【精品讲义】人教版 九年级上册数学 专题05 概率初步章末重难点题型（举一反三）（人教版）（解析版）

专题05 概率初步章末重难点题型【举一反三】
【人教版】


【考点1 可能性的大小】
【方法点拨】可能性等于所求情况数与总情况数之比，关键是求出每种情况的可能性．
【例1】（2019春•金坛区期中）如图，转盘中8个扇形的面积都相等，任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，估计下列4个事件发生的可能性大小，其中事件发生的可能性最大的是（　　）

A．指针落在标有5的区域内
B．指针落在标有10的区域内
C．指针落在标有偶数或奇数的区域内
D．指针落在标有奇数的区域内
【分析】根据可能性等于所求情况数与总情况数之比分别求出每种情况的可能性，再按发生的可能性从小到大的顺序排列即可，从而确定正确的选项即可．
【答案】解：A、指针落在标有5的区域内的概率是；
B、指针落在标有10的区域内的概率是0；
C、指针落在标有偶数或奇数的区域内的概率是1；
D、指针落在标有奇数的区域内的概率是；
故选：C．
【点睛】此题考查了可能性大小，用到的知识点是可能性等于所求情况数与总情况数之比，关键是求出每种情况的可能性．
【变式1-1】（2019春•市北区期末）我国南方地区冬至的传统习俗是吃汤圆，其寓意团团圆圆冬至这一天，小红家煮了30个汤圆，其中有12个黑芝麻馅的，14个枣泥馅的，4个豆沙馅的，煮完之后的汤圆看起来都一样，小红盛了1个汤圆，下列各种描述正确的是（　　）
A．她吃到黑芝麻馅汤圆和枣泥馅汤圆可能性一样大
B．她吃到枣泥馅汤圆比豆沙馅汤圆的可能性大很多
C．她不可能吃到豆沙馅汤圆
D．她一定能吃到枣泥馅汤圆
【分析】通过计算盛了1个汤圆，盛到各种馅的概率，比较概率的大小得出结论．
【答案】解：盛了1个汤圆盛到黑芝麻的概率为，盛到枣泥的概率为，盛到豆沙的概率为，
∴她吃到枣泥馅汤圆比豆沙馅汤圆的可能性大很多，
故选：B．
【点睛】考查随机事件发生可能性的求法，体会概率是描述随机事件发生可能性的大小统计量．
【变式1-2】（2019•资阳）在一个布袋中装有红、白两种颜色的小球，它们除颜色外没有任何其他区别．其中红球若干，白球5个，袋中的球已搅匀．若从袋中随机取出1个球，取出红球的可能性大，则红球的个数是（　　）
A．4个 B．5个
C．不足4个 D．6个或6个以上
【分析】由取出红球的可能性大知红球的个数比白球个数多，据此可得答案．
【答案】解：∵袋子中白球有5个，且从袋中随机取出1个球，取出红球的可能性大，
∴红球的个数比白球个数多，
∴红球个数满足6个或6个以上，
故选：D．
【点睛】本题主要考查可能性大小，只要在总情况数目相同的情况下，比较其包含的情况总数即可．
【变式1-3】（2019•张店区一模）从淄博汽车站到银泰城有甲，乙，丙三条不同的公交线路．为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从淄博汽车站到银泰城的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时（单位：分钟）的数据，统计如下：
线路/公交车用时的频数/公交车用时
30≤t≤35
35≤t≤40
40≤t≤45
45≤t≤50
合计
甲
59
151
166
124
500
乙
50
50
122
278
500
丙
45
265
167
23
500
早高峰期间，乘坐线路上的公交车，从淄博汽车站到银泰城“用时不超过45分钟”的可能性最大．（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．无法确定
【分析】分别计算出用时不超过45分钟的可能性大小，再进行比较即可得出答案．
【答案】解：∵甲线路公交车用时不超过45分钟的可能性为＝0.752，
乙线路公交车用时不超过45分钟的可能性为＝0.444，
丙线路公交车用时不超过45分钟的可能性为＝0.954，
∵0.954＞0.752＞0.444，
∴应选择线路丙；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了树状图法求概率以及可能性大小，解题的关键是掌握频数估计概率思想的运用．
【考点2 确定与不确定事件】
【方法点拨】必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
【例2】（2018秋•十堰期末）下列说法中不正确的是（　　）
A．抛掷一枚硬币，硬币落地时正面朝上是随机事件
B．把4个球放入三个抽屉中，其中一个抽屉中至少有2个球是必然事件
C．任意打开九年级下册数学教科书，正好是第38页是确定事件
D．一个盒子中有白球m个，红球6个，黑球n个（每个除了颜色外都相同）．如果从中任取一个球，取得的是红球的概率与不是红球的概率相同，那么m与n的和是6
【分析】直接利用随机事件的定义分别分析得出答案．
【答案】解：A、抛掷一枚硬币，硬币落地时正面朝上是随机事件，正确，不合题意；
B、把4个球放入三个抽屉中，其中一个抽屉中至少有2个球是必然事件，正确，不合题意；
C、任意打开九年级下册数学教科书，正好是第38页是随机事件，故此选项错误，符合题意；
D、一个盒子中有白球m个，红球6个，黑球n个（每个除了颜色外都相同）．如果从中任取一个球，取得的是红球的概率与不是红球的概率相同，那么m与n的和是6，正确，不合题意．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了随机事件，正确把握随机事件的定义是解题关键．
【变式2-1】（2019春•常熟市期末）下列事件中，属于必然事件的是（　　）
A．如果a，b都是实数，那么，a+b＝b+a
B．同时抛掷两枚质地均匀的骰子，向上一面的点数之和为13
C．抛枚质地均匀的硬币20次，有10次正面向上
D．用长为4cm，4cm，9cm的三条线段围成一个等腰三角形
【分析】根据随机事件、必然事件和不可能事件的定义即可得到答案．
【答案】解：A．如果a，b都是实数，那么a+b＝b+a，属于必然事件；
B．同时抛掷两枚质地均匀的骰子，向上一面的点数之和为13，属于不可能事件；
C．抛枚质地均匀的硬币20次，有10次正面向上，属于随机事件；
D．用长为4cm，4cm，9cm的三条线段围成一个等腰三角形，属于不可能事件；
故选：A．
【点睛】本题考查了随机事件：随机事件指在一定条件下可能发生也可能不发生的事件．事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．
【变式2-2】（2019春•滨湖区期末）下列事件中，属于随机事件的是（　　）
A．一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形
B．一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形
C．矩形的两条对角线相等
D．菱形的每一条对角线平分一组对角
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型．
【答案】解：A、一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形是必然事件；
B、一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形是随机事件；
C、矩形的两条对角线相等是必然事件；
D、菱形的每一条对角线平分一组对角是必然事件；
故选：B．
【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
【变式2-3】（2019•襄城区模拟）下列事件中是不可能事件的是（　　）
A．任意画一个四边形，它的内角和是360°
B．若a＝b，则a2＝b2
C．掷一枚质地均匀的硬币，落地时正面朝上
D．一只袋子里共装有3个小球，它们的标号分别为1，2，3，从中摸出一个小球，标号为5
【分析】直接利用随机事件以及不可能事件的定义分别分析得出答案．
【答案】解：A、任意画一个四边形，它的内角和是360°，是必然事件，不合题意；
B、若a＝b，则a2＝b2，是必然事件，不合题意；
C、掷一枚质地均匀的硬币，落地时正面朝上，是随机事件，不合题意；
D、一只袋子里共装有3个小球，它们的标号分别为1，2，3，从中摸出一个小球，标号为5，是不可能事件，符合题意．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了随机事件，正确把握相关定义是解题关键．
【考点3 概率与方程】
【方法点拨】随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
【例3】（2019•齐齐哈尔）在一个不透明的口袋中，装有一些除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的小球．已知袋中有红球5个，白球23个，且从袋中随机摸出一个红球的概率是，则袋中黑球的个数为（　　）
A．27 B．23 C．22 D．18
【分析】袋中黑球的个数为x，利用概率公式得到＝，然后利用比例性质求出x即可．
【答案】解：设袋中黑球的个数为x，
根据题意得＝，解得x＝22，
即袋中黑球的个数为22个．
故选：C．
【点睛】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
【变式3-1】（2019•南安市模拟）不透明袋子中装有若干个红球和6个蓝球，这些球除了颜色外，没有其他差别，从袋子中随机摸出一个球，摸出蓝球的概率是0.6，则袋子中有红球（　　）
A．4个 B．6个 C．8个 D．10个
【分析】设袋子中有红球x个，利用概率公式得到＝0.6，然后解方程即可．
【答案】解：设袋子中有红球x个，
根据题意得＝0.6，
解得x＝4．
经检验x＝4是原方程的解．
答：袋子中有红球有4个．
故选：A．
【点睛】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
【变式3-2】（2019•大洼区三模）在一个不透明的袋中有4个白球和n个黄球，它们除颜色外其余均相同．若从中随机摸出一个球，摸到黄球的概率为，则n＝（　　）
A．10 B．8 C．6 D．4
【分析】根据黄球的概率公式列出方程＝求解即可．
【答案】解：不透明的布袋中的球除颜色不同外，其余均相同，共有n+4个球，其中黄球n个，
根据古典型概率公式知：P（黄球）＝＝，
解得n＝6．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了概率公式的应用，一般方法为：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．
【变式3-3】（2019•厦门一模）一个不透明盒子里装有a只白球、b只黑球、c只红球，这些球仅颜色不同．从中随机摸出一只球，若P（摸出白球）＝，则下列结论正确的是（　　）
A．a＝1 B．a＝3 C．a＝b＝c D．a＝（b+c）
【分析】根据概率公式得出＝，整理可得．
【答案】解：由题意知＝，
则3a＝a+b+c，
∴2a＝b+c，
∴a＝（b+c），
故选：D．
【点睛】此题考查了概率的定义：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．
【考点4 几何概型】
【方法点拨】如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型。
几何概型的特点:1）试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个. 2)每个基本事件出现的可能性相等.
【例4】（2019•鞍山一模）如图，在一不规则区域内，有一边长为3米的正方形，向区域内随机地撒4000颗黄豆，数得落在正方形区域内（含边界）的黄豆有1350颗，以此实验数据为依据，可以估计出该不规则图形的面积．
（1）随机向不规则区域内掷一粒黄豆，求黄豆落在正方形区域内（含边界）的概率；
（2）请你估计出该不规则图形的面积；

【分析】（1）根据概率公式即可得到结论；
（2）根据概率公式即可得到结论．
【答案】解：（1）记“黄豆落在正方形区域内”为事件A．
∴P（A）＝＝，
答：黄豆落在正方形区域内（含边界）的概率为；
（2）∵P＝，
∵正方形面积等于27，
∴不规则图形面积为80平方米．
【点睛】本题考查了几何概率，正方形的面积，正确的理解题意是解题的关键．
【变式4-1】（2018春•东明县期末）如图所示的正三角形区域内投针（区域中每个小正三角形除颜色外完全相同），针随机落在某个正三角形内（边线忽略不计）
（1）投针一次，针落在图中阴影区域的概率是多少？
（2）要使针落在图中阴影区域和空白区域的概率均为，还要涂黑几个小正三角形？请在图中画出．

【分析】（1）求出阴影部分的面积与三角形的面积的比值即可解答；
（2）利用（1）中求法得出答案即可．
【答案】解：（1）因为阴影部分的面积与三角形的面积的比值是＝，
所以投针一次击中阴影区域的概率等于．

（2）如图所示：

要使针落在图中阴影区域和空白区域的概率均为，
还要涂黑2个小正三角形．
【点睛】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．
【变式4-2】（2018春•沂源县期中）（1）如图所示是一条线段，AB的长为10厘米，MN的长为2厘米，假设可以随意在这条线段上取一点，求这个点取在线段MN上的概率．
（2）如图是一个木制圆盘，图中两同心圆，其中大圆直径为20cm，小圆的直径为10cm，一只小鸟自由自在地在空中飞行，求小鸟停在小圆内（阴影部分）的概率是　 　．

【分析】（1）由AB间距离为10，MN的长为2，用MN的长除以线段AB的长即可得；
（2）用小圆面积除以大圆面积即可得．
【答案】解：（1）AB间距离为10，MN的长为2，
故以随意在这条线段上取一个点，
那么这个点取在线段MN上的概率为．

（2）因为大圆的面积为：；
小圆的面积为：．
所以小鸟停在小圆内（阴影部分）的概率是，
故答案为：．
【点睛】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．
【变式4-3】（2018•镇江模拟）有一类随机事件概率的计算方法：设试验结果落在某个区域S中的每一点的机会均等，用A表示事件“试验结果落在S中的一个小区域M中”，那么事件A发生的概率P（A）＝．有一块边长为30cm的正方形ABCD飞镖游戏板，假设飞镖投在游戏板上的每一点的机会均等．求下列事件发生的概率：
（1）在飞镖游戏板上画有半径为5cm的一个圆（如图1），求飞镖落在圆内的概率；
（2）飞镖在游戏板上的落点记为点O，求△OAB为钝角三角形的概率．

【分析】（1）分别计算半径为5cm的圆的面积和边长为30cm的正方形ABCD的面积，然后计算即可求出飞镖落在圆内的概率；
（2）根据题意及结合图形可得：当点O落在以AB为直径的半圆内△OAB为钝角三角形，然后计算以AB为直径的半圆的面积，然后用半圆的面积除以正方形的面积即可求△OAB为钝角三角形的概率．
【答案】解：（1）∵半径为5cm的圆的面积＝π•52＝25πcm2，
边长为30cm的正方形ABCD的面积＝302＝900cm2，
∴P（飞镖落在圆内）＝＝＝；
（2）如图可得：当点O落在以AB为直径的半圆内△OAB为钝角三角形．

∵S半圆＝•π•152＝，
∴P（△OAB为钝角三角形）＝＝．
【点睛】本题考查的知识点是几何概型的意义，简单地说，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．
【考点5 利用树状图求概率】
【方法点拨】列树形图法：当一个实验要涉及3个或更多的因素（例如从3个口袋中取球）时，列表就不方便了，为不重不漏地列出所有可能的结果时使用。
【例5】（2019•南关区校级模拟）有四张正面分别标有数字1，2，3，4的不透明卡片，它们除数字外其余全部相同，现将它们背面朝上洗均匀．
（1）随机抽取一张卡片，则抽到数字“2”的概率是　 　；
（2）从四张卡片中随机抽取2张卡片，请用列表或画树状图的方法求抽到“数字和为5”的概率．
【分析】（1）根据题意可以直接写出随机抽取一张卡片，抽到数字“2”的概率；
（2）根据题意可以画出树状图，从而可以求得相应的概率．
【答案】解：（1）由题意可得，
随机抽取一张卡片，则抽到数字“2”的概率是，
故答案为：；
（2）由题意可得，

抽到“数字和为5”的概率是．
【点睛】本题考查列表法与树状图法、概率公式，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图，求出相应的概率．
【变式5-1】（2019春•河口区期末）随着改革开放进程的推进，改变的不仅仅是人们的购物模式，就连支付方式也在时代的浪潮中发生着天翻地覆的改变，除了现金、银行卡支付以外，还有微信、支付宝以及其他支付方式．在一次购物中，小明和小亮都想从微信、支付宝、银行卡三种支付方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两人恰好选择同一种支付方式的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【答案】解：将微信记为A、支付宝记为B、银行卡记为C，
画树状图如下：

∵共有9种等可能的结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的有3种，
∴两人恰好选择同一种支付方式的概率为．
【点睛】此题考查了树状图法与列表法求概率．注意树状图法与列表法可以不重不漏的表示出所有等可能的结果．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
【变式5-2】（2019•振兴区校级二模）爱好数学的甲、乙两个同学做了一个数字游戏：拿出三张正面写有数字﹣1，0，1且背面完全相同的卡片，将这三张卡片背面朝上洗匀后，甲先随机抽取一张，将所得数字作为p的值，然后将卡片放回并洗匀，乙再从这三张卡片中随机抽取一张，将所得数字作为q值，两次结果记为（p，q）．
（1）请你帮他们用树状图或列表法表示（p，q）所有可能出现的结果；
（2）求满足关于x的方程x2+px+q＝0有实数根的概率．
【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；
（2）由（1）可求得满足关于x的方程x2+px+q＝0有实数解的结果数，再利用概率公式即可求得答案．
【答案】解：（1）画树状图得：

则共有9种等可能的结果；

（2）方程x2+px+q＝0有实数解，即△＝p2﹣4q＞0的结果有6种，
∴满足关于x的方程x2+px+q＝0有实数根的概率为＝．
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
【变式5-3】（2019•云南模拟）将正面分别写着数字﹣2，1，3，6的四张卡片（卡片除数字外，其它都相同）洗匀后，背面向上放在桌子上，从中先随机抽取一张卡片，记下卡片上的数字，不放回，再从中任取一张卡片，记下数字．
（1）请用列表或画树状图法（树状图也称树形图）中的一种方法，列出所有可能出现的结果；
（2）请计算两次摸出的卡片上的数字之和大于4的概率．
【分析】（1）根据题意先画出树状图得出所有等情况数，再一一列举出来即可；
（2）根据（1）得出的所有情况数，再找出两次摸出的卡片上的数字之和大于4的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【答案】解：（1）根据题意画图如下：

所有可能出现的结果共有12种，分别是（﹣2，1）（﹣2，3）（﹣2，6）（1，﹣2）（1，3）（1，6）（3，﹣2）（3，1）（3，6）（6，﹣2）（﹣6，1）（﹣6，3）；

（2）由树状图可知，共有12种等可能的情况数，其中两次摸出的卡片上的数字之和大于4的有4种，分别是（1，6）（3，6）（6，1）（6，3），
所以两次摸出的卡片上的数字之和大于4的概率是＝．
【点睛】此题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
【考点6 用列表法求概率】
【方法点拨】列表法：当一次实验要涉及两个因素（例如掷两个骰子），并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果时使用。
【例6】（2019•郫都区模拟）一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“优”、“教”、“郫”、“都”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀．
（1）若从中任取一个球，球上的汉字刚好是“优”的概率为多少？
（2）从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用树状图或列表的方法，求取出两个球上的汉字能组成“优教”或“郫都”的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式求解可得；
（2）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解可得．
【答案】解：（1）若从中任取一个球，球上的汉字刚好是“优”的概率为；

（2）列出下表：

优
教
郫
都
优
﹣﹣
（优，教）
（优，郫）
（优，都）
教
（教，优）
﹣﹣
（教，郫）
（教，都）
郫
（郫，优）
（郫，教）
﹣﹣
（郫，都）
都
（都，优）
（都，教）
（都，郫）
﹣﹣
∴共有12种可能的结果，其中能组成“优教”、“郫都”各有2种可能，
∴按要求能组成“优教”或“郫都”的概率为＝．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．
【变式6-1】（2019•长春三模）《中国诗词大会》栏目中，外卖小哥击败北大硕士引发新一轮中华优秀传统文化热．某文化中心开展“经典诵读”比赛活动，诵读材料有《论语》、《大学》、《中庸》、《孟子》（依次用字母A，B，C，D分别表示这四个材料），将A，B，C．D分别写在4张完全相同的不适明卡片的正面，背面朝上洗匀后放在桌面上，比赛时甲选手先从中随机抽取一张卡片，记下内容后放回，洗匀后，再由乙选手从中随机抽取一张卡片，他俩按各自抽取的内容进行诵读比赛．用画树状图或列表的方法求他俩诵读两个不同材料的概率．
【分析】首先根据题意列表，然后求得所有等可能的结果数和符合条件的结果数，二者的比值即为所求概率
【答案】解：列表如下：

A
B
C
D
A
（A，A）
（B，A）
（C，A）
（D，A）
B
（A，B）
（B，B）
（C，B）
（A，B）
C
（A，C）
（B，C）
（C，C）
（D，C）
D
（A，D）
（B，D）
（C，D）
（D，D）
由表可知共有16种可能结果，共中他俩诵读两个不同材料的结果数为12种，
所以他俩诵读两个不同材料的概率为＝．
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
【变式6-2】（2019•长春模拟）苏宇为帮助同桌李蕾巩固“平面直角坐标系中点的坐标特点”这基础知识，在三张完全相同且不透明的卡片止面分别写上了﹣3，0，2三个数字，背面向上洗匀后随机抽取一张，将卡片上的数字记为a，放回该卡片重新洗匀，再从三张卡片中随机取出一张，将卡片上的数字记为b，然后让李蕾在平直角坐标系中找出点M（a，b）的位置．请你用画树状图或列表的方式帮李蕾求点M落在第二象限的概率．
【分析】用树状图或列表法列举出所有可能出现的结果，从中找出符合（a，b），在第二象限的结果数，从而求出点M落在第二象限的概率．
【答案】解：用列表法表示所有可能出现的结果数：

共有9种可能出现的结果，其中落在第二象限的有2种，
∴点M（a，b）落在第二象限的概率为P＝．
【点睛】考查列表法、树状图法求随机事件的概率，根据题意用树状图或列表法列举出所有可能出现的结果是解决问题的关键．
【变式6-3】（2019•碑林区校级一模）初三年级大活动期间要训练篮球项目，每位“体育委员”都要通过抽签的方式确定各班的训练场地，训练场地有：A号场地，B号场地，C号场地，D号场地．抽签规则如下：将正面分别写有字母A、B、C、D的四张卡片（除了正面字母不同外，其余均相同）背面朝上，洗匀，先由一位“体育委员”随机抽取一张卡片，这张卡片上的字母表示的训练地点，即为他抽取的训练地点，然后将卡片放回、洗匀，再由下一位“体育委员”抽取，已知战狼和红武都是“体育委员”
（1）求战狼抽到的训练地点是“A号场地”的概率；
（2）请用列表或画树状图的方法，求战狼与红武抽到同一训练场地的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式计算可得；
（2）列表得出所有等可能的情况数，再找出抽取卡片上字母相同的情况数，即可求出所求的概率．
【答案】解：（1）战狼抽到的训练地点是“A号场地”的概率为；

（2）列表如下：
　
A
B
C
D
A
（A，A）
（A，B）
（A，C）
（A，D）
B
（B，A）
（B，B）
（B，C）
（B，D）
C
（C，A）
（C，B）
（C，C）
（C，D）
D
（D，A）
（D，B）
（D，C）
（D，D）
由表中可以看出，抽取的两张卡片可能出现的结果共有16种且它们出现的可能性相等，其中抽到同一训练场地的有4种结果，
所以抽到同一训练场地的概率为．
【点睛】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
【考点7 用频率估计概率】
【方法点拨】一般地，在大量重复试验中，如果事件 A发生的频率 会稳定在某个常数p附近 ，那么，这个常数p就叫作事件A的概率 ，记为P（A）=P 。
【例7】（2019春•鼓楼区校级期中）在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全相同的红球和白球，其中红球有b个，将盒中的球摇匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后将球放回盒中，重复进行这过程，如表记录了某班一次摸球实验情况：
摸球总数n
400
1500
3500
7000
9000
14000
摸到红球数m
325
1336
3203
6335
8073
12628
摸到红球的频率（精确到0.001）
0.813
0.891
0.915
0.905
0.897
0.902
（1）由此估计任意摸出1个球为红球的概率约是　 　（精确到0.1）
（2）实验结束后，小明发现了一个一般性的结论：盒子中共有a个球，其中红球有b个，则摇匀后从中任意摸出1个球为红球的概率P可以表示为，这个结论也得到了老师的证实根据小明的发现，若在该盒子中再放入除颜色外与原来的球完全相同的2个红球和2个白球，摇匀后从中任意摸出1个球为红球的概率为P’，请通过计算比较P与P'的大小．
【分析】（1）在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，从而得出答案；
（2）由（1）得出b＝0.9a，根据概率公式得出P′＝，再两者相减得出p﹣p′＞0，从而得出P与P'的大小．
【答案】解：（1）根据给出的数据可得：任意摸出1个球为红球的概率约是0.9；
故答案为：0.9；

（2）由（1）得：＝0.9，即b＝0.9a，
由题意得：P′＝，
p﹣p′＝﹣＝＝＝＝＝，
∵a＞0，
∴p﹣p′＞0，
∴P＞P'．
【点睛】本题考查了概率公式，属于概率基础题，随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数：所有可能出现的结果数．
【变式7-1】（2019春•高邮市期中）在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共20只，这些球除颜色外其余完全相同．搅匀后，小明做摸球实验，他从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据．
摸球的次数n
100
200
300
500
800
1000
3000
摸到白球的次数m
52
138
178
302
481
599
1803
摸到白球的频率
0.52
0.69
0.593
0.604
0.60
0.599
0.601
（1）若从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的概率的估计值为　 　（精确到0.1）
（2）盒子里白色的球有　 　只；
（3）若将m个完全一样的白球放入这个盒子里并摇匀，随杌摸出1个球是白球的概率是0.8，求m的值．
【分析】（1）计算出其平均值即可；
（2）用总数乘以其频率即可求得频数；
（3）利用概率公式求解即可．
【答案】解：（1）∵摸到白球的频率约为0.6，
∴当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.6；
（2）∵摸到白球的频率为0.6，共有20只球，
∴则白球的个数为20×0.6＝12只；
（3）根据题意得：，
解得：m＝20．
故答案为：0.6；12．
【点睛】考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：部分的具体数目＝总体数目×相应频率．
【变式7-2】（2019春•邗江区校级期末）某商场设立了一个可以自由转动的转盘，并规定：顾客购物10元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据：
（1）计算并完成表格：
转动转盘的次数n
100
150
200
500
800
1000
落在“铅笔”的次数m
68
111
136
345
564
701
落在“铅笔”的频率m/n
0.68
0.74
　 　
0.69
0.705
　 　
（2）请估计，当n很大时，频率将会接近多少？
（3）假如你去转动该转盘一次，你获得铅笔的概率约是多少？
（4）在该转盘中，表示“铅笔”区域的扇形的圆心角约是多少？（精确到1°）

【分析】（1）根据频率的算法，频率＝频数÷总数，可得各个频率；填空即可；
（2）根据频率的定义，可得当n很大时，频率将会接近其概率；
（3）根据概率的求法计算即可；
（4）根据扇形图中，每部分占总体的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360°的比计算即可．
【答案】解：（1）
转动转盘的次数n
100
150
200
500
800
1000
落在“铅笔”的次数m
68
111
136
345
564
701
落在“铅笔”的频率m/n
0.68
0.74
0.68
0.69
0.705
0.701
（2）当n很大时，频率将会接近0.70，
（3）获得铅笔的概率约是0.70，
（4）扇形的圆心角约是0.7×360°＝252°．
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．用到的知识点为：频率＝所求情况数与总情况数之比．
【变式7-3】（2019春•雁塔区校级期末）某市“半程马拉松”的赛事共有两项：A“半程马拉松”、B“欢乐跑”．小明参加了该项赛事的志愿者服务工作，组委会随机将志愿者分配到两个项目组．
（1）小明被分配到“半程马拉松”项目组的概率为　 　．
（2）为估算本次赛事参加“半程马拉松″的人数，小明对部分参赛选手作如下调查：
调查总人数
20
50
100
200
500
参加“半程马拉松”人数
15
33
72
139
356
参加“半程马拉松”频率
0.750
0.660
0.720
0.695
0.712
①估算本次赛事参加“半程马拉松”人数的概率为　 　．（精确到0.1）
②若参加“欢乐跑”的人数大约有300人，估计本次参赛选手的人数是多少？
【分析】（1）根据概率公式计算即可．
（2）①利用表格信息即可解决问题．
②参加“欢乐跑”的人数的概率约为0.3，总人数约为300÷0.3＝1000（人）．
【答案】解：（1）小明被分配到“半程马拉松”项目组的概率为，
故答案为．

（2）观察表格可知：估算本次赛事参加“半程马拉松”人数的概率为0.7．
故答案为0.7．

（3）300÷0.3＝1000（人），
答：估计本次参赛选手的人数是100人．
【点睛】本题考查利用频率估计概率，解题的关键是理解题意，熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
【考点8 游戏公平性】
【例8】（2019•丹东）如图所示，甲、乙两人在玩转盘游戏时，分别把转盘A，B分成3等份和1等份，并在每一份内标上数字．游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，指针所在区域的数字之积为奇数时，甲获胜；当数字之积为偶数时，乙获胜．如果指针恰好在分割线上时，则需重新转动转盘．
（1）利用画树状图或列表的方法，求甲获胜的概率．
（2）这个游戏规则对甲、乙双方公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你在转盘A上只修改一个数字使游戏公平（不需要说明理由）．

【分析】（1）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得；
（2）先计算出数字之积为偶数的概率，判断概率是否相等即可得知游戏是否公平．
【答案】解：（1）列表如下：

﹣2
﹣3
2
3
1
﹣2
﹣3
2
3
2
﹣4
﹣6
4
6
3
﹣6
﹣9
6
9
由表可知，共有12种等可能结果，其中指针所在区域的数字之积为奇数的有4种结果，
所以甲获胜概率为＝；
（2）∵指针所在区域的数字之积为偶数的概率为＝，
∴这个游戏规则对甲、乙双方不公平，
将转盘A上的数字2改为1，则游戏公平．
【点睛】此题考查了游戏的公平性，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
【变式8-1】（2019•市南区校级二模）“五・一”假期，宇宙公司组织部分员工到A、B、C三地旅游，公司购买前往各地的车票种类、数量绘制成条形统计图，如图．根据统计图回答下列问题：
（1）若公司决定采用随机抽取的方式把车票分配100名员工，在看不到车票的条件下，每人抽取一张（所有车票的形状、大小、质地完全相同且充分洗匀），那么员工小王抽到去B地车票的概率为　 　；
（2）若最后剩下一张车票时，员工小张、小李都想要，决定采用抛掷一枚各面分别标有数字1，2，3，4的正四面体骰子的方法来确定，具体规则是：“每人各抛掷一次，若小张掷得着地一面的数字比小李掷得着地一面的数字大，车票给小张，否则给小李．”试用“列表法或画树状图”的方法分析，这个规则对双方是否公平？

【分析】（1）直接利用概率公式计算可得；
（2）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率，比较是否相等即可求得答案．
【答案】解：（1）员工小王抽到去B地车票的概率为＝，
故答案为：．

（2）不公平，
画树状图如下：

由此可知，共有16种等可能结果．
其中小张掷得数字比小李掷得数字大的有6种：（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3）．
所以小张掷得数字比小李掷得数字大的概率为6÷16＝．
则小张掷得数字不小于小李掷得数字的概率为1﹣＝，
∵≠，
∴不公平．
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率与概率公式得到应用．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．游戏双方获胜的概率相同，游戏就公平，否则游戏不公平．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
【变式8-2】（2019•陕西）现有A、B两个不透明袋子，分别装有3个除颜色外完全相同的小球．其中，A袋装有2个白球，1个红球；B袋装有2个红球，1个白球．
（1）将A袋摇匀，然后从A袋中随机取出一个小球，求摸出小球是白色的概率；
（2）小华和小林商定了一个游戏规则：从摇匀后的A，B两袋中随机摸出一个小球，摸出的这两个小球，若颜色相同，则小林获胜；若颜色不同，则小华获胜．请用列表法或画出树状图的方法说明这个游戏规则对双方是否公平．
【分析】（1）P（摸出白球）＝；
（2）由上表可知，共有9种等可能结果，其中颜色不相同的结果有4种，颜色相同的结果有5种P（颜色不相同）＝，P（颜色相同）＝，＜这个游戏规则对双方不公平
【答案】解：（1）共有3种等可能结果，而摸出白球的结果有2种
∴P（摸出白球）＝；
（2）根据题意，列表如下：
A B
红1
红2
白
白1
（白1，红1）
（白1，红2）
（白1，白）
白2
（白2，红1）
（白2，红2）
（白2，白）
红
（红，红1）
（红，红2）
（红，白）
由上表可知，共有9种等可能结果，其中颜色不相同的结果有5种，颜色相同的结果有4种
∴P（颜色不相同）＝，P（颜色相同）＝
∵＜
∴这个游戏规则对双方不公平
【点睛】本题考查了概率，根据概率的求法，找准两点：①全部等可能情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率
【变式8-3】（2019•通辽）有四张反面完全相同的纸牌A、B、C、D，其正面分别画有四个不同的几何图形，将四张纸牌洗匀正面朝下随机放在桌面上．
（1）从四张纸牌中随机摸出一张，摸出的牌面图形是中心对称图形的概率是　 　．
（2）小明和小亮约定做一个游戏，其规则为：先由小明随机摸出一张，不放回．再由小亮从剩下的纸牌中随机摸出一张，若摸出的两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形，则小亮获胜，否则小明获胜．这个游戏公平吗？请用列表法（或画树状图）说明理由．（纸牌用A、B、C、D表示）若不公平，请你帮忙修改一下游戏规则，使游戏公平．

【分析】（1）直接根据概率公式计算即可．
（2）首先列表列出可能的情况，摸出的两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形的结果有2种，由概率公式得出概率；得出游戏不公平；关键概率相等修改即可．
【答案】解：（1）共有4张牌，正面是中心对称图形的情况有3种，
从四张纸牌中随机摸出一张，摸出的牌面图形是中心对称图形的概率是；
故答案为：；
（2）游戏不公平，理由如下：
列表得：

A
B
C
D
A

（A，B）
（A，C）
（A，D）
B
（B，A）

（B，C）
（B，D）
C
（C，A）
（C，B）

（C，D）
D
（D，A）
（D，B）
（D，C）

共有12种结果，每种结果出现的可能性相同，摸出的两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形的结果有2种，即（A，C）（C，A）
∴P（两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形）＝＝≠，
∴游戏不公平．
修改规则：若抽到的两张牌面图形都是中心对称图形（或若抽到的两张牌面图形都是轴对称图形），则小明获胜，否则小亮获胜．
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．正确利用树状图分析两次摸牌所有可能结果是关键，区分中心对称图形是要点．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．