【精品】人教版 七年级上册数学 专题01 有理数章末重难点题型（举一反三）（解析版）

专题01 有理数章末重难点题型（举一反三）


【考点1 科学记数法及近似数】
【方法点拨】（1）科学记数法的表示形式为a×10n的形式，解决此类问题只需确定a与n的值，其中1≤|a|
＜10，n为整数位数减1，如若数带单位可先将其还原；（2）一般地，一个近似数四舍五入到哪一位，就说
这个数近似到哪一位，也叫做精确到哪一位，但有一个易错点需注意，如2.019×105很多同学错误的认为
这个数是精确到千分位，解决此类问题需将这个数还原成整数201900，这时能确定这个9应在百位上，因
此这个数精确到百位.
【例1】（•浉河区校级期中）年河南省全年生产总值48055.86亿元，数据“48055.86亿”用科学记数法表示为（　　）
A．4.805586×104 B．0.4805586×105
C．4.805586×1012 D．4.805586×1013
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【解答】解：48055.86亿用科学记数法表示为4.805586×1012．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．
【变式1-1】（秋•沭阳县期末）某种鲸鱼的体重约为1.36×105kg，关于这个近似数，下列说法正确的是（　　）
A．它精确到百位 B．它精确到0.01
C．它精确到千分位 D．它精确到千位
【分析】根据近似数的精确度求解．
【解答】解：1.36×105精确到千位．
故选：D．
【点评】本题考查了近似数和有效数字：经过四舍五入得到的数为近似数；从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．
【变式1-2】（•凉州区校级期中）绿水青山就是金山银山，为了创造良好的生态生活环境，我省2017年一季度清理垃圾约1.16×107方，数字1.16×107表示（　　）
A．1.16亿 B．116万 C．1160万 D．11.6亿
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：1.16×107＝11600000＝1160万．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
【变式1-3】近似数3.5的准确值a的取值范围是（　　）
A．3.45≤a≤3.55 B．3.4＜a＜3.6
C．3.45≤a＜3.55 D．3.45＜a≤3.55
【分析】根据四舍五入法，可以得到似数3.5的准确值a的取值范围，本题得以解决．
【解答】解：近似数3.5的准确值a的取值范围是3.45≤a≤3.54，
故选：C．
【点评】本题考查近似数和有效数字，解答本题的关键是明确近似数和有效数字的含义．
【考点2 表示相反意义的量】
【方法点拨】解决此类问题关键是明确正负数在题目中的实际意义从而进一步求解.
【例2】（秋•襄州区期中）一箱苹果的重量标识为“10±0.25”千克，则下列每箱苹果重量中合格的是（　　）
A．9.70千克 B．10.30千克 C．9.60千克 D．10.21千克
【分析】根据“10±0.25千克”，可算出合格范围，再根据合格范围，选出答案．
【解答】解：∵10﹣0.25＝9.75（千克），10+0.25＝10.25（千克），
∴合格范围为：9.75～10.25千克．
故选：D．
【点评】本题考查了正数和负数，计算出合格范围是解题关键．
【变式2-1】（秋•睢宁县期中）某粮店出售4种品牌的面粉，袋上分别标有质量为（20±0.1）kg、（20±0.2）kg、（20±0.3）kg、（20±0.4）kg，这种合格面粉最多相差（　　）
A．0.4kg B．0.5kg C．0.6kg D．0.8kg
【分析】根据题意给出4种品牌的质量波动范围，并求出任意两袋质量相差的最大数．
【解答】解：根据题意从中找出两袋质量波动最大的（20±0.4）kg，则相差0.4﹣（﹣0.4）＝0.8kg．
故选：D．
【点评】本题考查了这正数和负数，有理数的减法运算时解题关键．
【变式2-2】（秋•慈溪市期中）213路公交车从起点开始经过A，B，C，D四站到达终点，各站上下车人数如下（上车为正，下车为负）例如（7，﹣4）表示该站上车7人，下车4人．现在起点站有15人，A （4，﹣8），B（6，﹣5），C（7，﹣3），D（1，﹣4）．车上乘客最多时有（　　）名．
A．13 B．14 C．15 D．16
【分析】根据题意可以算出各个阶段对应的乘客人数，从而可以解答本题．
【解答】解：由题意可得，
起点到A站之间，车上有15人，
A站到B站之间，车上有：15+4﹣8＝11（人），
B站到C站之间，车上有：11+6﹣5＝12（人），
C站到D站之间，车上有：12+7﹣3＝16（人），
D站到终点之间，车上有：16+1﹣4＝13（人），
由上可得，车上乘客最多有16人，
故选：D．
【点评】本题考查正负数，解答本题的关键是明确正负数在题目中的实际意义．
【变式2-3】（秋•封开县期中）如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．从轻重的角度看，最接近标准的是（　　）
A．﹣3.5 B．+2.5 C．﹣0.6 D．+0.7
【分析】求出每个数的绝对值，根据绝对值的大小找出绝对值最小的数即可．
【解答】解：∵|﹣0.6|＜|+0.7|＜|+2.5|＜|﹣3.5|，
∴﹣0.6最接近标准，
故选：C．
【点评】本题考查了绝对值和正数和负数的应用，掌握正数和负数的概念和绝对值的性质是解题的关键，主要考查学生的理解能力，题目具有一定的代表性，难度也不大．
【考点3 有理数相关概念】
【方法点拨】解决此类问题需理解并熟记有理数相关概念，如①整数和分数统称为有理数；②正有理数、0和负有理数亦可称为有理数；③只有符号不同的两个数叫做互为相反数；④在数轴上原点的两旁，离开原点距离相等的两个点所表示的数，叫做互为相反数；⑤数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值；⑥一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.
【例3】（秋•江城区期中）下列说法中正确的是（　　）
A．正数和负数统称为有理数
B．有理数是指整数、分数、正有理数、负有理数和0五类
C．一个有理数不是整数，就是分数
D．整数包括正整数和负整数
【分析】根据有理数的分类，逐一做出判断即可．
【解答】解：因为是正数，却不是有理数，故选项A错误；
有理数按定义分为整数和分数，按性质分为正有理数、负有理数和0．故选项B错误；
因为整数和分数统称有理数，所以一个有理数不是整数，就是分数，故选项C正确；
整数包括正整数、负整数和0，由于缺少0故选项D错误．
故选：C．
【点评】本题考查有理数的分类，解题的关键是掌握有理数的分类标准，做到不重不漏．
【变式3-1】（秋•常熟市期中）下列各数：，1.010010001，，0，﹣π，﹣2.626626662…，，其中有理数的个数是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】直接利用有理数的概念分析得出答案．
【解答】解：﹣，1.010010001，，0，﹣π，﹣2.626626662…，0.，其中有理数为：﹣，1.010010001，，0，0.，共5个．
故选：C．
【点评】此题主要考查了有理数的相关概念，正确把握相关定义是解题关键．
【变式3-2】下列说法正确的是（　　）
A．正数与负数互为相反数
B．符号不同的两个数互为相反数
C．数轴上原点两旁的两个点所表示的数是互为相反数
D．任何一个有理数都有它的相反数
【分析】A、B、C可举反例判断，D根据相反数的概念解答即可．
【解答】解：A、B、C、如+3和﹣2不是互为相反数，故本选项错误；
D、任何一个有理数都有它的相反数，正确．
故选：D．
【点评】本题考查了相反数的意义，相反数是只有符号不同的两个数．
【变式3-3】（秋•东台市期中）下列说法正确的是（　　）
A．绝对值等于3的数是﹣3
B．绝对值不大于2的数有±2，±1，0
C．若|a|＝﹣a，则a≤0
D．一个数的绝对值一定大于这个数的相反数
【分析】利用绝对值的知识分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、绝对值等于3的数是3和﹣3，故错误；
B、绝对值不大于2的整数有±2，±1，0，故错误；
C、若|a|＝﹣a，则a≤0，正确，
D、负数的绝对值等于这个数的相反数，故错误，
故选：C．
【点评】本题考查了绝对值的性质，绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
【考点4 利用数轴判断符号】
【方法点拨】解决此类问题需由数轴得知字母所表示的数的正负性，再根据有理数加、减、乘、除、乘方、绝对值的意义以及数轴上右边点的数总比左边的数大判断即可.
【例4】（秋•宿松县期末）有理数a，b在数轴上的表示如图所示，则下列结论中：①ab＜0，②﹣a＞﹣b，③a+b＜0，④a﹣b＜0，⑤a＜|b|，正确的有（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据数轴知b＜0＜a，且|a|＜|b|，再利用有理数的乘法、加法、减法及绝对值性质等知识点逐一判断可得．
【解答】解：由数轴知b＜0＜a，且|a|＜|b|，
则①ab＜0，此结论正确；
②﹣a＜﹣b，此结论错误；
③a+b＜0，此结论正确；
④a﹣b＞0，此结论错误；
⑤a＜|b|，此结论正确；
故选：B．
【点评】本题考查的是数轴和绝对值，熟知数轴上右边的数总比左边的大及有理数的混合运算法则是解答此题的关键．
【变式4-1】（秋•西城区期末）如图，数轴上A，B两点对应的数分别是a和b，对于以下四个式子：①2a﹣b；②a+b；③|b|﹣|a|：④，其中值为负数的是（　　）

A．①② B．③④ C．①③ D．②④
【分析】根据图示，可得b＜﹣3，0＜a＜3，据此逐项判断即可．
【解答】解：根据图示，可得b＜﹣3，0＜a＜3，
①2a﹣b＞0；
②a+b＜0；
③|b|﹣|a|＞0；
④＜0．
故其中值为负数的是②④．
故选：D．
【点评】此题主要考查了绝对值的含义和求法，以及数轴的特征和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是判断出a、b的取值范围．
【变式4-2】（秋•九龙坡区校级期中）如图，数轴上A、B两点分别对应有理数a、b，则下列结论：①ab＜0；②a+b＞0；③a﹣b＞1；④a2﹣b2＜0，其中正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据数轴的性质，可以得到两个点表示数的大小关系和符号，根据有理数计算法则可得出结论
【解答】解：∵b＜﹣1＜0，0＜a＜1
∴①ab＜0，正确
②a+b＞0，错误
③a﹣b＞1，正确
④a2﹣b2＜0，正确
故选：C．
【变式4-3】（秋•黄陂区期中）有理数a、b、c在数轴上对应的点的位置，如图所示：①abc＜0；②|a﹣b|+|b﹣c|＝|a﹣c|；③（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）＞0；④|a|＜1﹣bc，以上四个结论正确的有（　　）个．

A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】先根据数轴上a、b、c的位置判断它们的正负、大小，利用乘法的符号法则、有理数的减法法则、绝对值的化简等知识点逐个判断得结论．
【解答】解：由数轴知：a＜﹣1＜0＜b＜c＜1．
∵a＜0．b＞0，c＞0，∴abc＜0，故①正确；
∵a＜b，b＜c，a＜c，
∴|a﹣b|+|b﹣c|＝b﹣a+c﹣b＝c﹣a，
|a﹣c|＝c﹣a，
∴|a﹣b|+|b﹣c|＝|a﹣c|，故②正确；
∵a＜b，b＜c，a＜c，
∴a﹣b＜0，b﹣c＜0，c﹣a＞0
∴（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）＞0，故③正确；
∵a＜﹣1，∴|a|＞1，
∵0＜b＜c＜1，∴0＜bc＜1，
∴1﹣bc＜1，
∴|a|＞1﹣bc，故④不正确．
故选：B．
【点评】本题考查了数轴上点的特点，有理数乘法的符号法则，有理数的大小比较，绝对值的化简等知识点，掌握减法、乘法的符号法则是解决本题的关键．
【考点5 绝对值及偶次乘方的非负性】
【方法点拨】直接利用绝对值及偶次乘方的非负数的性质分别得出字母的值，进而得出答案．
【例5】（2019春•瑞安市期中）若|x+2|+（x+3y+1）2＝0，则yx的值为　 　．
【分析】直接利用绝对值以及偶次方的性质分别化简得出答案．
【解答】解：∵|x+2|+（x+3y+1）2＝0，
∴x+2＝0，x+3y+1＝0，
解得：x＝﹣2，y＝，
故yx＝（）﹣2＝9．
故答案为：9．
【点评】此题主要考查了非负数的性质，正确得出x，y的值是解题关键．
【变式5-1】（秋•蔡甸区期末）若（x﹣2）2与|x+2y|互为相反数，则y﹣x＝　 　．
【分析】直接利用非负数的性质分别得出x，y的值，进而得出答案．
【解答】解：∵（x﹣2）2与|x+2y|互为相反数，
∴x﹣2＝0，x+2y＝0，
解得：x＝2，y＝﹣1，
故y﹣x＝﹣1﹣2＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】此题主要考查了非负数的性质，正确得出x，y的值是解题关键．
【变式5-2】（秋•滨湖区校级月考）当x　 　时，2﹣（x+3）2有最大值．
【分析】直接利用偶次方的性质分析得出答案．
【解答】解：当x+3＝0时，2﹣（x+3）2有最大值，
解得：x＝﹣3．
故答案为：＝﹣3．
【点评】此题主要考查了非负数的性质，正确利用偶次方的性质是解题关键．
【变式5-3】（秋•江南区校级月考）当x＝　 　时，﹣10+|x﹣1|有最小值，最小值为　 　．
【分析】直接录用绝对值的性质分析得出答案．
【解答】解：∵|x﹣1|最小为0，
∴当x＝1时，﹣10+|x﹣1|有最小值，最小值为：﹣10．
故答案为：1，﹣10．
【点评】此题主要考查了非负数的性质，正确掌握绝对值的性质是解题关键．
【考点6 利用相反数、倒数、绝对值定义求值】
【方法点拨】解决此类问题需熟知两个互为相反数的数和为0，两个互为倒数的数乘积为1，值得注意的是
已知一个数的绝对值为非0的数，那么这个数应该有两个，此时应注意分类讨论，结果往往有两个.
【例6】（秋•富顺县期中）若a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为4．
（1）直接写出a+b，cd，m的值；
（2）求m+cd+的值．
【分析】（1）直接利用互为相反数以及互为倒数和绝对值的定义分别分析得出答案；
（2）利用（1）中所求，代入得出答案．
【解答】解：（1）∵a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为4，
∴a+b＝0，cd＝1，m＝±4；
（2）由（1）得：
原式＝±4+1＝5或﹣3．
【点评】此题主要考查了倒数、相反数、绝对值，正确把握相关定义是解题关键．
【变式6-1】（2019春•白塔区校级月考）已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值等于3，求m2+（cd+a+b）×m+（cd）的值．
【分析】利用倒数，相反数的性质，以及绝对值的代数意义求出a+b，cd，m的值，代入原式计算即可求出值．
【解答】解：∵a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值等于3，
∴a+b＝0，cd＝1，|m|＝3，
当m＝﹣3时，m2+（cd+a+b）×m+（cd）＝（﹣3）2+（1+0）×（﹣3）+1＝9+1×（﹣3）+1＝9+（﹣3）+1＝7；
当m＝3时，∴m2+（cd+a+b）×m+（cd）＝13
【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式6-2】（秋•临洮县月考）若a、b互为相反数，c、d互为倒数，p的绝对值等于2，则关于x的方程（a+b）x2+3cd•x﹣p2＝0的解是多少？
【分析】直接利用倒数以及绝对值、相反数的定义得出答案．
【解答】解：∵a、b互为相反数，c、d互为倒数，p的绝对值等于2，
∴a+b＝0，cd＝1，p2＝4，
∴（a+b）x2+3cd•x﹣p2＝0，
整理得：3x﹣4＝0，
解得：x＝．
【点评】此题主要考查了倒数、相反数、绝对值，正确把握相关定义是解题关键．
【变式6-3】（秋•湖里区校级月考）已知：有理数m所表示的点与﹣1表示的点距离4个单位，a，b互为相反数，且都不为零，c，d互为倒数．
求：2a+2b+（a+b﹣3cd）﹣m的值．
【分析】直接利用相反数以及互为倒数的性质得出a+b＝0，cd＝1，进而分类讨论得出答案．
【解答】解：∵有理数m所表示的点与﹣1表示的点距离4个单位，
∴m＝﹣5或3，
∵a，b互为相反数，且都不为零，c，d互为倒数，
∴a+b＝0，cd＝1，
当m＝﹣5时，
∴2a+2b+（a+b﹣3cd）﹣m
＝2（a+b）+（a+b）﹣3cd﹣m
＝﹣3﹣（﹣5）
＝2，
当m＝3时，
2a+2b+（a+b﹣3cd）﹣m
＝2（a+b）+（a+b）﹣3cd﹣m
＝﹣3﹣3
＝﹣6
综上所述：原式＝2或﹣6．
【点评】此题主要考查了倒数与相反数，正确把握相关定义是解题关键．
【考点7 利用绝对值、乘方的性质求值】
【方法点拨】解决此类问题需熟知一个数的绝对值或乘方是一个正数，那么这个数应该有两个，需注意进
行分类讨论，另外会熟练运用绝对值的意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反
数；0的绝对值是0.包括逆向用法.
【例7】（秋•江阴市校级月考）若实数a，b满足a2＝16，|b|＝6，且a﹣b＜0，求a+b的值．
【分析】根据有理数的乘方和绝对值的性质求出a、b，再根据a﹣b＜0判断出a、b的对应情况，然后相加即可得解．
【解答】解：∵a2＝16，|b|＝6，
∴a＝±4，b＝±6，
∵a﹣b＜0，
∴a＜b，
∴①a＝﹣4，b＝6，则a+b＝2，
②a＝4，b＝6，则a+b＝10，
综上所述，a+b的值等于2或10．
【点评】本题考查了有理数的加法，绝对值的性质，有理数的减法，确定出a、b的值是解题的关键．
【变式7-1】（秋•孝南区月考）已知|a|＝8，b2＝36，若|a﹣b|＝b﹣a，求a+b的值．
【分析】根据绝对值和乘方的意义可得a＝±8，b＝±6，再由绝对值的性质可得a﹣b≤0，进而可确定a、b的值，然后可得答案．
【解答】解：∵|a|＝8，b2＝36，
∴a＝±8，b＝±6，
∵|a﹣b|＝b﹣a，
∴a﹣b≤0，
∴a≤b，
∴a＝﹣8，b＝﹣6，则a+b＝﹣14，
a＝﹣8，b＝6，a+b＝﹣2，
故答案为：﹣2或﹣14．
【点评】此题主要考查了绝对值的性质和有理数的乘方，关键是掌握有理数乘方的意义，掌握非正数的绝对值等于它的相反数．
【变式7-2】（秋•江岸区期中）已知|x+4|＝5，（1﹣y）2＝9，且x﹣y＜0，求2x+y的值．
【分析】根据绝对值和偶次幂得出x，y的值，进而解答即可．
【解答】解：因为|x+4|＝5，（1﹣y）2＝9，且x﹣y＜0，
所以x＝1，y＝4，或x＝﹣9，y＝﹣2，
所以2x+y＝6或﹣20．
【点评】本题考查有理数的乘方、绝对值的性质，解题的关键是根据绝对值和偶次幂得出x，y的值．
【变式7-3】（秋•泰兴市校级月考）若|a|＝2，|b|＝3，|c|＝6，|a+b|＝﹣（a+b），|b+c|＝b+c．
计算a+b﹣c的值．
【分析】根据题意可以求得a、b、c的值，从而可以求得所求式子的值．
【解答】解：∵|a|＝2，|b|＝3，|c|＝6，
∴a＝±2，b＝±3，c＝±6，
∵|a+b|＝﹣（a+b），|b+c|＝b+c，
∴a+b≤0，b+c≥0，
∴a＝±2，b＝﹣3，c＝6，
∴当a＝2，b＝﹣3，c＝6时，
a+b﹣c＝2+（﹣3）﹣6＝﹣7，
a＝﹣2，b＝﹣3，c＝6时，
a+b﹣c＝﹣2+（﹣3）﹣6＝﹣11．
【点评】本替考查有理数的加减混合运算、绝对值，解答本题的关键是明确有理数加减混合运算的计算方法．
【考点8 有理数混合运算】
【方法点拨】解决此类问题需熟练掌握有理数混合运算的先后顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，
有括号的先算括号里，值得注意有些题可能会运用运算律进行简便运算.
【例8】（2019春•黄州区校级月考）计算：
（1）
（2）
【分析】（1）原式利用乘法分配律计算即可求出值；
（2）原式先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可求出值．
【解答】解：（1）原式＝﹣6+27﹣15＝6；
（2）原式＝9××（﹣）+4+4×（﹣）＝﹣﹣+4＝﹣．
【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式8-1】（秋•宝应县期末）计算：
（1）
（2）
【分析】（1）先算乘方，再算乘法，最后算减法；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算；
（2）先算乘方，再算除法，最后算减法；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号和绝对值，要先做括号和绝对值内的运算．
【解答】解：（1）﹣15﹣[﹣1﹣（4﹣22×5）]
＝﹣15﹣[﹣1﹣（4﹣4×5）]
＝﹣15﹣[﹣1﹣（4﹣20）]
＝﹣15﹣（﹣1+16）
＝﹣15﹣15
＝﹣30；
（2）﹣12019﹣（1﹣）÷|3﹣（﹣3）2|
＝﹣1﹣÷|3﹣9|
＝﹣1﹣÷6
＝﹣1﹣
＝﹣1．
【点评】考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
【变式8-2】（2019春•沙坪坝区校级月考）计算：
（1）．
（2）．
【分析】（1）原式先计算乘方运算，再计算乘法运算，最后算加减运算即可求出值；
（2）原式利用乘方的意义，以及乘法分配律计算即可求出值．
【解答】解：（1）原式＝﹣8﹣81﹣27＝﹣113；
（2）原式＝﹣1+8﹣2+4＝9．
【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式8-3】（秋•渝中区校级期末）有理数的计算：
（1）
（2）
【分析】（1）去括号，再利用加法交换律和结合律计算可得；
（2）根据有理数的混合运算顺序和运算法则计算可得．
【解答】解：（1）原式＝﹣1+2+1+3﹣1
＝﹣1+6
＝5；
（2）原式＝﹣2﹣1××（12﹣+）
＝﹣2﹣×12
＝﹣2﹣9
＝﹣11．
【点评】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则及其运算律．
【考点9 有理数混合运算的应用】
【方法点拨】对于应用题理解题意是解决此类题型的关键.
【例9】（秋•新疆期末）某工厂一周计划每日生产自行车100辆，由于工人实行轮休，每日上班人数不一定相等，实际每日生产量与计划量相比情况如下表（以计划量为标准，增加的车辆数记为正数，减少的车辆数记为负数）：
星期
一
二
三
四
五
六
日
增减/辆
﹣1
+3
﹣2
+4
+7
﹣5
﹣10
（1）生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产多少辆？
（2）本周总生产量是多少？比原计划增加了还是减少了？增减数为多少？
【分析】（1）由表格找出生产量最多与最少的，相减即可得到结果；
（2）根据题意列出算式，计算即可得到结果．
【解答】解：（1）7﹣（﹣10）＝17（辆）；
（2）100×7+（﹣1+3﹣2+4+7﹣5﹣10）＝696（辆），
答：（1）生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产17辆；
（2）本周总生产量是696辆，比原计划减少了4辆．
【点评】此题考查了有理数的加减混合运算，以及正数与负数，弄清题意是解本题的关键．
【变式9-1】（秋•康巴什校级月考）根据实验测定：高度每增加1千米，气温大约变化量为﹣6℃，某登山运动员攀登2km后，
（1）气温有什么变化？
（2）过一会后运动员在攀登途中发回信息，报告他所在高度的气温为﹣15℃，如果当时地面温度为3℃，求此时该登山运动员攀登了少千米？
【分析】（1）由高度每增加1千米，气温大约变化量为﹣6℃可得．
（2）根据高度每增加1千米，气温大约降低6℃，由他所在高度的气温即可求出高度．
【解答】解：（1）根据题意，登山运动员攀登2km后，气温下降12℃；

（2）根据题意得：[3﹣（﹣15）]÷6×1＝3（千米），
则此时该登山运动员所在位置的高度是3千米．
【点评】此题考查了有理数混合运算的应用，解题的关键是理解“高度每增加1千米，气温大约降低6℃”的意义．
【变式9-2】（秋•雁塔区校级期末）快递配送员王叔叔一直在一条南北走向的街道上送快递，如果规定向北为正，向南为负，某天他从出发点开始所行走的路程记录为（长度单位：千米）：+3，﹣4，+2．+3．﹣1，﹣1，﹣3
（1）这天送完最后一个快递时，王叔叔在出发点的什么方向，距离是多少？
（2）如果王叔叔送完快递后，需立即返回出发点，那么他这天送快递（含返回）共耗油多少升（已知每千米耗油0.2升）？
【分析】（1）在计算最终位置的时候，既要考虑距离的变化，又要考虑方向的变化，所以包含表示方向的符号一起进行加减运算，即求：+3﹣4+2+3﹣1﹣1﹣3的和．
（2）考虑耗油时，只要考虑路程的总变化，不需要考虑方向的变化，所以将上述数值的绝对值相加，并包括回到出发点的距离求总路程，再计算耗油量．
【解答】解：（1）由题意得：
+3﹣4+2+3﹣1﹣1﹣3
＝﹣9+8
＝﹣1
答：王叔叔送完最后一个快递时，在出发点的南方，距离出发点是1km．
（2）设王叔叔总的行驶路程为S，则S＝|+3|+|﹣4|+|+2|+|+3|+|﹣1|+|﹣1|+|﹣3|+|﹣1|＝18
∵每行驶1千米耗油0.2升，
∴耗油量为18×0.2＝3.6
答：王叔叔这天送快递（含返回）共耗油3.6升．
【点评】本题考查的是有理数中正负数表示的意义与绝对值的意义，理解符合在问题中表示的意义是解决本题的关键．
【变式9-3】小明是“环保小卫士”，课后他经常关心环境天气的变化，最近他了解到上周白天的平均气温，如下表（+表示比前一天升了，﹣表示比前一天下降了．单位：℃）
星期
一
二
三
四
五
六
七
气温变化
+1.1
﹣0.3
+0.2
+0.4
+1
+1.4
﹣0.3
已知上周周日平均气温是16.9℃，回答下列问题：
（1）这一周哪天的℃平均气温最高是多少？
（2）计算这一周每天的平均气温？
（3）小明了解到本地的平均气温同期历史最高气温是17.2℃，最低气温是4.2℃，用一句话概括本地的气温变化．
【分析】（1）观察表中数字不难看出：前六天中，除了星期二是负数，其它均为正数，显然周六的平均气温最高；
（2）只需依次相加即可分别求出这一周每天的平均气温；
（3）根据前面的计算结果，和历史数据比较就可以得到结论．
【解答】解：（1）16.9+1.1＝18℃
18﹣0.3＝17.7℃
17.7+0.2＝17.9℃
17.9+0.4＝18.3℃
18.3+1＝19.3℃
19.3+1.4＝20.7℃
20.7﹣0.3＝20.4℃
故周六平均气温最高，最高是20.7℃；

（2这周每天的平均气温是：
周一16.9+1.1＝18℃；
周二18﹣0.3＝17.7℃；
周三17.7+0.2＝17.9℃；
周四17.9+0.4＝18.3℃；
周五18.3+1＝19.3℃；
周六19.3+1.4＝20.7℃；
周日20.7﹣0.3＝20.4℃．

（3）由于本地的平均气温同期历史最高气温是17.2℃，最低气温是4.2℃，
所以本地温差变化不大．
【点评】此题要求学生熟练进行有理数的连加减运算．
【考点10 有关数轴的探究题】
【方法点拨】解决此类问题数形结合思想是关键.
【例10】（秋•海淀区校级期中）如图，半径为1的小圆与半径为2的大圆，有一个公共点与数轴上的原点重合，两圆在数轴上做无滑动的滚动，小圆的运动速度为每秒π个单位，大圆的运动速度为每秒2π个单位，
（1）若小圆不动，大圆沿数轴来回滚动，规定大圆向右滚动的时间记为正数，向左滚动时间即为负数，依次滚动的情况录如下（单位：秒）：
﹣1，+2，﹣4，﹣2，+3，+6
①第　 　次滚动后，大圆与数轴的公共点到原点的距离最远；
②当大圆结束运动时，大圆运动的路程共有多少？此时两圆与数轴重合的点之间的距离是多少？（结果保留π）
（2）若两圆同时在数轴上各自沿着某一方向连续滚动，滚动一段时间后两圆与数轴重合的点之间相距9π，求此时两圆与数轴重合的点所表示的数．

【分析】（1）①算出每次滚动后大圆与数轴的公共点到原点的距离，然后比较大小即可；
②总路程与方向无关把每次的移动的距离相加即可；
（2）分同向和反相两种情况讨论，同向路程之差为9π，反向路程之和为9π，然后求出相应时间，再根据不同方向确定两圆与数轴重合的点所表示的数
【解答】解：（1）①：第1次滚动后，大圆与数轴的公共点到原点的距离：|﹣1×2π|＝2π
第2次滚动后，大圆与数轴的公共点到原点的距离：|﹣1×2π+2×2π|＝2π
第3次滚动后，大圆与数轴的公共点到原点的距离：|﹣1×2π+2×2π﹣4×2π|＝6π
第4次滚动后，大圆与数轴的公共点到原点的距离：|﹣1×2π+2×2π﹣4×2π﹣2×2π|＝10π
第5次滚动后，大圆与数轴的公共点到原点的距离：|﹣1×2π+2×2π﹣4×2π﹣2×2π+3×2π|＝4π
第6次滚动后，大圆与数轴的公共点到原点的距离：|﹣1×2π+2×2π﹣4×2π﹣2×2π+3×2π+6×2π|＝8π
所以第四次滚动后大圆与数轴的公共点到原点的距离最远．
故答案为4；
②总路程为：|﹣1×2π|+|+2×2π|+|﹣4×2π|+|﹣2×2π|+|+3×2π|+|+6×2π|＝36π
此时两圆与数轴重合的点之间的距离为：|﹣1×2π+2×2π﹣4×2π﹣2×2π+3×2π+6×2π|＝8π
（2）当它们同向运动时
秒，
小圆与数轴重合的点所表示的数为9π，大圆与数轴重合的点所表示的数为18π，
或小圆与数轴重合的点所表示的数为﹣9π，大圆与数轴重合的点所表示的数为﹣18π，
当它们反向运动时
秒，
小圆与数轴重合的点所表示的数为﹣3π，大圆与数轴重合的点所表示的数为6π，
或小圆与数轴重合的点所表示的数为3π，大圆与数轴重合的点所表示的数为﹣6π，
【点评】此题综合考查了数轴、绝对值的有关内容，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，且不容易遗漏，体现了数形结合的优点．
【练10-1】（秋•江岸区校级月考）如图，数轴上A，B两点对应的数分别﹣4，8．有一动点P从点A出发第一次向左运动1个单位长度；然后在新的位置第二次运动，向右运动2个单位长度；在此位置第三次运动，向左运动3个单位长度，…按照如此规律不断地左右运动
（1）当运动到第次时，求点P所对应的有理数．
（2）点P会不会在某次运动时恰好到达某一个位置，使点P到点B的距离是点P到点A的距离的3倍？若可能请求出此时点P的位置，若不可能请说明理由．

【分析】（1）根据题意可以发现点P运动后对应的点的规律，从而可以解答本题；
（2）根据题意分两种情况：①当P点在A点的左边时；②当P点在AB之间时；可以求得点P对应的有理数．
【解答】解：（1）﹣4﹣1+2﹣3+4﹣5+6﹣…﹣2017+
＝﹣4+1009
＝1005．
故点P所对应的有理数是1005．
（2）①当P点在A点的左边时，
∵PB＝3PA，
∴AB＝2PA，
∴PA＝6，
∴P点对应的数为﹣10，
﹣4﹣1+2﹣3+4﹣5+6﹣7+8﹣9+10﹣11＝﹣10，
∴可以；
②当P点在AB之间时，
∵PB＝3PA，
∴AB＝4PA，
∴PA＝3，
∴P点对应的数为﹣1，﹣4﹣1+2﹣3+4﹣5+6＝﹣1，
∴可以．
∴点P对应的数为﹣10或﹣1．
【点评】本题考查数轴，解答本题的关键是明确数轴的特点，利用分类思想、数形结合的思想解答．
【练10-2】（秋•淮阴区期中）已知在纸面上有一数轴（如图1），折叠纸面．
（1）若1表示的点与﹣1表示的点重合，则﹣4表示的点与　 　表示的点重合；
（2）若﹣2表示的点与8表示的点重合，回答以下问题：
①16表示的点与　 　表示的点重合；
②如图2，若数轴上A、B两点之间的距离为（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，则A、B两点表示的数分别是　 　、　 　．
（3）如图3，若m和n表示的点C和点D经折叠后重合，（m＞n＞0），现数轴上P、Q两点之间的距离为a（P在Q的左侧），且P、Q两点经折叠后重合，求P、Q两点表示的数分别是多少？（用含m，n，a的代数式表示）

【分析】（1）由表示1与﹣1的两点重合，利用对称性即可得到结果；
（2）由﹣2表示的点与8表示的点重合，确定出3为对称点，得出两项的结果即可；
（3）根据（2）的计算方法进行解答．
【解答】解：（1）若1表示的点与﹣1表示的点重合，则原点为对称点，所以﹣4表示的点与4表示的点重合；
（2）由题意得：（﹣2+8）÷2＝3，即3为对称点，
①根据题意得：2×3﹣16＝﹣10；
②∵3为对称点，A、B两点之间的距离为（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，
∴A表示的数＝﹣+3＝﹣1006，B点表示的数＝+3＝1012；
（3）点P表示的数为：；点Q表示的数为：．
故答案为：（1）4；（2）①﹣10； ②﹣1006，1012．
【点评】本题考查了数轴的运用．关键是利用数轴，数形结合求出答案，注意不要漏解．
【练10-3】（秋•海淀区校级期中）下面材料：已知点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为|AB|．
当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，|AB|＝|OB|＝|b|＝|a﹣b|
当A、B两点都不在原点时，
（1）如图2，点A、B都在原点的右边，|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b|﹣|a|＝b﹣a＝|a﹣b|
（2）如图3，点A、B都在原点的左边，|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b|﹣|a|＝﹣b﹣（﹣a）＝a﹣b＝|a﹣b|
（3）如图4，点A、B在原点的两边，|AB|＝|OA|+|OB|＝|a|+|b|＝a+（﹣b）＝a﹣b＝|a﹣b|
综上，数轴上A、B两点的距离|AB|＝|a﹣b|
回答下列问题：
（1）数轴上表示﹣2和﹣5两点之间的距离是　 　；
（2）数轴上表示x和﹣1的两点A、B之间的距离是|x+1|，如果|AB|＝2，那么x为　 　；
（3）当代数式|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是　 　．

【分析】本题应从绝对值在数轴上的定义（绝对值定义是坐标轴上的点到原点的距离）下手，分别解出答案．
【解答】解：（1）﹣2﹣（﹣5）＝﹣2+5＝3；所以﹣2与﹣5两点之间的距离是3；
（2）因为|x+1|＝2，所以x＝1或﹣3；
（3）根据绝对值的定义，|x+1|+|x﹣2|可表示为x到﹣1与2两点距离的和，根据绝对值的几何意义知，当x在﹣1与2之间时，|x+1|+|x﹣2|有最小值3．
故答案为：（1）3 （2）1或﹣3 （3）﹣1≤x≤2
【点评】本题考查了绝对值的集合意义．读懂并理解题目材料，会利用绝对值的几何意义是解决本题的关键．