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人教版八年级上册第十三章 轴对称13.4课题学习 最短路径问题精品教案设计
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这是一份人教版八年级上册第十三章 轴对称13.4课题学习 最短路径问题精品教案设计，共33页。教案主要包含了等腰三角形的性质，等腰三角形的判定，等边三角形及其性质，等边三角形的判定，含30°角的直角三角形的性质，最短路径问题等内容，欢迎下载使用。
13.3 等腰三角形 13.4 课题学习 最短路径问题
一、等腰三角形的性质
性质1：等腰三角形的两个底角__________（简写成“等边对等角”）．
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互__________（简写成“三线合一”）．
等腰三角形的其他性质：
1．等腰三角形两腰上的中线、高分别相等．
2．等腰三角形两底角的平分线相等．
3．等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高．
4．当等腰三角形的顶角为90°时，此等腰三角形为等腰直角三角形，它的两条直角边相等，两个锐角都是45°．
二、等腰三角形的判定
判定等腰三角形的方法：
1．定义法：有两边__________的三角形是等腰三角形；
2．如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对__________”）．
数学语言：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）．
【注意】1．“等角对等边”不能叙述为：如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两腰也相等．因为在没有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“腰”这些名词，只有等腰三角形才有“底角”“腰”．
2．“等角对等边”与“等边对等角”的区别：由两边相等得出它们所对的角相等，是等腰三角形的性质；由三角形有两角相等得出它是等腰三角形，是等腰三角形的判定．
三、等边三角形及其性质
等边三角形的概念：三边都相等的三角形是__________三角形．
等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于__________．
【注意】1．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；
2．等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质．
四、等边三角形的判定
判定等边三角形的方法：
1．定义法：三边都相等的三角形是等边三角形．
2．三个角都相等的三角形是等边三角形．
3．有一个角是60°的__________三角形是等边三角形．
五、含30°角的直角三角形的性质
一在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的__________．
【注意】1．该性质是含30°角的特殊直角三角形的性质，一般的直角三角形或非直角三角形没有这个性质，更不能应用．
2．这个性质主要应用于计算或证明线段的倍分关系．
3．该性质的证明出自于等边三角形，所以它与等边三角形联系密切．
4．在有些题目中，若给出的角是15°时，往往运用一个外角等于和它不相邻的两个内角的和将15°的角转化后，再利用这个性质解决问题．
六、最短路径问题
1．求直线异侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题，只要连接这两点，所得线段与直线的交点即为所求的位置．
2．求直线同侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，所得线段与该直线的交点即为所求的位置．
一、相等，重合 二、相等，等边 三、等边，60°四、等腰 五、一半
1．等腰三角形的性质和判定
（1）应用“三线合一”性质的前提条件是在等腰三角形中，且必须是底边上的中线、底边上的高和顶角平分线，若是一腰上的高与中线就不一定重合．
（2）等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线（或底边上的高、底边上的中线）所在的直线是它的对称轴．
例 1
下列结论错误的是
A．等腰三角形的底角必为锐角
B．等腰三角形的底角等于顶角的一半
C．等腰三角形的腰一定大于底边的一半
D．等腰直角三角形底边上的高等于底边的一半
【答案】B
【解析】选项A，根据三角形的内角和定理可知等腰三角形的底角必为锐角，选项A正确；
选项B，等腰三角形的底角不一定等于顶角的一半，如30°、30°、120°的等腰三角形，选项B错误；
选项C，根据三角形的三边关系可得等腰三角形的腰一定大于底边的一半，选项C正确；
选项D，根据等腰直角三角形的性质可得等腰直角三角形底边上的高等于底边的一半，选项D正确．
故选B．
【名师点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的三边关系、三角形的内角和定理及等腰直角三角形的性质，熟练运用相关知识是解决问题的关键．
例 2
已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的顶角是
A．B．
C．D．或
【答案】D
【解析】①当为锐角三角形时，高与右边腰成60°夹角，由三角形内角和为180°可得，顶角为30°；
②当为钝角三角形时，此时垂足落到三角形外面，因为三角形内角和为180°，等腰三角形的顶角的补角为30°，所以三角形的顶角为150°．
故选D．
例 3
如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BE平分∠ABC，CD平分∠ACB，CD交BE于点F，那么图中的等腰三角形共有
A．6个B．7个C．8个D．9个
【答案】C
【解析】∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠ACB=72°；
∵CD、BE分别平分∠ABC、∠ACB，
∴∠ABE=∠ACD=∠EBC=∠DCB=36°，
∴△ABE、△ACD、△BFC为等腰三角形，
∵∠BDC=∠A+∠ACD，∠BEC=∠A+∠ABE，
∴∠BDC=∠BEC=72°，
∴∠CFE=∠BFD=180°-∠ABE-∠BDC=180°-36°-72°=72°，
∴∠BDF=∠BFD，∠CFE=∠CEF，∠DBC=∠BDC，∠BCE=∠BEC，
∴△BDF、△CEF、△BDC，△BEC为等腰三角形，
又△ABC为等腰三角形，
∴图中的等腰三角形共有8个，
故选C．
【名师点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的判定方法是解题的关键．注意数形结合思想的应用．
2．等边三角形的性质和判定
判定等边三角形时常用的选择方法：
若已知三边关系，一般选用：三边都相等的三角形是等边三角形；
若已知三角关系，一般选用：三个角都相等的三角形是等边三角形；
若已知该三角形是等腰三角形，一般选用：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
例 4
下列条件中，不能得到等边三角形的是
A．有两个内角是60°的三角形B．三边都相等的三角形
C．有一个角是60°的等腰三角形D．有两个外角相等的等腰三角形
【答案】D
【解析】A选项：两个内角为60°，因为三角形的内角和为180°，可知另一个内角也为60°，故该三角形为等边三角形；故本选项不符合题意；
B选项：三边都相等的三角形是等边三角形；故本选项不符合题意；
C选项：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；故本选项不符合题意；
D选项：两个外角相等说明该三角形中两个内角相等，而等腰三角形的两个底角是相等的，故不能确定该三角形是等边三角形．故本选项符合题意，
故选D．
【名师点睛】考查了等边三角形的判定：①由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形；②判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形；③判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
例 5
如图，在等边△ABC中，AD⊥BC，AD=AE，则∠EDC=__________．
【答案】15°
【解析】在等边△ABC中，∵AD⊥BC，∴∠BAD=∠DAE=30°．
∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED==75°，∴∠EDC=90°-75°=15°．
故答案为：15°．
【名师点睛】本题考查了等边三角形的性质以及三角形内角和定理，根据已知得出∠ADE=∠AED是解题的关键．
3．含30°角的直角三角形的性质
含30°角的直角三角形的性质是求线段长度和证明线段倍分关系的重要依据．
例 6
如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=30°，AC=5 cm，AD⊥BC于D，则BD=
A．10 cmB．C．D．
【答案】B
【解析】∵∠BAC=90°，∠B=30°，
∴BC=2AC=10 cm，
∵∠BAC=90°，AD⊥BC，
∴∠CAD=∠B=30°，
∴CD=AC=2.5 cm，
∴BD=BC-CD=7.5 cm，
故选B．
【名师点睛】本题考查的是直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
4．最短路径问题
通常利用轴对称变换将不在一条直线上的两条或多条线段转化到一条直线上，从而作出最短路径的选择.
例 7
公园内两条小河MO，NO在O处汇合，两河形成的半岛上有一处景点P（如图所示）．现计划在两条小河上各建一座小桥Q和R，并在半岛上修三段小路，连通两座小桥与景点，这两座小桥应建在何处才能使修路费用最少？请说明理由．
【解析】如图，作P关于OM的对称点P′，作P关于ON的对称点P″，连接P′P″，分别交MO，NO于Q，R，连接PQ，PR，则P′Q=PQ，PR=P″R，则Q，R就是小桥所在的位置．
理由：在OM上任取一个异于Q的点Q′，在ON上任取一个异于R的点R′，连接PQ′，P′Q′，Q′R′，P″R′，PR′，则PQ′=P′Q′，PR′=P″R′，且P′Q′+Q′R′+R′P″>P′Q+QR+RP″，所以△PQR的周长最小，故Q，R就是我们所求的小桥的位置．
1．等腰三角形的一个内角是，则它顶角的度数是
A．B．或C．或D．
2．等腰三角形的三边均为整数，且周长为13，则底边是
A．1或3B．3或5C．1或5D．1或3或5
3．如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，则∠A等于
A．30°B．40°C．45°D．36°
4．如图，△ABC中，AB=AC，D、E分别在AC、AB上，且BD=BC，AD=DE=EB，则∠A的度数等于
A．36°B．40°C．45°D．50°
5．如图，△ABC是等边三角形，P为BC上一点，在AC上取一点D，使AD=AP，且∠APD=70°，则∠PAB的度数是
A．10°B．15°
C．20°D．25°
6．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A=30°，则
A．AD=2BDB．AD=3BD
C．AD=4BDD．AD=5BD
7．等腰三角形的腰长为10，则底边长m的取值范围是__________．
8．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线交AC于点E，垂足为D，BE平分∠ABC，若AE=2，则CE的长为__________．
9．已知：如图，在△ABC中，∠A=30°，∠ACB=90°，M、D分别为AB、MB的中点．求证：CD⊥AB．
10．如图，在△ABC中，
，是边上的中线，于，试说明．
11．已知在△ABC中，AB=5，BC=2，且AC的长为奇数．
（1）求△ABC的周长；
（2）判断△ABC的形状．
12．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=40°，分别以AB，AC为边作两个等腰三角形ABD和ACE，且AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE=90°．
（1）求∠DBC的度数．
（2）求证：BD=CE．
13．如图，BC=BD，AD=AE，DE=CE，∠A=36°，则∠B=
A．45B．36°C．72°D．30°
14．如图，在△ABC中，∠ABC=60°，∠C=45°，AD是BC边上的高，∠ABC的平分线BE交AD于点F，则图中共有等腰三角形
A．2个B．3个C．4个D．5个
15．如图，△ABC中，AB=14，AM平分∠BAC，∠BAM=15°，点D、E分别为AM、AB的动点，则BD+DE的最小值是__________．
16．如图，在中，，D是AB上的点，过点D作交BC于点F，交AC的延长线于点E，连接CD，，则下列结论正确的有__________（将所有正确答案的序号都填在横线上）．
①；②；③是等边三角形；④若，则．
17．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，DE是AC的垂直平分线．
（1）求证：△BCD是等腰三角形；
（2）△BCD的周长是a，BC=b，求△ACD的周长（用含a，b的代数式表示）
18．（2019•聊城）如图，在Rt△ABO中，∠OBA=90°，A（4，4），点C在边AB上，且，点D为OB的中点，点P为边OA上的动点，当点P在OA上移动时，使四边形PDBC周长最小的点P的坐标为
A．（2，2）B．（，）C．（，）D．（3，3）
19．（2019•宁夏）如图，在△ABC中AC=BC，点D和E分别在AB和AC上，且AD=AE．连接DE，过点A的直线GH与DE平行，若∠C=40°，则∠GAD的度数为
A．40°B．45°C．55°D．70°
20．（2019•衢州）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动、C点固定，OC=CD=DE，点D、E可在槽中滑动．若∠BDE=75°，则∠CDE的度数是
A．60°B．65°C．75°D．80°
21．（2019•黄冈）如图，AC，BD在AB的同侧，AC=2，BD=8，AB=8，点M为AB的中点，若∠CMD=120°，则CD的最大值是__________．
22．（2019•齐齐哈尔）等腰△ABC中，BD⊥AC，垂足为点D，且BDAC，则等腰△ABC底角的度数为__________．
23．（2019•镇江）如图，直线a∥b，△ABC的顶点C在直线b上，边AB与直线b相交于点D．若△BCD是等边三角形，∠A=20°，则∠1=__________°．
24．（2019•毕节市）如图，以△ABC的顶点B为圆心，BA长为半径画弧，交BC边于点D，连接AD．若∠B=40°，∠C=36°，则∠DAC的大小为__________度．
25．（2019•兰州）在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，则∠B=__________°．
26．（2019•成都）如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E都在边BC上，∠BAD=∠CAE，若BD=9，则CE的长为__________．
27．（2019•广安）等腰三角形的两边长分别为6 cm，13 cm，其周长为__________cm．
28．（2019•怀化）若等腰三角形的一个底角为72°，则这个等腰三角形的顶角为__________．
29．（2019•白银）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC中，∠A=80°，则它的特征值k=__________．
30．（2019•绥化）如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，则∠A=__________度．
31．（2019•杭州）如图，在△ABC中，AC
（1）已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，连接AP，求证：∠APC=2∠B．
（2）以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点Q，连接AQ．若∠AQC=3∠B，求
∠B的度数．
32．（2019•重庆B卷）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D．
（1）若∠C=42°，求∠BAD的度数；
（2）若点E在边AB上，EF∥AC交AD的延长线于点F．求证：AE=FE．
33．（2019•重庆A卷）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的中点，连接AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F．
（1）若∠C=36°，求∠BAD的度数；
（2）求证：FB=FE．
1．【答案】B
【解析】分两种情况：①可以为顶角；②为底角时，顶角的度数为．故选B．
2．【答案】D
【解析】设底边为x，则腰长为，
∵等腰三角形的三边均为整数，
∴为整数，
∵x，，能构成三角形，
∴0
∴x<6．5且x为正整数，
∴x可取1，3，5，
故选D．
3．【答案】D
【解析】∵AD=BD，∴∠A=∠ABD，∴∠BDC=2∠A．
∵BD=BC，∴∠C=∠BDC=2∠A．∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=2∠A，
由三角形内角和定理，得∠A+2∠A+2∠A=180°，即∠A=36°．故选D．
4．【答案】C
【解析】∵DE=EB，
∴设∠BDE=∠ABD=x，
∴∠AED=∠BDE+∠ABD=2x，
∵AD=DE，
∴∠A=∠AED=2x，
∴∠BDC=∠A+∠ABD=3x，
∵BD=BC，
∴∠C=∠BDC=3x，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=3x，
在△ABC中，3x+3x+2x=180°，
解得x=22.5°，
∴∠A=2x=22.5°×2=45°，
故选C．
5．【答案】C
【解析】因为AD=AP，所以∠APD=∠ADP，因为∠APD=70°，所以∠ADP=70°，
所以∠PAD=180°-70°-70°=40°，因为∠BAC=60°，所以∠PAB=60°-40°=20°，故选C．
6．【答案】B
【解析】∵∠A=30°，∠ACB=90°，
∴∠B=90°-30°=60°，
∴∠BCD=30°，∴BD=BC，BC=AB，
则BD=AB，∴AD=3BD．故选B．
7．【答案】0
【解析】∵等腰三角形的腰长为10，
∴底边长m的取值范围为：10-10
即0
故答案为：0
8．【答案】1
【解析】∵BE平分∠ABC，∠C=90°，ED⊥AB，
∴CE=ED，
∵∠ADE=90°，∠A=30°，
∴DE=AE=1，
∴CE=DE=1，
故答案为：1．
9．【解析】∵∠ACB=90°，M为AB中点，∴CMAB=BM．
∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴CBAB=BM，∴CM=CB．
∵D为MB的中点，
∴CD⊥BM，即CD⊥AB．
10．【解析】∵，是边上的中线，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴．
11．【解析】（1）由题意得：5−2
即：3
∵AB为奇数，
∴AB=5，
∴△ABC的周长为5+5+2=12．
（2）∵AB=AC=5，
∴△ABC是等腰三角形．
12．【解析】（1）∵AB=AC，∠BAC=40°，
∴∠ABC==70°．
∵AB=AD，∠BAD=90°，
∴∠DBA==45°，
∴∠DBC=70°+45°=115°．
（2）∵AB=AD，AC=AE，AB=AC，
∴AB=AC=AD=AE．
又∵∠BAD=∠CAE，
∴△ABD≌△ACE．∴BD=CE．
13．【答案】B
【解析】∵AD=AE，∠A=36°，
∴∠ADE=∠AED==72°，
∴∠DEC=∠A+∠ADE=36°+72°=108°，
∵DE=CE，
∴∠EDC=∠ECD==36°，
∴∠CDB=180°-∠ADE-∠EDC=72°，
∵BC=BD，
∴∠BCD=∠CDB=72°，
∴∠B=180°-∠BCD-∠CDB=36°．
故选B．
14．【答案】B
【解析】∵∠ABC=60°，∠ACB=45°，AD是高，
∴∠DAC=45°，
∴CD=AD，
∴△ADC为等腰直角三角形，
∵∠ABC=60°，BE是∠ABC平分线，
∴∠ABE=∠CBE=30°，
在△ABD中，∠BAD=180°−∠ABD−∠ADB=180°−60°−90°=30°，
∴∠ABF=∠BAD=30°，
∴AF=BF即△ABF是等腰三角形，
在△ABC中，∠BAC=180°−∠ABC−∠ACB=180°−60°−45°=75°，
∵∠AEB=∠CBE＋∠ACB=30°＋45°=75°，
∴∠BAE=∠BEA，
∴AB=EB即△ABE是等腰三角形，
∴等腰三角形有△ACD，△ABF，△ABE；
故选B．
15．【答案】7
【解析】如图，作点E关于AM的对称点H，
则DE=DH，所以BD+DE=BD+DH，当BH⊥AC时，BH的值最小，即BD+DE的最小值是垂线段BH的长．因为∠BAC=30°，∠AHB=90°，所以AB=2BH，所以BH=7，即BD+DE的最小值是7．故答案为：7．
16．【答案】①②④
【解析】∵在△ABC中，∠ACB=90°，DE⊥AB，∴∠ADE=∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∠ACD+
∠DCB=90°，∵∠DCA=∠DAC，∴AD=CD，∠DCB=∠B，故①正确；
∴CD=BD，∵AD=BD，∴CD=AB，故②正确；
∵∠DCA=∠DAC，∴AD=CD，但不能判定△ADC是等边三角形，故③错误；
若∠E=30°，∴∠A=60°，∴△ACD是等边三角形，∴∠ADC=60°，∵∠ADE=∠ACB=90°，∴∠EDC=
∠BCD=∠B=30°，∴CF=DF，∴DE=EF+DF=EF+CF．故④正确．故答案为：①②④．
17．【解析】（1）∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠B=∠ACB==72°，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD=DC，
∴∠ACD=∠A=36°，
∵∠CDB是△ADC的外角，
∴∠CDB=∠ACD+∠A=72°，
∴∠B=∠CDB，
∴CB=CD，
∴△BCD是等腰三角形．
（2）∵AD=CD=CB=b，△BCD的周长是a，
∴AB=a-b，
∵AB=AC，
∴AC=a-b，
∴△ACD的周长=AC+AD+CD=a-b+b+b=a+b．
18．【答案】C
【解析】∵在Rt△ABO中，∠OBA=90°，A（4，4），
∴AB=OB=4，∠AOB=45°，
∵，点D为OB的中点，
∴BC=3，OD=BD=2，
∴D（2，0），C（4，3），
如图，作D关于直线OA的对称点E，连接EC交OA于P，
则此时，四边形PDBC周长最小，E（0，2），
∵直线OA的解析式为y=x，
设直线EC的解析式为y=kx+b，
∴，
解得：，
∴直线EC的解析式为yx+2，
解得，，
∴P（，），
故选C．
19．【答案】C
【解析】∵AC=CB，∠C=40°，
∴∠BAC=∠B（180°-40°）=70°，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED（180°-70°）=55°，
∵GH∥DE，
∴∠GAD=∠ADE=55°，故选C．
20．【答案】D
【解析】∵OC=CD=DE，
∴∠O=∠ODC，∠DCE=∠DEC，
∴∠DCE=∠O+∠ODC=2∠ODC，
∵∠O+∠OED=3∠ODC=∠BDE=75°，
∴∠ODC=25°，
∵∠CDE+∠ODC=180°-∠BDE=105°，
∴∠CDE=105°-∠ODC=80°．故选D．
21．【答案】14
【解析】如图，作点A关于CM的对称点A′，点B关于DM的对称点B′．
∵∠CMD=120°，
∴∠AMC+∠DMB=60°，
∴∠CMA′+∠DMB′=60°，
∴∠A′MB′=60°，
∵MA′=MB′，
∴△A′MB′为等边三角形，
∵CD≤CA′+A′B′+B′D=CA+AM+BD=2+4+8=14，
∴CD的最大值为14，故答案为：14．
22．【答案】15°或45°或75°
【解析】①如图1，当点B是顶角顶点时，
∵AB=BC，BD⊥AC，∴AD=CD，
∵BDAC，∴BD=AD=CD，
在Rt△ABD中，∠A=∠ABD（180°-90°）=45°；
②如图2，当点B是底角顶点，且BD在△ABC外部时，
∵BDAC，AC=BC，
∴BDBC，
∴∠BCD=30°，
∴∠ABC=∠BAC30°=15°；
③如图3，当点B是底角顶点，且BD在△ABC内部时，
∵BDAC，AC=BC，
∴BDBC，∴∠C=30°，
∴∠ABC=∠BAC（180°-30°）=75°，故答案为：15°或45°或75°．
23．【答案】40°
【解析】如图，
∵△BCD是等边三角形，
∴∠BDC=60°，
∵a∥b，
∴∠2=∠BDC=60°，
由三角形的外角性质可知，∠1=∠2-∠A=40°，
故答案为：40．
24．【答案】34
【解析】∵∠B=40°，∠C=36°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=104°，
∵AB=BD，∴∠BAD=∠ADB=（180°-∠B）÷2=70°，
∴∠DAC=∠BAC-∠BAD=34°，
故答案为：34．
25．【答案】70°
【解析】∵AB=AC，∴∠B=∠C，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠B（180°-40°）=70°．
故答案为：70．
26．【答案】9
【解析】∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△BAD和△CAE中，，
∴△BAD≌△CAE，∴BD=CE=9，
故答案为：9．
27．【答案】32
【解析】由题意知，应分两种情况：
（1）当腰长为6 cm时，三角形三边长为6，6，13，6+6<13，不能构成三角形；
（2）当腰长为13 cm时，三角形三边长为6，13，13，周长=2×13+6=32 cm．
故答案为：32．
28．【答案】36°
【解析】∵等腰三角形的一个底角为72°，
∴等腰三角形的顶角=180°-72°-72°=36°，
故答案为：36°．
29．【答案】或
【解析】①当∠A为顶角时，等腰三角形两底角的度数为：50°，
∴特征值k；
②当∠A为底角时，顶角的度数为：180°-80°-80°=20°，
∴特征值k，
综上所述，特征值k为或，
故答案为：或．
30．【答案】36
【解析】设∠A=x，
∵AD=BD，∴∠ABD=∠A=x，∠BDC=2x，
∵BD=BC，∴∠C=∠BDC=2x，∠DBC=x，
∵在BDC中x+2x+2x=180°，
∴x=36°，∴∠A=36°．
故答案为：36．
31．【解析】（1）∵线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，
∴PA=PB，
∴∠B=∠BAP，
∵∠APC=∠B+∠BAP，
∴∠APC=2∠B．
（2）根据题意可知BA=BQ，
∴∠BAQ=∠BQA，
∵∠AQC=3∠B，∠AQC=∠B+∠BAQ，
∴∠BQA=2∠B，
∵∠BAQ+∠BQA+∠B=180°，
∴5∠B=180°，
∴∠B=36°．
32．【解析】（1）∵AB=AC，AD⊥BC于点D，
∴∠BAD=∠CAD，∠ADC=90°，
又∠C=42°，
∴∠BAD=∠CAD=90°-42°=48°．
（2）∵AB=AC，AD⊥BC于点D，
∴∠BAD=∠CAD，
∵EF∥AC，
∴∠F=∠CAD，
∴∠BAD=∠F，
∴AE=FE．
33．【解析】（1）∵AB=AC，
∴∠C=∠ABC，
∵∠C=36°，
∴∠ABC=36°，
∵BD=CD，AB=AC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAD=90°-36°=54°．
（2）∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE∠ABC，
∵EF∥BC，
∴∠FEB=∠CBE，
∴∠FBE=∠FEB，
∴FB=FE．帮—重点
等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质
帮—难点
等腰三角形中的分类讨论问题
帮—易错
等腰三角形“三线合一”性质的应用
13.3 等腰三角形 13.4 课题学习 最短路径问题
一、等腰三角形的性质
性质1：等腰三角形的两个底角__________（简写成“等边对等角”）．
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互__________（简写成“三线合一”）．
等腰三角形的其他性质：
1．等腰三角形两腰上的中线、高分别相等．
2．等腰三角形两底角的平分线相等．
3．等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高．
4．当等腰三角形的顶角为90°时，此等腰三角形为等腰直角三角形，它的两条直角边相等，两个锐角都是45°．
二、等腰三角形的判定
判定等腰三角形的方法：
1．定义法：有两边__________的三角形是等腰三角形；
2．如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对__________”）．
数学语言：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）．
【注意】1．“等角对等边”不能叙述为：如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两腰也相等．因为在没有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“腰”这些名词，只有等腰三角形才有“底角”“腰”．
2．“等角对等边”与“等边对等角”的区别：由两边相等得出它们所对的角相等，是等腰三角形的性质；由三角形有两角相等得出它是等腰三角形，是等腰三角形的判定．
三、等边三角形及其性质
等边三角形的概念：三边都相等的三角形是__________三角形．
等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于__________．
【注意】1．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；
2．等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质．
四、等边三角形的判定
判定等边三角形的方法：
1．定义法：三边都相等的三角形是等边三角形．
2．三个角都相等的三角形是等边三角形．
3．有一个角是60°的__________三角形是等边三角形．
五、含30°角的直角三角形的性质
一在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的__________．
【注意】1．该性质是含30°角的特殊直角三角形的性质，一般的直角三角形或非直角三角形没有这个性质，更不能应用．
2．这个性质主要应用于计算或证明线段的倍分关系．
3．该性质的证明出自于等边三角形，所以它与等边三角形联系密切．
4．在有些题目中，若给出的角是15°时，往往运用一个外角等于和它不相邻的两个内角的和将15°的角转化后，再利用这个性质解决问题．
六、最短路径问题
1．求直线异侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题，只要连接这两点，所得线段与直线的交点即为所求的位置．
2．求直线同侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，所得线段与该直线的交点即为所求的位置．
一、相等，重合 二、相等，等边 三、等边，60°四、等腰 五、一半
1．等腰三角形的性质和判定
（1）应用“三线合一”性质的前提条件是在等腰三角形中，且必须是底边上的中线、底边上的高和顶角平分线，若是一腰上的高与中线就不一定重合．
（2）等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线（或底边上的高、底边上的中线）所在的直线是它的对称轴．
例 1
下列结论错误的是
A．等腰三角形的底角必为锐角
B．等腰三角形的底角等于顶角的一半
C．等腰三角形的腰一定大于底边的一半
D．等腰直角三角形底边上的高等于底边的一半
【答案】B
【解析】选项A，根据三角形的内角和定理可知等腰三角形的底角必为锐角，选项A正确；
选项B，等腰三角形的底角不一定等于顶角的一半，如30°、30°、120°的等腰三角形，选项B错误；
选项C，根据三角形的三边关系可得等腰三角形的腰一定大于底边的一半，选项C正确；
选项D，根据等腰直角三角形的性质可得等腰直角三角形底边上的高等于底边的一半，选项D正确．
故选B．
【名师点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的三边关系、三角形的内角和定理及等腰直角三角形的性质，熟练运用相关知识是解决问题的关键．
例 2
已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的顶角是
A．B．
C．D．或
【答案】D
【解析】①当为锐角三角形时，高与右边腰成60°夹角，由三角形内角和为180°可得，顶角为30°；
②当为钝角三角形时，此时垂足落到三角形外面，因为三角形内角和为180°，等腰三角形的顶角的补角为30°，所以三角形的顶角为150°．
故选D．
例 3
如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BE平分∠ABC，CD平分∠ACB，CD交BE于点F，那么图中的等腰三角形共有
A．6个B．7个C．8个D．9个
【答案】C
【解析】∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠ACB=72°；
∵CD、BE分别平分∠ABC、∠ACB，
∴∠ABE=∠ACD=∠EBC=∠DCB=36°，
∴△ABE、△ACD、△BFC为等腰三角形，
∵∠BDC=∠A+∠ACD，∠BEC=∠A+∠ABE，
∴∠BDC=∠BEC=72°，
∴∠CFE=∠BFD=180°-∠ABE-∠BDC=180°-36°-72°=72°，
∴∠BDF=∠BFD，∠CFE=∠CEF，∠DBC=∠BDC，∠BCE=∠BEC，
∴△BDF、△CEF、△BDC，△BEC为等腰三角形，
又△ABC为等腰三角形，
∴图中的等腰三角形共有8个，
故选C．
【名师点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的判定方法是解题的关键．注意数形结合思想的应用．
2．等边三角形的性质和判定
判定等边三角形时常用的选择方法：
若已知三边关系，一般选用：三边都相等的三角形是等边三角形；
若已知三角关系，一般选用：三个角都相等的三角形是等边三角形；
若已知该三角形是等腰三角形，一般选用：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
例 4
下列条件中，不能得到等边三角形的是
A．有两个内角是60°的三角形B．三边都相等的三角形
C．有一个角是60°的等腰三角形D．有两个外角相等的等腰三角形
【答案】D
【解析】A选项：两个内角为60°，因为三角形的内角和为180°，可知另一个内角也为60°，故该三角形为等边三角形；故本选项不符合题意；
B选项：三边都相等的三角形是等边三角形；故本选项不符合题意；
C选项：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；故本选项不符合题意；
D选项：两个外角相等说明该三角形中两个内角相等，而等腰三角形的两个底角是相等的，故不能确定该三角形是等边三角形．故本选项符合题意，
故选D．
【名师点睛】考查了等边三角形的判定：①由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形；②判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形；③判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
例 5
如图，在等边△ABC中，AD⊥BC，AD=AE，则∠EDC=__________．
【答案】15°
【解析】在等边△ABC中，∵AD⊥BC，∴∠BAD=∠DAE=30°．
∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED==75°，∴∠EDC=90°-75°=15°．
故答案为：15°．
【名师点睛】本题考查了等边三角形的性质以及三角形内角和定理，根据已知得出∠ADE=∠AED是解题的关键．
3．含30°角的直角三角形的性质
含30°角的直角三角形的性质是求线段长度和证明线段倍分关系的重要依据．
例 6
如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=30°，AC=5 cm，AD⊥BC于D，则BD=
A．10 cmB．C．D．
【答案】B
【解析】∵∠BAC=90°，∠B=30°，
∴BC=2AC=10 cm，
∵∠BAC=90°，AD⊥BC，
∴∠CAD=∠B=30°，
∴CD=AC=2.5 cm，
∴BD=BC-CD=7.5 cm，
故选B．
【名师点睛】本题考查的是直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
4．最短路径问题
通常利用轴对称变换将不在一条直线上的两条或多条线段转化到一条直线上，从而作出最短路径的选择.
例 7
公园内两条小河MO，NO在O处汇合，两河形成的半岛上有一处景点P（如图所示）．现计划在两条小河上各建一座小桥Q和R，并在半岛上修三段小路，连通两座小桥与景点，这两座小桥应建在何处才能使修路费用最少？请说明理由．
【解析】如图，作P关于OM的对称点P′，作P关于ON的对称点P″，连接P′P″，分别交MO，NO于Q，R，连接PQ，PR，则P′Q=PQ，PR=P″R，则Q，R就是小桥所在的位置．
理由：在OM上任取一个异于Q的点Q′，在ON上任取一个异于R的点R′，连接PQ′，P′Q′，Q′R′，P″R′，PR′，则PQ′=P′Q′，PR′=P″R′，且P′Q′+Q′R′+R′P″>P′Q+QR+RP″，所以△PQR的周长最小，故Q，R就是我们所求的小桥的位置．
1．等腰三角形的一个内角是，则它顶角的度数是
A．B．或C．或D．
2．等腰三角形的三边均为整数，且周长为13，则底边是
A．1或3B．3或5C．1或5D．1或3或5
3．如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，则∠A等于
A．30°B．40°C．45°D．36°
4．如图，△ABC中，AB=AC，D、E分别在AC、AB上，且BD=BC，AD=DE=EB，则∠A的度数等于
A．36°B．40°C．45°D．50°
5．如图，△ABC是等边三角形，P为BC上一点，在AC上取一点D，使AD=AP，且∠APD=70°，则∠PAB的度数是
A．10°B．15°
C．20°D．25°
6．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A=30°，则
A．AD=2BDB．AD=3BD
C．AD=4BDD．AD=5BD
7．等腰三角形的腰长为10，则底边长m的取值范围是__________．
8．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线交AC于点E，垂足为D，BE平分∠ABC，若AE=2，则CE的长为__________．
9．已知：如图，在△ABC中，∠A=30°，∠ACB=90°，M、D分别为AB、MB的中点．求证：CD⊥AB．
10．如图，在△ABC中，
，是边上的中线，于，试说明．
11．已知在△ABC中，AB=5，BC=2，且AC的长为奇数．
（1）求△ABC的周长；
（2）判断△ABC的形状．
12．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=40°，分别以AB，AC为边作两个等腰三角形ABD和ACE，且AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE=90°．
（1）求∠DBC的度数．
（2）求证：BD=CE．
13．如图，BC=BD，AD=AE，DE=CE，∠A=36°，则∠B=
A．45B．36°C．72°D．30°
14．如图，在△ABC中，∠ABC=60°，∠C=45°，AD是BC边上的高，∠ABC的平分线BE交AD于点F，则图中共有等腰三角形
A．2个B．3个C．4个D．5个
15．如图，△ABC中，AB=14，AM平分∠BAC，∠BAM=15°，点D、E分别为AM、AB的动点，则BD+DE的最小值是__________．
16．如图，在中，，D是AB上的点，过点D作交BC于点F，交AC的延长线于点E，连接CD，，则下列结论正确的有__________（将所有正确答案的序号都填在横线上）．
①；②；③是等边三角形；④若，则．
17．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，DE是AC的垂直平分线．
（1）求证：△BCD是等腰三角形；
（2）△BCD的周长是a，BC=b，求△ACD的周长（用含a，b的代数式表示）
18．（2019•聊城）如图，在Rt△ABO中，∠OBA=90°，A（4，4），点C在边AB上，且，点D为OB的中点，点P为边OA上的动点，当点P在OA上移动时，使四边形PDBC周长最小的点P的坐标为
A．（2，2）B．（，）C．（，）D．（3，3）
19．（2019•宁夏）如图，在△ABC中AC=BC，点D和E分别在AB和AC上，且AD=AE．连接DE，过点A的直线GH与DE平行，若∠C=40°，则∠GAD的度数为
A．40°B．45°C．55°D．70°
20．（2019•衢州）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动、C点固定，OC=CD=DE，点D、E可在槽中滑动．若∠BDE=75°，则∠CDE的度数是
A．60°B．65°C．75°D．80°
21．（2019•黄冈）如图，AC，BD在AB的同侧，AC=2，BD=8，AB=8，点M为AB的中点，若∠CMD=120°，则CD的最大值是__________．
22．（2019•齐齐哈尔）等腰△ABC中，BD⊥AC，垂足为点D，且BDAC，则等腰△ABC底角的度数为__________．
23．（2019•镇江）如图，直线a∥b，△ABC的顶点C在直线b上，边AB与直线b相交于点D．若△BCD是等边三角形，∠A=20°，则∠1=__________°．
24．（2019•毕节市）如图，以△ABC的顶点B为圆心，BA长为半径画弧，交BC边于点D，连接AD．若∠B=40°，∠C=36°，则∠DAC的大小为__________度．
25．（2019•兰州）在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，则∠B=__________°．
26．（2019•成都）如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E都在边BC上，∠BAD=∠CAE，若BD=9，则CE的长为__________．
27．（2019•广安）等腰三角形的两边长分别为6 cm，13 cm，其周长为__________cm．
28．（2019•怀化）若等腰三角形的一个底角为72°，则这个等腰三角形的顶角为__________．
29．（2019•白银）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC中，∠A=80°，则它的特征值k=__________．
30．（2019•绥化）如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，则∠A=__________度．
31．（2019•杭州）如图，在△ABC中，AC
（1）已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，连接AP，求证：∠APC=2∠B．
（2）以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点Q，连接AQ．若∠AQC=3∠B，求
∠B的度数．
32．（2019•重庆B卷）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D．
（1）若∠C=42°，求∠BAD的度数；
（2）若点E在边AB上，EF∥AC交AD的延长线于点F．求证：AE=FE．
33．（2019•重庆A卷）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的中点，连接AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F．
（1）若∠C=36°，求∠BAD的度数；
（2）求证：FB=FE．
1．【答案】B
【解析】分两种情况：①可以为顶角；②为底角时，顶角的度数为．故选B．
2．【答案】D
【解析】设底边为x，则腰长为，
∵等腰三角形的三边均为整数，
∴为整数，
∵x，，能构成三角形，
∴0
∴x<6．5且x为正整数，
∴x可取1，3，5，
故选D．
3．【答案】D
【解析】∵AD=BD，∴∠A=∠ABD，∴∠BDC=2∠A．
∵BD=BC，∴∠C=∠BDC=2∠A．∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=2∠A，
由三角形内角和定理，得∠A+2∠A+2∠A=180°，即∠A=36°．故选D．
4．【答案】C
【解析】∵DE=EB，
∴设∠BDE=∠ABD=x，
∴∠AED=∠BDE+∠ABD=2x，
∵AD=DE，
∴∠A=∠AED=2x，
∴∠BDC=∠A+∠ABD=3x，
∵BD=BC，
∴∠C=∠BDC=3x，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=3x，
在△ABC中，3x+3x+2x=180°，
解得x=22.5°，
∴∠A=2x=22.5°×2=45°，
故选C．
5．【答案】C
【解析】因为AD=AP，所以∠APD=∠ADP，因为∠APD=70°，所以∠ADP=70°，
所以∠PAD=180°-70°-70°=40°，因为∠BAC=60°，所以∠PAB=60°-40°=20°，故选C．
6．【答案】B
【解析】∵∠A=30°，∠ACB=90°，
∴∠B=90°-30°=60°，
∴∠BCD=30°，∴BD=BC，BC=AB，
则BD=AB，∴AD=3BD．故选B．
7．【答案】0
【解析】∵等腰三角形的腰长为10，
∴底边长m的取值范围为：10-10
即0
故答案为：0
8．【答案】1
【解析】∵BE平分∠ABC，∠C=90°，ED⊥AB，
∴CE=ED，
∵∠ADE=90°，∠A=30°，
∴DE=AE=1，
∴CE=DE=1，
故答案为：1．
9．【解析】∵∠ACB=90°，M为AB中点，∴CMAB=BM．
∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴CBAB=BM，∴CM=CB．
∵D为MB的中点，
∴CD⊥BM，即CD⊥AB．
10．【解析】∵，是边上的中线，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴．
11．【解析】（1）由题意得：5−2
即：3
∵AB为奇数，
∴AB=5，
∴△ABC的周长为5+5+2=12．
（2）∵AB=AC=5，
∴△ABC是等腰三角形．
12．【解析】（1）∵AB=AC，∠BAC=40°，
∴∠ABC==70°．
∵AB=AD，∠BAD=90°，
∴∠DBA==45°，
∴∠DBC=70°+45°=115°．
（2）∵AB=AD，AC=AE，AB=AC，
∴AB=AC=AD=AE．
又∵∠BAD=∠CAE，
∴△ABD≌△ACE．∴BD=CE．
13．【答案】B
【解析】∵AD=AE，∠A=36°，
∴∠ADE=∠AED==72°，
∴∠DEC=∠A+∠ADE=36°+72°=108°，
∵DE=CE，
∴∠EDC=∠ECD==36°，
∴∠CDB=180°-∠ADE-∠EDC=72°，
∵BC=BD，
∴∠BCD=∠CDB=72°，
∴∠B=180°-∠BCD-∠CDB=36°．
故选B．
14．【答案】B
【解析】∵∠ABC=60°，∠ACB=45°，AD是高，
∴∠DAC=45°，
∴CD=AD，
∴△ADC为等腰直角三角形，
∵∠ABC=60°，BE是∠ABC平分线，
∴∠ABE=∠CBE=30°，
在△ABD中，∠BAD=180°−∠ABD−∠ADB=180°−60°−90°=30°，
∴∠ABF=∠BAD=30°，
∴AF=BF即△ABF是等腰三角形，
在△ABC中，∠BAC=180°−∠ABC−∠ACB=180°−60°−45°=75°，
∵∠AEB=∠CBE＋∠ACB=30°＋45°=75°，
∴∠BAE=∠BEA，
∴AB=EB即△ABE是等腰三角形，
∴等腰三角形有△ACD，△ABF，△ABE；
故选B．
15．【答案】7
【解析】如图，作点E关于AM的对称点H，
则DE=DH，所以BD+DE=BD+DH，当BH⊥AC时，BH的值最小，即BD+DE的最小值是垂线段BH的长．因为∠BAC=30°，∠AHB=90°，所以AB=2BH，所以BH=7，即BD+DE的最小值是7．故答案为：7．
16．【答案】①②④
【解析】∵在△ABC中，∠ACB=90°，DE⊥AB，∴∠ADE=∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∠ACD+
∠DCB=90°，∵∠DCA=∠DAC，∴AD=CD，∠DCB=∠B，故①正确；
∴CD=BD，∵AD=BD，∴CD=AB，故②正确；
∵∠DCA=∠DAC，∴AD=CD，但不能判定△ADC是等边三角形，故③错误；
若∠E=30°，∴∠A=60°，∴△ACD是等边三角形，∴∠ADC=60°，∵∠ADE=∠ACB=90°，∴∠EDC=
∠BCD=∠B=30°，∴CF=DF，∴DE=EF+DF=EF+CF．故④正确．故答案为：①②④．
17．【解析】（1）∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠B=∠ACB==72°，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD=DC，
∴∠ACD=∠A=36°，
∵∠CDB是△ADC的外角，
∴∠CDB=∠ACD+∠A=72°，
∴∠B=∠CDB，
∴CB=CD，
∴△BCD是等腰三角形．
（2）∵AD=CD=CB=b，△BCD的周长是a，
∴AB=a-b，
∵AB=AC，
∴AC=a-b，
∴△ACD的周长=AC+AD+CD=a-b+b+b=a+b．
18．【答案】C
【解析】∵在Rt△ABO中，∠OBA=90°，A（4，4），
∴AB=OB=4，∠AOB=45°，
∵，点D为OB的中点，
∴BC=3，OD=BD=2，
∴D（2，0），C（4，3），
如图，作D关于直线OA的对称点E，连接EC交OA于P，
则此时，四边形PDBC周长最小，E（0，2），
∵直线OA的解析式为y=x，
设直线EC的解析式为y=kx+b，
∴，
解得：，
∴直线EC的解析式为yx+2，
解得，，
∴P（，），
故选C．
19．【答案】C
【解析】∵AC=CB，∠C=40°，
∴∠BAC=∠B（180°-40°）=70°，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED（180°-70°）=55°，
∵GH∥DE，
∴∠GAD=∠ADE=55°，故选C．
20．【答案】D
【解析】∵OC=CD=DE，
∴∠O=∠ODC，∠DCE=∠DEC，
∴∠DCE=∠O+∠ODC=2∠ODC，
∵∠O+∠OED=3∠ODC=∠BDE=75°，
∴∠ODC=25°，
∵∠CDE+∠ODC=180°-∠BDE=105°，
∴∠CDE=105°-∠ODC=80°．故选D．
21．【答案】14
【解析】如图，作点A关于CM的对称点A′，点B关于DM的对称点B′．
∵∠CMD=120°，
∴∠AMC+∠DMB=60°，
∴∠CMA′+∠DMB′=60°，
∴∠A′MB′=60°，
∵MA′=MB′，
∴△A′MB′为等边三角形，
∵CD≤CA′+A′B′+B′D=CA+AM+BD=2+4+8=14，
∴CD的最大值为14，故答案为：14．
22．【答案】15°或45°或75°
【解析】①如图1，当点B是顶角顶点时，
∵AB=BC，BD⊥AC，∴AD=CD，
∵BDAC，∴BD=AD=CD，
在Rt△ABD中，∠A=∠ABD（180°-90°）=45°；
②如图2，当点B是底角顶点，且BD在△ABC外部时，
∵BDAC，AC=BC，
∴BDBC，
∴∠BCD=30°，
∴∠ABC=∠BAC30°=15°；
③如图3，当点B是底角顶点，且BD在△ABC内部时，
∵BDAC，AC=BC，
∴BDBC，∴∠C=30°，
∴∠ABC=∠BAC（180°-30°）=75°，故答案为：15°或45°或75°．
23．【答案】40°
【解析】如图，
∵△BCD是等边三角形，
∴∠BDC=60°，
∵a∥b，
∴∠2=∠BDC=60°，
由三角形的外角性质可知，∠1=∠2-∠A=40°，
故答案为：40．
24．【答案】34
【解析】∵∠B=40°，∠C=36°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=104°，
∵AB=BD，∴∠BAD=∠ADB=（180°-∠B）÷2=70°，
∴∠DAC=∠BAC-∠BAD=34°，
故答案为：34．
25．【答案】70°
【解析】∵AB=AC，∴∠B=∠C，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠B（180°-40°）=70°．
故答案为：70．
26．【答案】9
【解析】∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△BAD和△CAE中，，
∴△BAD≌△CAE，∴BD=CE=9，
故答案为：9．
27．【答案】32
【解析】由题意知，应分两种情况：
（1）当腰长为6 cm时，三角形三边长为6，6，13，6+6<13，不能构成三角形；
（2）当腰长为13 cm时，三角形三边长为6，13，13，周长=2×13+6=32 cm．
故答案为：32．
28．【答案】36°
【解析】∵等腰三角形的一个底角为72°，
∴等腰三角形的顶角=180°-72°-72°=36°，
故答案为：36°．
29．【答案】或
【解析】①当∠A为顶角时，等腰三角形两底角的度数为：50°，
∴特征值k；
②当∠A为底角时，顶角的度数为：180°-80°-80°=20°，
∴特征值k，
综上所述，特征值k为或，
故答案为：或．
30．【答案】36
【解析】设∠A=x，
∵AD=BD，∴∠ABD=∠A=x，∠BDC=2x，
∵BD=BC，∴∠C=∠BDC=2x，∠DBC=x，
∵在BDC中x+2x+2x=180°，
∴x=36°，∴∠A=36°．
故答案为：36．
31．【解析】（1）∵线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，
∴PA=PB，
∴∠B=∠BAP，
∵∠APC=∠B+∠BAP，
∴∠APC=2∠B．
（2）根据题意可知BA=BQ，
∴∠BAQ=∠BQA，
∵∠AQC=3∠B，∠AQC=∠B+∠BAQ，
∴∠BQA=2∠B，
∵∠BAQ+∠BQA+∠B=180°，
∴5∠B=180°，
∴∠B=36°．
32．【解析】（1）∵AB=AC，AD⊥BC于点D，
∴∠BAD=∠CAD，∠ADC=90°，
又∠C=42°，
∴∠BAD=∠CAD=90°-42°=48°．
（2）∵AB=AC，AD⊥BC于点D，
∴∠BAD=∠CAD，
∵EF∥AC，
∴∠F=∠CAD，
∴∠BAD=∠F，
∴AE=FE．
33．【解析】（1）∵AB=AC，
∴∠C=∠ABC，
∵∠C=36°，
∴∠ABC=36°，
∵BD=CD，AB=AC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAD=90°-36°=54°．
（2）∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE∠ABC，
∵EF∥BC，
∴∠FEB=∠CBE，
∴∠FBE=∠FEB，
∴FB=FE．帮—重点
等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质
帮—难点
等腰三角形中的分类讨论问题
帮—易错
等腰三角形“三线合一”性质的应用
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