初中数学人教版九年级上册22.2二次函数与一元二次方程获奖教学设计

这是一份初中数学人教版九年级上册22.2二次函数与一元二次方程获奖教学设计，共18页。
22.2 二次函数与一元二次方程





一、二次函数和一元二次方程之间的关系


函数y=ax2+bx+c(a≠0)，当y=0时，得到一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0).一元二次方程的根就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标，因此，由二次函数的图象与x轴的交点情况可以确定一元二次方程根的情况.


二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的交点的情况分别对应着一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况，如下表所示：


已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的函数值为k，求自变量的值，就是解一元二次方程ax2+bx+c=k(a≠0)；反过来，解一元二次方程ax2+bx+c=k(a≠0)就是把二次函数y=ax2+bx+c–k(a≠0)的函数值看作0，求自变量的值．


二、利用二次函数的图象求解一元二次方程


1．方法一


利用抛物线与x轴的交点坐标的方法求一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解．


具体过程如下：


（1）在平面直角坐标系中画出二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象；


（2）观察图象，确定抛物线与x轴的交点坐标；


（3）交点的横坐标即为一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解．


2．方法二


利用求抛物线与直线交点坐标的方法求一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解．


具体过程如下：


（1）在平面直角坐标系中画出函数y=ax2(a≠0)(a=0)与y=–bx–c(b≠0)


[或y=ax2+bx(a≠0)与y=–c或y=]的图象；


（2）观察图象，确定抛物线与直线的交点坐标；


（3）交点的横坐标即为一元二次方程ax2+bx+c=0(a=0)的解．


【提示】用图象法解一元二次方程是数形结合思想的具体应用．可类比用一次函数的图象解一元一次方程的方法，也可在平面直角坐标系中画出二次函数的图象求一元二次方程的解.但由于作图或观察存在误差，因此通过这种方法求得的方程的根一般是近似的．








1．两，相等，，无解








一、抛物线与x轴的交点


当函数图象与x轴必有交点时，函数所对应的方程的Δ≥0；函数图象过原点，即当x=0时，y=0；寻求y0时x的取值范围，可利用其图象回答．


例 1


在二次函数y=ax2+bx+c中，若a与c异号，则其图象与x轴的交点个数为


A．2个B．1个C．0个D．不能确定


【答案】A


【解析】∵a与c异号，∴ac0，∴二次函数图象与x轴的交点个数为2．故选A．


例 2


二次函数的图象如图所示，若一元二次方程有实数根，则m的取值范围是





A．B．C．D．


【答案】A


【解析】由图可知：y≥-3，即ax2+bx≥-3，∵ax2+bx+m=0，∴ax2+bx=-m，∴-m≥-3，∴m≤3．故选A．


例 3


如图，将二次函数y=31x2-999x+892的图形画在坐标平面上，判断方程31x2-999x+892=0的两根，下列叙述正确的是





A．两根相异，且均为正根B．两根相异，且只有一个正根


C．两根相同，且为正根D．两根相同，且为负根


【答案】A


【解析】∵二次函数y=31x2-999x+892的图象与x轴有两个交点，且与x轴的正半轴相交，∴方程31x2-999x+892=0有两个正实根．故选A．


例 4


已知二次函数y=2x2-mx-m2．


（1）求证：对于任意实数m，二次函数y=2x2-mx-m2的图象与x轴总有公共点；


（2）若这个二次函数的图象与x轴有两个公共点A，B，且B点坐标为（1，0），求A点坐标．


【解析】（1）令y=0，则2x2-mx-m2=0，


Δ=（-m）2-4×2×（-m2）=9m2≥0，


∴对于任意实数m，该二次函数的图象与x轴总有公共点．


（2）由题意得2×12-m-m2=0，整理得m2+m-2=0，


解得m1=1，m2=-2，


当m=1时，二次函数为y=2x2-x-1，


当y=0时，2x2-x-1=0，解得x1=1，x2=-，∴A（-，0）；


当m=-2时，二次函数为y=2x2+2x-4，


令y=0时，则2x2+2x-4=0，解得x1=1，x2=-2，∴A（-2，0）．


综上所述，A点坐标为（-，0）或（-2，0）．


二、利用二次函数求一元二次方程的近似解


1．利用抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点的横坐标求一元二次方程ax2+bx+c=0的根．具体过程如下：


①在平面直角坐标系中画出抛物线y=ax2+bx+c；


②观察图象，确定抛物线与x轴的交点的横坐标；


③交点的横坐标为一元二次方程ax2+bx+c=0的根．


2．用两点夹逼法估计一元二次方程的根，具体方法如下：在交点（抛物线与x轴的交点）的两侧各取一点，


则一元二次方程的根在这两个点的横坐标之间．


3．通过取平均数求根的近似值，具体的操作过程如下：


①取使函数值异号且绝对值较小的两个自变量的值m，n；


②分别将，n（或，m）作为自变量的值代入函数解析式，判断其函数值是否异号；


③重复执行步骤①②，以提高根的估计值的精确度．


例 5


如下表给出了二次函数y=x2+2x–10中x，y的一些对应值，则可以估计一元二次方程x2+2x–10=0的一个近似解为


A．2.2B．2.32C．2.4D．2.5


【答案】B


【解析】如图：





x=2.3，y=–0.11，x=2.4，y=0.56，x2+2x–10=0的一个近似根是2.32．故选B．


【名师点睛】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，图象与x轴的交点的横坐标就是一元二次方程的解．








1．抛物线y=mx2–8x–8和x轴有交点，则m的取值范围是


A．m＞–2B．m≥–2C．m≥–2且m≠0D．m＞–2且m≠0


2．如图，二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴是直线x=1，与x轴的一个交点A（3，0），则与x轴的另一个交点坐标是





A．（0，）B．（，0）C．（0，–1）D．（–1，0）


3．若函数y=（m–1）x2–6x+m的图象与x轴有且只有一个交点，则m的值为


A．–2或3B．–2或–3


C．1或–2或3D．1或–2或–3


4．用“描点法”画二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象时，列了如下表格：


根据表格上的信息回答问题：一元二次方程ax2+bx+c–5=0的解为


A．x1=–1，x2=4B．x1=–1，x2=3


C．x1=3，x2=4D．x1=–2，x2=4


5．函数的图象如图所示，则下列结论错误的是





A．a>0


B．b2-4ac>0


C．的两根之和为负


D．的两根之积为正


6．如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c>0的解集是





A．B．


C．且D．或


7．若二次函数y=x2+3x-c（c为整数）的图象与x轴没有交点，则c的最大值是__________．


8．已知：二次函数y=ax2+bx+c图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表格所示，那么它的图象与x轴的另一个交点坐标是__________．


9．关于x的函数y=ax2+（a+2）x+a+1的图象与x轴只有一个公共点，则实数a的值为__________．


10．已知二次函数y=x2+2（m–1）x–2m（m为常数）．


（1）求证无论m为何值，该函数图象与x轴总有两个公共点；


（2）若点A（x1，–1）、B（x2，–1）在该函数图象上，将图象沿直线AB翻折，顶点恰好落在x轴上，求m的值．
































1．下列表格给出的是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的几组对应值，那么方程ax2+bx+c=0的一个近似解可以是


A．3.25B．3.35C．3.45D．3.55


2．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）和正比例函数y=–x的图象如图所示，则方程ax2+（b+）x+c=0（a≠0）的两根之和





A．大于0B．等于0


C．小于0D．不能确定


3．已知抛物线y=ax2＋bx＋c（a0）有整数根，则p的值有


A．2个B．3个


C．4个D．5个


4．已知二次函数的图象如图所示，若方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是__________．





5．抛物线y=a（x–h）2+k经过（–1，0）、（5，0）两点，若关于x的一元二次方程a（x–h+m）2+k=0的一个解为x=4，则m=__________．


6．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．


（1）求k的取值范围；


（2）若k取小于1的整数，且此方程的解为整数，则求出此方程的两个整数根；


（3）在（2）的条件下，二次函数与x轴交于A、B两点（A点在B点的左侧），D点在此抛物线的对称轴上，若∠DAB=60º，直接写出D点的坐标．





























1．（2019•杭州）在平面直角坐标系中，已知a≠b，设函数y=（x+a）（x+b）的图象与x轴有M个交点，函数y=（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有N个交点，则


A．M=N–1或M=N+1 B．M=N–1或M=N+2


C．M=N或M=N+1 D．M=N或M=N–1


2．（2019•潍坊）抛物线y=x2+bx+3的对称轴为直线x=1．若关于x的一元二次方程x2+bx+3–t=0（t为实数）在–1