：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍.此题缺少2倍乘积项，有两种情况，故为﹢3或 -3.





巩固











正方形的边长是厘米， 若将一边增加3厘米， 另一边减少3厘米，那么改变后的面积是多少.





一个正方形，若每边都增加3厘米, 面积就增加63平方厘米，求原正方形的面积.





计算:


（1）


（2）








答案与解析


1.【答案】


【解析】改变后的边长为a+3,a-3,改变后面积为，


2.【答案】81


【解析】设原正方形边长为a，面积表示为，变形后边长为（a+3），根据面积增加63列式得，解得a=9.原正方形面积为81.


3.【答案】见解析


【解析】乘法公式变形综合，注意各自特征。


（1）


（2）





拔高











已知， 求的值.





已知求的值.





已知:求: (1) ；(2)





拓展题：


（1）计算并填空:


; ; ; ;


; ; ; .


根据(1)的计算结果，你发现(是正整数)的个位数字变化有什么规律.


根据上述结论，请运用平方差公式计算出的个位数字是什么.





答案与解析


1.【答案】2


【解析】根据题意得


，


故=2.


2.【答案】a=-2，b=3


【解析】将原式配方得，根据平方的非负性，得a=-2，b=3.


3.【答案】=1，=5.


【解析】完全平方公式的变形，由可得，，得=1，=5.


4. 【答案】2 4 8 16 32 64 128 256 .(是正整数)的个位数字变化规律是：以2,4,8,16呈周期循环. 5


【解析】(是正整数)的个位数字变化规律是：以2,4,8,16呈周期循环。





根据 的末位数字规律得末位数6，的末位数字为6-1=5.





七 、教学反思




















适用学科
初中数学
适用年级
初二
适用区域
人教版区域
课时时长（分钟）
120
知识点
平方差公式；完全平方公式
教学目标
理解并掌握公式的结构特征，会用平方差公式，完全平方公式进行运算。


通过创设问题情境，让学生在数学活动中建立平方差公式模型，感受数学公式的意义和作用。培养学生的数学建模能力与抽象思维能力，感悟换元的思想方法，在运用公式解决实际问题的过程中培养学生的化归思想，逆向思维。


体验数学活动充满着探索性和创造性，并在数学活动中获得成功的体验。
教学重点
掌握公式的结构特征及正确运用公式
教学难点
公式推导的理解及字母的广泛含义
（1）位置变化
（b+a）（-b+a）=(a+b)(a-b)=a2-b2
（2）符号变化
（-a-b）（a-b）=-(a+b)(a-b)=-（a2-b2）
（3）系数变化
（2a+3b）（2a-3b）=（2a）2-（3b）2=4a2-9b2
（4）指数变化
(a2+b2)(a2-b2)=（a2）2-（b2）2=a4-b4
（5）增因式变化
(a+b)(a-b)（-a-b）（-a+b）=(a2-b2)[(-a)2-b2]
（6）增项变化
(a-b-c)（a-b+c）=（a-b）2-c2
（7）连用公式变化
(a+b)(a-b)(a2+b2)（a4-b4）=a8-b8
（8）逆用公式变化
a2-b2=(a+b)(a-b)
计算：（1）（a-2b）（2b+a）


（2）（3x-2y）（-3x-2y）


（3）（5mn-3mn）（-3mn-5mn）


【答案】


（1）（a-2b）（2b+a）=（a-2b）（a+2b）=a2-4b2


（2）（3x-2y）（-3x-2y）=（-2y+3x）（-2y-3x）=4y2-9x2


（3）（5mn-3mn）（-3mn-5mn）=（-3mn+5mn）（-3mn-5mn）=9m2n2-25m2n2


【解析】直接运用平方差公式解答即可。