数学八年级上册15.1 分式综合与测试获奖教案

这是一份数学八年级上册15.1 分式综合与测试获奖教案，共21页。教案主要包含了教学建议，知识导图，总结与反思等内容，欢迎下载使用。

第13讲


讲























分式的定义












































概 述














【教学建议】


本节课的主要内容是分式概念以及掌握分式有意义、分式值为0的条件.它是在学生掌握了整式的四则运算、多项式的因式分解，并以小学所学分数知识为基础，对比引出分式的概念，把学生对“式”的认识由整式扩充到有理式.学好本节课的知识,是为进一步学习分式打下扎实的基础，也是以后学习方程、函数等问题的关键.


由于学生可能会用学习分数的思维定式去认知、理解分式．但是在分式中，它的分母不再是具体的数，而是抽象的含有字母的整式，会随着字母取值的变化而变化.





【知识导图】














教学过程








一、导入








【教学建议】


导入是一节课必备的一个环节，是为了激发学生的学习兴趣，帮助学生尽快进入学习状态。


导入的方法很多，仅举两种方法：


情境导入，比如讲一个和本讲内容有关的生活现象；


温故知新，在知识体系中，从学生已有知识入手，揭示本节知识与旧知识的关系，帮学生建立知识网络。





提供一个教学设计供讲师参考：


复习预习


被除数÷除数 = 如： 注意:(0不能作除数)


类比：被除式÷除式 = 如：


情境导入：


面积为2平方米的长方形一边长3米，则它的另 一边长为 米；


面积为S平方米的长方形一边长a米 ，则它的另一边长为 米；


一箱苹果售价P元，总重m千克，则每千克苹果的售价是 元.








二、知识讲解








考点1 分式的定义








【教学建议】在学生已有的分数知识基础上，创设情景，产生认知冲突，引导学生开展观察特点、类比归纳、讨论交流等探究活动，在活动中向学生渗透类比思想、特殊与一般的辩证唯物主义观点.引导学生建立已有知识与新知识的联系，希望学生能够经历类比分数探究分式的情景.其中第一道小题的答案是整式，而第二道小题和第三道小题的答案就已经无法用整式来表达了，分母中出现了字母，从而引起了学生的兴趣，激发了学生的探索情趣，让学生观察，与整式有啥区别，学生观察发现，这些字母中含有字母，从而引出本节课的课题.


分式的定义：形如(A、B是整式，且B中含有字母，B≠0)的式子，叫做分式.其中 A叫做分式的分子,B叫做分式的分母.


在分式中，分母的值不能是零.如果分母的值是零，则分式没有意义.例如，在分式中，a≠0；








考点2 分式的值








分式的值为0


分式的值若想为零，必须保证分式有意义，所以要求分子为零而分母不为零


若分式的值为正，则分子、分母同号（同为正或同为负），即：


若，则或。


若分式的值为负，则分子、分母异号（一正一负），即：


若，则或。








考点3 分式的基本性质








分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。


用式子表示： 其中A、B、C为整式（）





约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去，称为分式的约分。


约分的方法：先把分子与分母因式分解，再约去公因式。


最简分式：分子与分母没有 公因式的 分式，叫做最简分式。


分式运算的最终结果若是分式，一定要化成最简分式。





三 、例题精析








类型一 分式定义





例题1








下列各有理式中，哪些是整式？哪些是分式？


（1）； （2）； （3）； （4）；(5)0；（6）





【解析】属于整式的有：（2）、（4）.(5)；属于分式的有：（1）、（3）（6）


根据分式的定义，分式的分母必须含有字母。注意：中不要化简





【总结与反思】分式的识别需要1.分母中必须含有字母；2.分子分母中有公因式不需化简的式子。（6）是学生易忽略的一类。








例题2








【教学建议】本题主要考察分式有意义的题目，把握好分母不为0是关键。平方等非负数形式添加常数时，注意最值的选取。如，x取全体实数。


当取什么值时，下列分式有意义？


（1）； （2）. (3)


【解析】要使分式有意义，必须且只需分母不等于零.


（1）分母≠0，即≠1.所以，当≠1时，分式有意义.


分母2≠0，即≠-.所以，当≠-时，分式有意义.


分母≠0，即x≠1.所以，当x≠1时，分式有意义.


【总结与反思】分式有意义的条件，把握分母不为零是前提关键。








类型二 分式的值





例题1








要使分式的值为0，你认为x可取得数是（ ）


【解析】由分式的值为零的条件得x2﹣9=0，3x+9≠0，


由x2﹣9=0，得x=±3，由3x+9≠0，得x≠﹣3，综上，得x=3．故选D．





【总结与反思】 分式值为零的条件是：分子为0，且分母不为0，同时满足才可以。注意两种语言的表述：分式的值为0，或分式








例题2








分式的值为正数的条件是（ ）


A．x＜2B．x＜2且x≠-1C．-1＜x＜2 D.x=2


【解析】已知分母为非负数，要使分式为正数，则应让分子大于0，分母不为0即可．根据题意得：2-x＞0，（x+1）2≠0，∴x＜2且x≠-1，





【总结与反思】 分式值为正的条件：分子分母同号，分母不为0是前提。此题还有平方为非负数的参与，综合一起得出结论。








例题3








若分式的值为负数，则x的取值范围是（ ）


A．x＞3 B．x＜3 C．x＜3且x≠0 D．x＞-3且x≠0


【解析】由于分式的分母不为0，那么此分式的分母恒为正数，若分式值为负数，则分子必为负数，可根据上述两点列出不等式组，进而可求出x的取值范围．根据题意得x-3＜0且x2≠0，解得x＜3且x≠0．


【总结与反思】 分式值为负的条件：分子分母异号，分母不为0是前提。此题有平方是非负数的参与，综合一起得出结论。





类型三 分式的基本性质





例题1








下列等式的右边是怎样从左边得到的？


（1）=（y≠0）；（2）=.


【解析】在（1）中，题目告诉你y≠0，因此我们可用分式的基本性质直接求得.在（2）中，可以分子、分母同除以x得到，即 ==. “x”如果等于“0”，就不行.在中，x不会为“0”，如果是“0”，中分母就为“0”，分式将无意义，所以（2）中虽然没有直接告诉我们x≠0，但要由得到，必须有意义，即bx≠0由此可得b≠0且x≠0. （1）,因为y≠0，利用分式的基本性质，在的分子、分母中同乘以y，即可得到右边，即==（2）可以分子、分母同除以x得到，即 ==.





【总结与反思】 本题是分式性质的应用，把握成立条件及隐藏条件。








例题2








不改变分式的值，把下列各式的分子、分母中的各项的系数化为正数。


（1） （2）


【解析】感受分式的分子、分母的符号和分式本身的符号，有时可根据需要改变.


（1）；（2）.





【总结与反思】 分式有三处符号，分子、分母、分式；三处中两处变化，符号不变，变一或三处，变相反。











例题3








约分（1）； （2）


【解析】分式的约分，即要求把分子与分母的公因式约去.为此，首先要找出分子与分母的公因式.在进行分式约分时，若分子和分母都是多项式，则往往需要先把分子、分母分解因式（即化成乘积的形式），然后才能进行约分。约分后，分子与分母不再有公因式，我们把这样的分式称为最简分式.


约分后，分子与分母不再有公因式. 分子与分母没有公因式称为最简分式.


（1）＝－＝－.


（2）＝＝.





【总结与反思】 约分的前提是先将分子、分母能因式分解的因式分解，找到分子、分母的公因式，再根据分式基本性质化简即可。








例题4








通分： （1）； （2）


【解析】 (1)先确定分母与 的最简公分母是。然后乘以一个适当的整式。


(2)先确定分母的最简公分母是


（1）


（2）





【总结与反思】 通分的前提是分子分母，先因式分解，找到分式分母间的最简公分母，利用分式性质解决问题。





四 、课堂运用











基础








若代数式在 实数范围内有意义，则实数的取值范围是（ ）


A. B. C. D.


若分式的值为0，则的值是（ ）


A. ﹣3 B. ﹣2 C. 0 D. 2


化简的结果是（ ）


A. ﹣1 B. 1 C. D.





计算：= ．





答案与解析





1.【答案】C


【解析】分式有意义的条件是分母不为0.


2. 【答案】D


【解析】分式值为0的条件是分子为0，分母不为0.





3. 【答案】D


【解析】分式化简，先分子分母因式分解，再约分。





4. 【答案】y


【解析】约分即可.








巩固








使等式 eq \f(7,x+2) ＝ eq \f(7x,x2+2x) 自左到右变形成立的条件是 （ ）


A．x<0 B.x>0 C.x≠0 D.x≠0且x≠7





求分式的值：(1) ；(2).





当取什么值时，分式 (1)没有意义？(2)有意义？





答案与解析





1. 【答案】C


【解析】分式基本性质，分子分母同乘以一个不为0的整式，分式值不变。





2.【答案】见解析


【解析】解：（1）当a=3时，.


（2）当时，.





3.【答案】见解析


【解析】解：由2x-3=0，得x=


当x=时，分式无意义；


当x≠时，分式有意义.














拔高








将 eq \f(a2+5ab,3a-2b) 中的a、b都扩大4倍，则分式的值（ ）


A.不变 B.扩大4倍 C.扩大8倍D. 扩大16倍


把分式 eq \f(x,y) 中的字母的值变为原来的2倍，而缩小到原来的一半，则分式的值（ ）


A. 不变 B. 扩大2倍 C. 扩大4倍 D.是原来的一半


化简的结果是（ ）


A. B. C. D.


当 x 取何值时，下列分式的值为零？


（1） （2）


答案与解析


1.【答案】B


【解析】将 eq \f(a2+5ab,3a-2b) 中的a、b都扩大4倍，其分子扩大16倍，分母扩大4倍,故原分式的值扩大4倍。


2.【答案】C


【解析】分子括大2倍，分母缩小原来的一半，故分式的值扩大4倍。


3.【答案】 D


【解析】 分式化简属于约分，先分子分母因式分解，再约分。


4.【答案】 （1） （2）


【解析】 分式值为0，要求：分子为0，且分母不为0.即，得，又需要≠0，故。




















五 、课堂小结








1、分母中字母的取值不能使分母值为零，否则分式无意义


2、当分子为零且分母不为零时，分式值为零。


3、分式的基本性质： （ 其中M是不等于零的整式）。


4、应特别注意分式的分子、分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式中的“都”“同一个”“不为零”.


5、 约分的关键是找准公因式.


6、分子与分母没有公因式称为最简分式.





六 、课后作业

















基础








下列各式：、、、、、中，分式有( )


A.1个 B.2个 C.3个 D.4个





如果把分式中的x和y的值都扩大5倍，那么分式的值( )


A.扩大5倍； B.缩小5倍； C.不改变； D.扩大25倍





不改变分式的值，下列各式中成立的是( )


A. B. C. D.


分式的值为零，则x的值为 。


答案与解析


1.【答案】B


【解析】分式定义要保证分子、分母是整式且分母中含有字母，不需化简。符合的是，，其余不符合。


2.【答案】C


【解析】分式中的x和y的值都扩大5倍，其分子扩大5倍，分母也扩大5倍，故分式的值不变。


3.【答案】D


【解析】分式基本性质，注意符号变化规律，“三”变“二”，值不变；“三”变“一”“三”，值相反。


4.【答案】1


【解析】分式值为0，分子为0，且分母不为0.





巩固








下列式子中，是分式的是 。


当= 时，分式没有意义；当 时，分式有意义。


如果把分式中的和都扩大2倍，则分式的值（ ）


A、扩大4倍 B、扩大2倍 C、不变 D、缩小2倍


根据分式的基本性质，分式可变形为（ ）


A、 B、 C、 D、





答案与解析


1.【答案】


【解析】分式分子分母为整式，且分母中含有字母。





2.【答案】 ≠-1


【解析】分式有意义的条件是：分母≠0；无意义的条件：分母为0.





3.【答案】B


【解析】根据分式中的和都扩大2倍，原分式分子扩大4倍，分母扩大2倍，则原分式的值扩大2倍。





4.【答案】C


【解析】分式基本性质，分式符号变形规律：“三”变“二”，值不变；“三”变“一”“三”，值相反。





拔高








使代数式÷有意义的x的值是（ ）


A．x≠3且x≠-2 B．x≠3且x≠4 C．x≠3且x≠-3 D．x≠-2且x≠3且x≠4





为何值时，分式的值为负数？





当取何值时，分式的值为零？





当为何整数时，分式的值是整数？





答案与解析


1.【答案】D


【解析】本题既考分式有意义的条件，分母不为0，又考查0不能做除数，故x≠-2且x≠3且x≠4





2.【答案】x＜2且x≠-1.


【解析】先化简，将分子分母因式分解，，根据平方非负性得x-2＜0，且≠0，故x＜2且x≠-1.





3.【答案】x=-2


【解析】分式值为0，分子为0且分母不为0.


4.【答案】x=-2


【解析】分式的值是整数，说明4能被（x-4）整除，即（x-4）是4的因数。4的因数有：±1，±2，±4。符合题意的x有：5,3,6,2,8,0。





七 、教学反思














适用学科
初中数学
适用年级
初二
适用区域
人教版区域
课时时长（分钟）
120
知识点
1、分式的概念；分是有意义的条件；分式的基本性质；约分；通分


2、分式的值
教学目标
1、使学生了解分式概念，明确分式中分母不能为0是分式成立的条件。


2、使学生理解分式的基本性质。


3、使学生运用分式的基本性质对分式进行恒等变形。


4、使学生在理解分式基本性质基础上对分式进行通分和约分。


5、通过对分式化简的学习，渗透类比转化的数学思想。


6、让学生通过实践总结分式的为0的条件，并能较熟练地解决分式为零时参数取值。


7、使学生理解分式不为0的条件，通过条件求取分式的值


8、引导学生通过分析、归纳，培养学生用类比的方法探索新知识的能力
教学重点
1、理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件；理解分式的基本性质；分式的通分和约分。


2、分式为0，为正，为负时参数的值
教学难点
1、能熟练地求出分式有意义的条件，分式值为零的条件.


2、灵活应用分式的基本性质将分式变形.


3、灵活运用分式基本性质进行分式的通分和约分.

A．
9
B．
±3
C．
﹣3
D．
3