【精品】人教版 七年级上册数学 专题09 几何图形初步章末重难点题型（举一反三）（人教版）（原卷版）

专题09  几何图形初步章末重难点题型汇编【举一反三】

【人教版】

【考点1  几何图形】

【方法点拨】掌握几何图形相关概念是解决此类问题的关键.

【例1】（2019秋•峄城区期末）下面的几何体中，属于棱柱的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【变式1-1】（秋•涞水县期末）如图，左面的平面图形绕轴旋转一周，可以得到的立体图形是（　　）

A． B． C． D．

【变式1-2】（2019•章贡区期末）图①是由白色纸板拼成的立体图形，将它的两个面的外表面涂上颜色，如图②．则下列图形中，是图②的表面展开图的是（　　）

A． B． 

C． D．

【变式1-3】（2019秋•广丰区期末）下图右边四个图形中，哪个是左边立体图形的展开图？（　　）

A． B． C． D．

【考点2  基本概念】

【方法点拨】知识点1：线段

像长方体的棱、长方形的边，这些图形都是线段．线段有两个端点，两个方向均不延伸，线段的长度是可以测量的．线段有两种表示方法：

(1)一条线段可以用它的两个端点的大写字母来表示，如图，以A，B为端点的线段，可记作“线段AB”或“线段BA”；

(2)一条线段可以用一个小写字母来表示，如图，线段AB也可记作“线段a”．

知识点2：射线

将线段向一个方向无限延长就得到了射线．射线有一个端点，射线向一个方向无限延伸，射线是无法测量的．

射线的表示法：

两个大写字母：一条射线可以用表示它的端点和射线上的另一点的两个大写字母来表示，如图中的射线，点O是端点，点A是射线上异于端点的另一点，那么这条射线可以记作射线OA.

注意：

①表示射线的两个大写字母，其中一个一定是端点，并且要把它写在前面．

②端点相同的射线不一定是同一条射线，端点不同的射线一定不是同一条射线

③两条射线为同一射线必须具备的两个条件：①端点相同；②延伸的方向相同．

知识点3：直线

将线段向两个方向无限延长就形成了直线．直线没有端点，直线向两个方向无限延伸，直线是无法测量的．

直线的两种表示方法：

(1)一条直线可以用一个小写字母表示，如图中的直线可记作：直线a.

(2)一条直线也可以用在这条直线上的表示两个点的大写字母来表示，如图中的直线可记作：直线AB或直线BA.

【例2】（2019秋•宜城市期末）下列说法中正确的个数是（　　）

①线段AB和射线AB都是直线的一部分；

②直线AB和直线BA是同一条直线；

③射线AB和射线BA是同一条射线；

④把线段向一个方向无限延伸可得到射线，向两个方向无限延伸可得到直线．

A．1 B．2 C．3 D．4

【变式2-1】（2019秋•岑溪市期末）下列说法正确的个数有（　　）

①射线AB与射线BA表示同一条射线．

②若∠1+∠2＝180°，∠1+∠3＝180°，则∠2＝∠3．

③一条射线把一个角分成两个角，这条射线叫这个角的平分线．

④连结两点的线段叫做两点之间的距离．

⑤40°50ˊ＝40.5°．

⑥互余且相等的两个角都是45°．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【变式2-2】（2019秋•李沧区期末）下列说法：

①两点之间的所有连线中，线段最短；

②在数轴上与表示﹣1的点距离是3的点表示的数是2；

③连接两点的线段叫做两点间的距离；

④射线AB和射线BA是同一条射线；

⑤若AC＝BC，则点C是线段AB的中点；

⑥一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线是这个角的平分线，其中错误的有（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

【变式2-3】（2019春•广饶县期末）如图的四个图形和每一个图形相应的一句描述，其中所有图形都是画在同一个平面上．

①线段AB与射线MN不相交；②点C在线段AB上；③直线a和直线b不相交；④延长射线AB，则会通过点C．其中正确的语句的个数有（　　）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

【考点3  余角与补角定义】

【方法点拨】余角和补角：

（1）若α＋β＝90°，则α与β互余．

（2）若α＋β＝180°，则α与β互补．

（3）同角（或等角）的余角（或补角）相等．

【例3】（2019春•东阿县期末）一个角的余角是它的，则这个角的补角等于　   　°．

【变式3-1】（秋•宜宾期末）如果一个角的余角与它的补角度数之比为2：5，则这个角等于　   　度．

【变式3-2】（2019秋•化德县校级期末）若一个角的3倍比这个角补角的2倍还少5°，则这个角等于　   　．

【变式3-3】（秋•凉山州期末）一个角的补角加上10°后等于这个角的余角的3倍，则比这个角小15°32′的角的度数是　   　．

【考点4  钟面上的角度问题】

【例4】（2019秋•宛城区期末）上午9点30分时，时钟的时针和分针所夹的较小的角是　   　度．

【变式4-1】（2019秋•莲湖区校级月考）时钟表面11点15分时，时针与分针所夹角的度数是　   　度．

【变式4-2】（2019秋•大冶市期末）中午12点30分时，钟面上时针和分针的夹角是　   　度．

【变式4-3】（春•单县期末）上午八点二十五分，钟表上时针和分针的夹角的度数为　   　．

【考点5  尺规作图】

【例5】（春•沙坪坝区校级期末）已知：∠α，∠β，线段c．

求作：△ABC，使∠A＝α，∠B＝∠β，AB＝c

（不写作法，保留作图痕迹）

【变式5-1】（2019秋•翁牛特旗期末）用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．

已知：线段a，b，求作：线段AB，使AB＝2b﹣a．

【变式5-2】（2019秋•涡阳县期末）作图题：学过用尺规作线段与角后，就可以用尺规画出一个与已知三角形一模一样的三角形来．比如给定一个△ABC，可以这样来画：先作一条与AB相等的线段A′B′，然后作∠B′A′C′＝∠BAC，再作线段A′C′＝AC，最后连结B′C′，这样△A′B′C′就和已知的△ABC一模一样了．请你根据上面的作法画一个与给定的三角形一模一样的三角形来．（请保留作图痕迹）

【变式5-3】（秋•安庆期末）如图，在同一平面内有四个点A，B，C，D．

（1）请按要求作出图形（注：此题作图不需写出画法和结论）：

①作射线AC

②作直线BD，交射线AC于点O

③分别连接AB，AD．

（2）观察所作图形，我们能得到：AO+OC＝　   　；DB﹣OB＝　   　（空格处填写图中线段）

【考点6  与中点有关的长度计算】

【方法点拨】线段的中点

如图，点C在线段AB上且使线段AC，CB相等，这样的点C叫做线段AB的中点．

中点定义的推理步骤：

(1)∵AC＝CB(已知)，

∴点C是线段AB的中点(中点的定义)．

(2)∵点C是线段AB的中点(已知)，

∴AC＝BC或AC＝AB或BC＝AB或AB＝2AC或AB＝2BC(中点的定义)．

【例6】（2019秋•洛宁县期末）已知：点C在直线AB上，AC＝8cm，BC＝6cm，点M、N分别是AC、BC的中点，求线段MN的长．

【变式6-1】（2019秋•郯城县期末）如图，线段AB，C是线段AB上一点，M是AB的中点，N是AC的中点．

（1）若AB＝8cm，AC＝3.2cm，求线段MN的长；

（2）若BC＝a，试用含a的式子表示线段MN的长．

【变式6-2】（2019秋•永新县期末）如图，点C是线段AB上，AC＝10cm，CB＝8cm，M，N分别是AC，BC的中点．

（1）求线段MN的长．

（2）若C为线段AB上任一点，满足AC+CB＝acm，其他条件不变，不用计算你猜出MN的长度吗？

（3）若C在线段AB的延长线上，且满足AC﹣BC＝acm，M，N仍分别为AC，BC的中点，你还能猜出线段MN的长度吗？

（4）由此题你发现了怎样的规律？

【变式6-3】（2019秋•榆社县期末）已知：点M，N分别是线段AC，BC的中点．

（1）如图，点C在线段AB上，且AC＝9cm，CB＝6cm，求线段MN的长；

（2）若点C为线段AB上任一点，且AC＝acm，CB＝bcm，用含有a，b的代数式表示线段MN的长度．

（3）若点C在线段AB的延长线上，且AC＝acm，CB＝bcm，请你画出图形，并且用含有a，b的代数式表示线段MN的长度．

【考点7  与角平分线有关的角度计算】

【方法点拨】角平分线：

（1）把一个角平分成二等分的射线，称为角平分线．

（2）若OC平分∠AOB，则有①∠AOC＝∠BOC．②∠AOC＝∠AOB．③∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC．

【例7】（2019秋•化德县校级期末）如图，已知OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，∠AOB＝90°，∠BOC＝30°．

求：（1）∠AOC的度数；

（2）∠MON的度数．

【变式7-1】（2019秋•浏阳市校级期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠AOC＝72°，OF⊥CD，垂足为O，求：

（1）求∠BOE的度数．

（2）求∠EOF的度数．

【变式7-2】（2019秋•襄阳期末）如图所示．

（1）已知∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，求∠MON的度数；

（2）∠AOB＝α，∠BOC＝β，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，求∠MON的大小．

【变式7-3】（2019秋•沙河口区期末）已知∠AOB＝α，过O作射线OC，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC．

（1）如图，若α＝120°，当OC在∠AOB内部时，求∠MON的度数；

（2）当OC在∠AOB外部时，画出相应图形，求∠MON的度数（用含α的式子表示）．

【考点8  与旋转有关的角度计算】

【例8】（2019秋•启东市校级月考）O为直线AD上一点，以O为顶点作∠COE＝90°，射线OF平分∠AOE．

（1）如图①，∠AOC与∠DOE的数量关系为　   　，∠COF和∠DOE的数量关系为　   　_；

（2）若将∠COE绕点O旋转至图②的位置，OF依然平分∠AOE，请写出∠COF和∠DOE之间的数量关系，并说明理由；

（3）若将∠COE绕点O旋转至图③的位置，射线OF依然平分∠AOE，请直接写出∠COF和∠DOE之间的数量关系．

【变式8-1】（2019秋•武昌区期末）已知∠AOB＝100°，∠COD＝40°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD．（本题中的角均为大于0°且小于等于180°的角）．

（1）如图1，当OB、OC重合时，求∠EOF的度数；

（2）当∠COD从图1所示位置绕点O顺时针旋转n°（0＜n＜90）时，∠AOE﹣∠BOF的值是否为定值？若是定值，求出∠AOE﹣∠BOF的值；若不是，请说明理由．

（3）当∠COD从图1所示位置绕点O顺时针旋转n°（0＜n＜180）时，满足∠AOD+∠EOF＝6∠COD，则n＝　   　．

【变式8-2】（2019秋•南江县期末）如图，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝110°．将一直角三角板的直角顶点放在点O处（∠OMN＝30°），一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．

（1）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC．求∠BON的度数．

（2）将图1中的三角板绕点O以每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为　   　（直接写出结果）．

（3）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，请探究∠AOM与∠NOC的数量关系，并说明理由．

【变式8-3】（2019秋•安庆期末）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点O按如图方式叠放在一起．

（1）如图（1）若∠BOD＝35°，求∠AOC的度数，若∠AOC＝135°，求∠BOD的度数．

（2）如图（2）若∠AOC＝150°，求∠BOD的度数．

（3）猜想∠AOC与∠BOD的数量关系，并结合图（1）说明理由．

（4）三角尺AOB不动，将三角尺COD的OD边与OA边重合，然后绕点O按顺时针或逆时针方向任意转动一个角度，当∠AOD（0°＜∠AOD＜90°）等于多少度时，这两块三角尺各有一条边互相垂直，直接写出∠AOD角度所有可能的值，不用说明理由．

【考点9  与几何有关的规律问题】

【例9】（2019秋•禹会区校级月考）阅读表：

解答下列问题：

（1）根据表中规律猜测线段总数N与线段上的点数n（包括线段两个端点）有什么关系？

（2）根据上述关系解决如下实际问题：有一辆客车往返于A，B两地，中途停靠三个站点，如果任意两站间的票价都不同，问：①有　   　种不同的票价？②要准备　   　种车票？（直接写答案）

【变式9-1】（秋•滦县期中）（1）试验探索：

如果过每两点可以画一条直线，那么请下面三组图中分别画线，并回答问题：

第（1）组最多可以画条直线；

第（2）组最多可以画条直线；

第（3）组最多可以画条直线．

（2）归纳结论：

如果平面上有n（n≥3）个点，且每3个点均不在一条直线上，那么最多可以画出直线条．（作用含n的代数式表示）

（3）解决问题：

某班50名同学在毕业后的一次聚会中，若每两人握一次手问好，则共握　   　次手；最后，每两个人要互赠礼物留念，则共需　   　件礼物．

【变式9-2】（2019秋•江山市期末）为了探究n条直线能把平面最多分成几部分，我们从最简单的情形入手．

（1）一条直线把平面分成2部分；

（2）两条直线最多可把平面分成4部分；

（3）三条直线最多可把平面分成7部分…；

把上述探究的结果进行整理，列表分析：

（1）当直线条数为5时，把平面最多分成　   　部分，写成和的形式　   　；

（2）当直线为10条时，把平面最多分成　   　部分；

（3）当直线为n条时，把平面最多分成　   　部分．（不必说明理由）

【变式9-3】（秋•桥东区校级期中）观察下图，回答下列问题：

（1）在图①中有几个角？

（2）在图②中有几个角？

（3）在图③中有几个角？

（4）以此类推，如图④所示，若一个角内有n条射线，此时共有多少个角？

【考点10  线段上的动点问题】

【例10】（2019秋•麒麟区期末）如图，线段AB＝12cm，延长AB到点C，使BC＝AB，点D是BC中点，点E是AD中点．

（1）根据题意，补全图形；

（2）求DE的长；

（3）若动点P从点A出发，以1cm/s的速度向点C运动，到达点C停止运动，点Q从点C出发，以2cm/s的速度向点A运动，到达点A停止运动，若运动时间为ts，当t为何值时，PQ＝3cm？

【变式10-1】（2019秋•孝南区期末）如图，已知数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，且满足（a﹣6）2+|b+4|＝0．

（1）写出a、b及AB的距离：

a＝　   　  b＝　   　  AB＝　   　

（2）若动点P从点A出发，以每秒6个单位长度沿数轴向左匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度向左匀速运动．

①若P、Q同时出发，问点P运动多少秒追上点Q？

②若M为AP的中点，N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长．

【变式10-2】（2019春•金牛区校级月考）如图，线段AB＝24，动点P从A出发，以2个单位/秒的速度沿射线AB运动，M为AP的中点．

（1）出发多少秒后，PB＝2AM

（2）当P在线段AB上运动时，试说明2BM﹣BP为定值．

（3）当P在AB延长线上运动，N为BP的中点，下列两个结论：①MN长度不变；  ②MN+PN的值不变．选出一个正确的结论，并求其值．

【变式10-3】（2019秋•峄城区期末）如图，点O为原点，A、B为数轴上两点，AB＝15，且OA：OB＝2．

（1）A、B对应的数分别为　   　、　   　；

（2）点A、B分别以4个单位/秒和3个单位/秒的速度相向而行，则几秒后A、B相距1个单位长度？

（3）点A、B以（2）中的速度同时向右运动，点P从原点O以7个单位/秒的速度向右运动，是否存在常数m，使得4AP+3OB﹣mOP为定值，若存在请求出m值以及这个定值；若不存在，请说明理由．