【精品】人教版 七年级上册数学 专题08 一元一次方程章末重难点题型（举一反三）（人教版）（原卷版）

专题08  一元一次方程章末重难点题型汇编【举一反三】

【人教版】

【考点1  一元一次方程的定义】

【方法点拨】一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，并且含未知数项的系数不是

零的整式方程是一元一次方程.

【例1】（2019秋•南岗区校级月考）在方程①3x+y＝4，②2x﹣＝5，③3y+2＝2﹣y，④2x2﹣5x+6＝2（x2+3x）中，是一元一次方程的个数为（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【变式1-1】（秋•赣州期末）已知关于x的方程（m﹣2）x|m﹣1|＝0是一元一次方程，则m的值是（　　）

A．2 B．0 C．1 D．0或2

【变式1-2】（2019春•南关区校级期中）下列方程：①2x+6＝7；②x﹣4＝；③x+0.3x＝4；④3x2﹣4x＝9；⑤x＝0；⑥3x﹣2y＝8；⑦x＝1；⑧＝2中是一元一次方程的个数是（　　）

A．6个 B．5个 C．4个 D．3个

【变式1-3】（2019春•南关区校级月考）如果关于x的方程（m+1）x2+（m﹣1）x+m＝0是一元一次方程，则m的值为（　　）

A．1 B．﹣1 C．0 D．1或﹣1

【考点2  等式的基本性质】

【方法点拨】等式的性质：

等式性质1：等式两边都加上（或减去）同一个数（或式子），结果仍相等；

等式性质2：等式两边都乘以（或除以）同一个不为零的数，结果仍相等.

【例2】（2019春•西湖区校级月考）设x，y，c是实数，则下列判断正确的是（　　）

A．若x＝y，则x+c＝y﹣c B． 

C．若x＝y，则 D．若，则2x＝3y

【变式2-1】（2019春•西湖区校级月考）如图，三个天平的托盘中形状相同的物体质量相等．图（1）、（2）所示的两个天天平处于平衡状态，要使第3个天平也保持平衡，则需在它的右盘中放置（　　）

A．3个球 B．4个球 C．5个球 D．7个球

【变式2-2】（2019春•新罗区期中）如图，其中图（a）（b）中天平保持左右平衡，现要使图（c）中的天平也平衡，需要在天平右盘中放入砝码的克数为（　　）

A．25克 B．30克 C．40克 D．50克

【变式2-3】（秋•鄂城区期末）已知等式3a＝b+2c，那么下列等式中不一定成立的是（　　）

A．3a﹣b＝2c B．4a＝a+b+2c C．a＝b+c D．3＝+

【考点3  一元一次方程的解】

【方法点拨】方程的解：使等式左右两边相等的未知数的值叫方程的解；注意：“方程的解就能代入”。

【例3】（秋•榆次区期末）已知x＝1是方程的解，则k的值是（　　）

A．﹣2 B．2 C．0 D．﹣1

【变式3-1】已知关于x的一元一次方程x+3＝2x+b的解为x＝﹣2，那么关于y的一元一次方程（y+1）+3＝2（y+1）+b的解为（　　）

A．y＝3 B．y＝1 C．y＝﹣1 D．y＝﹣3

【变式3-2】（秋•景德镇期末）若不论k取什么实数，关于x的方程（m，n是常数）的解总是x＝1，则m+n的值为（　　）

A． B． C． D．﹣

【变式3-3】（2019春•九龙坡区校级月考）已知a为正整数，且关于x的一元一次方程ax﹣14＝x+7的解为整数，则满足条件的所有a的值之和为（　　）

A．36 B．10 C．8 D．4

【考点4  解一元一次方程】

【方法点拨】一元一次方程解法的一般步骤：

 化简方程----------分数基本性质

 去 分 母----------同乘（不漏乘）最简公分母

 去 括 号----------注意符号变化

移    项----------变号（留下靠前）

合并同类项--------合并后符号

系数化为1---------除前面

【例4】（2019秋•安庆期中）解方程

（1）3x﹣5（x﹣2）＝2；

（2）＝1．

【变式4-1】（秋•渭滨区期末）解方程

（1）x﹣2（x﹣4）＝3（1﹣x）

（2）1﹣＝

【变式4-2】（秋•榆次区期末）解方程：

（1）x﹣＝3

（2）

【变式4-3】（2019春•新泰市期中）解方程：

（1）x﹣3（x+1）﹣1＝2x

（2）y﹣＝3+

【考点5  同解方程】

【例5】（2019秋•道里区校级月考）已知关于x的方程（2x+3）﹣3x＝和3x+2m＝6x+1的解相同，求：代数式（﹣2m）2020﹣（m﹣）2019的值．

【变式5-1】（2019秋•萧山区期末）已知关于x的方程﹣2x+a＝5的解和方程﹣2＝的解相同，求字母a的值，并写出方程的解．

【变式5-2】（秋•天心区校级期末）已知关于x的两个方程2x﹣4＝6a和＝+a．

（1）用含a的式子表示方程2x﹣4＝6a的解．

（2）若方程2x﹣4＝6a与＝+a的解相同，求a的值．

【变式5-3】（秋•开福区校级期中）在一元一次方程中，如果两个方程的解相同，则称这两个方程为同解方程；

（1）若关于x的两个方程2x＝4与mx＝m+1是同解方程，求m的值；

（2）若关于x的两个方程2x＝a+1与3x﹣a＝﹣2是同解方程，求a的值；

（3）若关于x的两个方程5x+（m+1）＝mn与2x﹣mn＝﹣（m+1）是同解方程，求此时符合要求的正整数m，n的值．

【考点6  一元一次方程之利润问题】

【例6】（春•山西期中）某种商品A的零售价为每件1000元，为了适应市场竞争，商店先按零售价的九折优惠，再让利20元销售，每件商品A仍可获利10%．

（1）商品A的进价为多少元？

（2）现有另一种商品B，其进价为每件500元，每件商品B也可获利8%，商品A和商品B共进货100件，若要使这100件商品共获利6320元，则商品A，B需分别进货多少件？

【变式6-1】（秋•平度市期末）元旦期间，某商场用1400元购进了甲、乙两种商品，共100件，进价分别是18元、10元．

（1）求甲、乙两种商品各购进了多少件？

（2）商场搞促销活动，若同时购买甲、乙两种商品各1件，可享受标价的8折优惠，此时这两种商品的利润率是10%，求这两种商品的标价总共多少元？

【变式6-2】（秋•邗江区期末）一商店在某一时间经销甲、乙两种商品，甲种商品以每件60元的价格售出，每件盈利为50%，乙种商品每件进价50元，每件以亏损20%的价格售出

（Ⅰ）甲种商品每件进价　   　元；乙种商品每件售价　   　元

（Ⅱ）若该商店当时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价为2100元，求购进甲、乙两种商品各多少件？

【变式6-3】（秋•厦门期末）2019年某商场于元旦之际开展优惠促销活动回馈新老客户，由顾客抽奖决定折扣．某顾客购买甲、乙两种商品，分别抽到六折（按原价的60%支付）和八折（按原价的80%支付），共支付408元，其中甲种商品原价400元．

（1）请问乙种商品原价是多少元？

（2）在本次买卖中，甲种商品最终亏损m%，乙种商品最终盈利2m%，但商场不盈不亏，请问甲种商品的成本是多少元？亏损多少元？

【考点7  一元一次方程之工程问题】

【例7】（2019秋•南岗区校级月考）为庆祝建国七十周年，南岗区准备对某道路工程进行改造，若请甲工程队单独做此工程需4个月完成，若请乙工程队单独做此工程需6个月完成，若甲、乙两队合作2个月后，甲工程队到期撤离，则乙工程队再单独需几个月能完成？

【变式7-1】（2019秋•道里区校级月考）由于地铁施工，需要拆除我校图书馆，七年级同学主动承担图书馆整理图书的任务，如果由一个人单独做要用30小时完成，现先安排一部分人用1小时整理，随后又增加6人和他们一起又做了2小时，恰好完成整理工作，假设每个人的工作效率相同，那么先按排整理的人员有多少？

【变式7-2】（秋•开福区校级期末）某厂接到长沙市一所中学的冬季校服订做任务，计划用A、B两台大型设备进行加工．如果单独用A型设备需要90天做完，如果单独用B型设各需要60天做完，为了同学们能及时领到冬季校服，工厂决定由两台设备同时赶制．

（1）两台设备同时加工，共需多少天才能完成？

（2）若两台设备同时加工30天后，B型设备出了故障，暂时不能工作，此时离发冬季校服时间还有13天．如果由A型设备单独完成剩下的任务，会不会影响学校发校服的时间？请通过计算说明理由．

【变式7-3】（秋•道里区期末）一项筑路工程，甲队单独完成需要80天，乙队单独完成需要120天．

（1）求甲，乙两队每天的工作量之比；

（2）若甲队每天比乙队多筑路50米，求这项工程共需筑路多少米？

（3）在（2）的条件下，甲，乙两队合作12天；12天后，乙队引进先进设备提高了筑路速度，甲队因部分工人另有任务，筑路速度为原来的，当两队合作完成此项工程的时，甲队比乙队少筑路，求提速后的乙队每天比甲队原来每天多筑路百分之几？

【考点8  一元一次方程之行程问题】

【例8】（2019春•西湖区校级月考）甲、乙两人骑自行车分别从相距36km的两地匀速同向而行，如果甲比乙先出发半小时，那么他们在乙出发后经3小时甲追上乙；如果乙比甲先出发1小时，那么他们在甲出发后经5小时甲才能追上乙．请问：甲、乙两人骑自行车每小时各行多少千米？

【变式8-1】（2019秋•朝阳区校级月考）A、B两地相距1000千米，甲列车从A地开往B地；2小时后，乙列车从B地开往A地，经过4小时与甲列车相遇．已知甲列车比乙列车每小时多行50千米．甲列车每小时行多少千米？

【变式8-2】（2019春•南关区校级月考）A、B两地相距480km，C地在A、B两地之间．一辆轿车以100km/h的速度从A地出发匀速行驶，前往B地．同时，一辆货车以80km/h的速度从B地岀发，匀速行驶，前往A地．

（1）当两车相遇时，求轿车行驶的时间；

（2）当两车相距120km时，求轿车行驶的时间；

（3）若轿车到达B地后，立刻以120km/h的速度原路返回，再次经过C地，两次经过C地的时间间隔为2.2h，求C地距离A地路程．

【变式8-3】（2019春•西湖区校级月考）甲、乙两汽车从A市出发，丙汽车从B市出发，甲车每小时行驶40千米，乙车每小时行驶45千米，丙车每小时行驶50千米．如果三辆汽车同时相向而行，丙车遇到乙车后10分钟才能遇到甲车，问何时甲丙两车相距15千米？

【考点9  一元一次方程之方案设计问题】

【例9】（秋•南昌县期末）东方风景区的团体参观门票价格规定如下表：

某校七年级（1）班和（2）班共104人去东方风景区，当两班都以班为单位分别购票时，则一共需付492元．

（1）你认为有更省钱的购票方式吗？如果有，能节省多少元？

（2）若（1）班人数多于（2）班人数，求（1）（2）班的人数各是多少？

（3）若七年级（3）班45人也一同前去参观时，如何购票显得更为合理？请你设计一种更省钱的方案，并求出七年级3个班共需多少元？

【变式9-1】（2019春•松江区期中）某家电商场计划用9万元从生产厂家购进50台电视机．已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为A种每台1500元，B种每台2100元，C种每台2500元．

（1）若家电商场同时购进A、B两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，求商场购进这两种型号的电视机各多少台？

（2）若商场销售一台A种电视机可获利150元，销售一台B种电视机可获利200元，销售一台C种电视机可获利250元．该家电商场用9万元从生产厂家购进两种不同型号的电视机共50台，为了使销售时获利最多，该家电商场应该购买哪两种型号的电视机？分别购进多少台？

【变式9-2】（秋•竞秀区期末）某校篮球社团决定购买运动装备，经了解，甲、乙两家运动产品经销店以同样的价格出售某种品牌的队服和篮球，已知每套队服比每个篮球多50元，两套队服与三个篮球的费用相等．经洽谈，甲店的优惠方案是：每购买十套队服，送一个篮球，乙店的优惠方案是：若购买队服超过80套，则购买篮球打八折．

（1）求每套队服和每个篮球的价格是多少？

（2）若篮球社团购买100套队服和m个篮球（m是大于10的整数），请用含m的式子分别表示出到甲经销店和乙经销店购买装备所花的费用；

（3）在（2）的条件下，若m＝60，通过计算判断到甲、乙哪家经销店购买更划算．

【变式9-3】（秋•宝应县期末）我县盛产绿色蔬菜，生产销售一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为80元，经粗加工销售，每吨利润可达200元，经精加工后销售，每吨利润涨至2500元．我县一家农工商公司采购这种蔬菜若干吨生产销售，若单独进行精加工，需要30天才能完成，若单独进行粗加工，需要20天才能完成．已知每天单独粗加工比单独精加工多生产10吨．

（1）试问这家农工商公司采购这种蔬菜共多少吨？

（2）由于两种加工方式不能同时进行受季节条件限制，公司必须在24天内将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此该公司研制了三种可行方案：

方案一：将蔬菜全部进行粗加工；

方案二：尽可能多的对蔬菜进行精加工，没有来得及进行加工的蔬菜，在市场上直接销售；

方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好24天完成，你认为选择哪种方案获利最多？请通过计算说明理由．

【考点10  一元一次方程之数轴动点问题】

【例10】（2019秋•江汉区期中）如图在以点O为原点的数轴上，点A表示的数是3，点B在原点的左侧，且AB＝6AO（我们把数轴上两点之间的距离用表示两点的大写字母一起标记，比如，点A与点B之间的距离记作AB）．

（1）B点表示的数是　   　；

（2）若动点P从O点出发，以每秒2个单位长度的速度匀速向左运动，问经过几秒钟后PA＝3PB？并求出此时P点在数轴上对应的数；

（3）若动点M、P、N分别同时从A、O、B出发，匀速向右运动，其速度分别为1个单位长度/秒、2个单位长度/秒、4个单位长度/秒，设运动时间为t秒，请直接写出PM、PN、MN中任意两个相等时的时间．

【变式10-1】（2019秋•江岸区校级月考）已知数轴上的A、B两点分别对应数字a、b，且a、b满足|4a﹣b|+（a﹣4）2＝0

（1）直接写出a、b的值；

（2）P从A点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴正方向运动，当PA＝3PB时，求P运动的时间和P表示的数；

（3）数轴上还有一点C对应的数为36，若点P从A出发，以每秒3个单位长度的速度向点C运动，同时点Q从点B出发．以每秒1个单位长度的速度沿数轴向正方向运动，点P运动到点C立即返回再沿数轴向左运动当PQ＝10时，求P点对应的数．

【变式10-2】（2019秋•雨花区校级月考）如图，在数轴上，点O为原点，点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a，b满足|a+8|+（b﹣6）2＝0．

（1）A，B两点对应的数分别为a＝　   　b＝　   　

（2）若将数轴折叠，使得点A与点B重合．则原点O与数　   　表示的点重合：

（3）若点A，B分别以4个单位/秒和2个单位/秒的速度相向面行，则几秒后A，B两点相距2个单位长度？

（4）若点A，B以（3）中的速度同时向右运动，同时点P从原点O以7个单位/秒的速度向右运动，设运动时间为t秒，请问：在运动过程中，AP+2OB﹣OP的值是否会发生变化？若变化，请用t表示这个值：若不变．请求出这个定值．

【变式10-3】（秋•永新县期末）【新定义】：A、B、C为数轴上三点，若点C到A的距离是点C到B的距离的3倍，我们就称点C是【A，B】的幸运点．

【特例感知】

（1）如图1，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为3．表示2的点C到点A的距离是3，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的幸运点．

①【B，A】的幸运点表示的数是　   　；

A．﹣1； B.0； C.1； D.2

②试说明A是【C，E】的幸运点．

（2）如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为﹣2，点N所表示的数为4，则【M，N】的幸运点表示的数为　   　．

【拓展应用】

（3）如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为﹣20，点B所表示的数为40．现有一只电子蚂蚁P从点B出发，以3个单位每秒的速度向左运动，到达点A停止．当t为何值时，P、A和B三个点中恰好有一个点为其余两点的幸运点？