【精品讲义】人教版 九年级上册数学 专题04 圆章末重难点题型（举一反三）（人教版）（解析版）

专题04 圆章末重难点题型【举一反三】
【人教版】



【考点1 圆的相关概念】
【方法点拨】解决此类问题的关键是圆中的半径所构成等腰三角形的灵活应用.
【例1】（2019•邗江区校级一模）如图，⊙O的直径BA的延长线与弦DC的延长线交于点E，且CE＝OB，
已知∠DOB＝72°，则∠E等于（　　）

A．36° B．30° C．18° D．24°
【分析】根据圆的半径相等，可得等腰三角形；根据三角形的外角的性质，可得关于∠E的方程，根据解方程，可得答案．
【答案】解：如图：

CE＝OB＝CO，得
∠E＝∠1．
由∠2是△EOC的外角，得∠2＝∠E+∠1＝2∠E．
由OC＝OD，得∠D＝∠2＝2∠E．
由∠3是三角形△ODE的外角，得∠3＝E+∠D＝∠E+2∠E＝3∠E．
由∠3＝72°，得3∠E＝72°．
解得∠E＝24°．
故选：D．
【点睛】本题考查了圆的认识，利用圆的半径相等得出等腰三角形是解题关键，又利用了三角形外角的性质．
【变式1-1】（2019•陕西模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，以C为圆心，CB为半径的
圆交AB于点D，连接CD，则∠ACD＝（　　）

A．10° B．15° C．20° D．25°
【分析】先求得∠B，再由等腰三角形的性质求出∠BCD，则∠ACD与∠BCD互余．
【答案】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝40°，
∴∠B＝50°，
∵CD＝CB，
∴∠BCD＝180°﹣2×50°＝80°，
∴∠ACD＝90°﹣80°＝10°；
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理和等腰三角形的性质，是基础知识比较简单．
【变式1-2】（2019秋•萧山区期中）如图，半圆O是一个量角器，△AOB为一纸片，AB交半圆于点D，
OB交半圆于点C，若点C、D、A在量角器上对应读数分别为45°，70°，160°，则∠B的度数为（　　）

A．20° B．30° C．45° D．60°
【分析】连结OD，如图，根据题意得∠DOC＝25°，∠AOD＝90°，由于OD＝OA，则∠ADO＝45°，然后利用三角形外角性质得∠ADO＝∠B+∠DOB，所以∠B＝45°﹣25°＝20°．
【答案】解：连结OD，如图，则∠DOC＝70°﹣45°＝25°，∠AOD＝160°﹣70°＝90°，
∵OD＝OA，
∴∠ADO＝45°，
∵∠ADO＝∠B+∠DOB，
∴∠B＝45°﹣25°＝20°．
故选：A．

【点睛】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．
【变式1-3】（2018秋•瑞安市期末）如图，A，B，C是⊙O上的三点，AB，AC的圆心O的两侧，若∠ABO
＝20°，∠ACO＝30°，则∠BOC的度数为（　　）

A．100° B．110° C．125° D．130°
【分析】过A、O作⊙O的直径AD，分别在等腰△OAB、等腰△OAC中，根据三角形外角的性质求出∠BOC＝2∠ABO+2∠ACO．
【答案】解：过A作⊙O的直径，交⊙O于D．

在△OAB中，OA＝OB，
则∠BOD＝∠ABO+∠OAB＝2×20°＝40°，
同理可得：∠COD＝∠ACO+∠OAC＝2×30°＝60°，
故∠BOC＝∠BOD+∠COD＝100°．
故选：A．
【点睛】本题考查了圆周角定理，涉及了等腰三角形的性质及三角形的外角性质，解答本题的关键是求出∠COD及∠BOD的度数．
【考点2 垂径定理求线段】
【方法点拨】垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧．
【例2】（2019•柯桥区模拟）如图，⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OC＝4：5，则AB的长为（　　）

A．6 B．7 C．8 D．9
【分析】由于⊙O的直径CD＝10cm，则⊙O的半径为5cm，又已知OM：OC＝4：5，则可以求出OM＝4，OC＝5，连接OA，根据勾股定理和垂径定理可求得AB．
【答案】解：如图所示，连接OA．
⊙O的直径CD＝10cm，
则⊙O的半径为5cm，
即OA＝OC＝5，
又∵OM：OC＝4：5，
所以OM＝4，
∵AB⊥CD，垂足为M，
∴AM＝BM，
在Rt△AOM中，AM＝＝3，
∴AB＝2AM＝2×3＝6．
故选：A．

【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，若设圆的半径为r，弦长为a，这条弦的弦心距为d，则有等式r2＝d2+（）2成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个．
【变式2-1】（2019•渝中区校级三模）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EB．若AB＝4，CD＝1，则EB的长为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．2.5
【分析】设⊙O的半径为r．在Rt△AOC中，利用勾股定理求出r，再利用三角形的中位线定理即可解决问题．
【答案】解：设⊙O的半径为r．
∵OD⊥AB，
∴AC＝BC＝2，
在Rt△AOC中，∵∠ACO＝90°，
∴OA2＝OC2+AC2，
∴r2＝（r﹣1）2+22，
∴r＝，
∴OC＝，
∵OA＝OE，AC＝CB，
∴BE＝2OC＝3，
故选：A．
【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
【变式2-2】（2019•庐阳区二模）如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AC于点E，连接BC过点O作OF⊥BC于点F，若BD＝12cm，AE＝4cm，则OF的长度是（　　）

A． B． C． D．3cm
【分析】连接OB，根据垂径定理求出BE，根据勾股定理求出OB，再根据勾股定理计算即可．
【答案】解：连接OB，
∵AC是⊙O的直径，弦BD⊥AC，
∴BE＝BD＝6，
在Rt△OEB中，OB2＝OE2+BE2，即OB2＝（OB﹣4）2+62，
解得，OB＝，
则EC＝AC﹣AE＝9，
BC＝＝3，
∵OF⊥BC，
∴CF＝BC＝，
∴OF＝＝（cm），
故选：A．

【点睛】本题考查的是垂径定理、勾股定理，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
【变式2-3】（2019•梧州）如图，在半径为的⊙O中，弦AB与CD交于点E，∠DEB＝75°，AB＝6，AE＝1，则CD的长是（　　）

A．2 B．2 C．2 D．4
【分析】过点O作OF⊥CD于点F，OG⊥AB于G，连接OB、OD、OE，由垂径定理得出DF＝CF，AG＝BG＝AB＝3，得出EG＝AG﹣AE＝2，由勾股定理得出OG＝＝2，
证出△EOG是等腰直角三角形，得出∠OEG＝45°，OE＝OG＝2，求出∠OEF＝30°，由直角三角形的性质得出OF＝OE＝，由勾股定理得出DF═，即可得出答案．
【答案】解：过点O作OF⊥CD于点F，OG⊥AB于G，连接OB、OD、OE，如图所示：
则DF＝CF，AG＝BG＝AB＝3，
∴EG＝AG﹣AE＝2，
在Rt△BOG中，OG＝＝＝2，
∴EG＝OG，
∴△EOG是等腰直角三角形，
∴∠OEG＝45°，OE＝OG＝2，
∵∠DEB＝75°，
∴∠OEF＝30°，
∴OF＝OE＝，
在Rt△ODF中，DF＝＝＝，
∴CD＝2DF＝2；
故选：C．

【点睛】本题考查的是垂径定理、勾股定理以及直角三角形的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
【考点3 圆周角定理】
【方法点拨】圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。
推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
【例3】（2019•营口）如图，BC是⊙O的直径，A，D是⊙O上的两点，连接AB，AD，BD，若∠ADB＝
70°，则∠ABC的度数是（　　）

A．20° B．70° C．30° D．90°
【分析】连接AC，如图，根据圆周角定理得到∠BAC＝90°，∠ACB＝∠ADB＝70°，然后利用互余计算∠ABC的度数．
【答案】解：连接AC，如图，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°，
∵∠ACB＝∠ADB＝70°，
∴∠ABC＝90°﹣70°＝20°．
故答案为20°．
故选：A．

【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
【变式3-1】（2019•相城区校级二模）如图，AB是半圆的直径，O为圆心，C是半圆上的点，D是上的
点．若∠BOC＝50°，则∠D的度数（　　）

A．105° B．115° C．125° D．85°
【分析】连接BD，如图，利用圆周角定理得到∠ADB＝90°，∠BDC＝∠BOC＝25°，然后计算∠ADB+∠CDB即可．
【答案】解：连接BD，如图，
∵AB是半圆的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠BDC＝∠BOC＝×50°＝25°，
∴∠ADC＝90°+25°＝115°．
故选：B．

【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
【变式3-2】（2019•碑林区校级一模）如图，AD是半圆的直径，点C是弧BD的中点，∠ADC＝55°，则
∠BAD等于（　　）

A．50° B．55° C．65° D．70°
【分析】连接OB、OC．求出∠BOD即可解决问题．
【答案】解：连接OB，OC，
∵∠ADC＝55°，
∴∠AOC＝2∠ADC＝110°，
∴弧AC＝110°，
∵AD是半圆的直径，
∴弧CD＝70°，
∵D是弧BD的中点，
∴弧BD＝140°，
∴∠BOD＝140°，
∴∠BAD＝∠BOD＝70°，
故选：D．


【点睛】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．
【变式3-3】（2019•太原二模）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD平分∠ACB交⊙O于点D，
若∠ABC＝30°，则∠CAD的度数为（　　）

A．l00° B．105° C．110° D．120
【分析】利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，则利用互余计算出∠BAC＝60°，接着根据角平分线定义得到∠BCD＝45°，从而利用圆周角定理得到∠BAD＝∠BCD＝45°，然后计算∠BAC+∠BAD即可．
【答案】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝90°﹣∠ABC＝90°﹣30°＝60°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD＝45°，
∵∠BAD＝∠BCD＝45°，
∴∠CAD＝∠BAC+∠BAD＝60°+45°＝105°．
故选：B．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
【考点4 圆的内接四边形】
【方法点拨】圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补,且任意一个角的外角都等于其内对角.
【例4】（2019•蓝田县一模）如图，点A、B、C、D在⊙O上，，∠CAD＝30°，∠ACD＝50°，则∠ADB＝（　　）

A．30° B．50° C．70° D．80°
【分析】直接利用圆周角定理以及结合三角形内角和定理得出∠ACB＝∠ADB＝180°﹣∠CAB﹣∠ABC，进而得出答案．
【答案】解：∵，∠CAD＝30°，
∴∠CAD＝∠CAB＝30°，
∴∠DBC＝∠DAC＝30°，
∵∠ACD＝50°，
∴∠ABD＝50°，
∴∠ACB＝∠ADB＝180°﹣∠CAB﹣∠ABC＝180°﹣50°﹣30°﹣30°＝70°．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了圆周角定理以及三角形内角和定理，正确得出∠ABD度数是解题关键．
【变式4-1】（2019•澄海区一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，它的一个外角∠EBC＝55°，分别连接AC、BD，若AC＝AD，则∠DBC的度数为（　　）

A．50° B．60° C．65° D．70°
【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠ADC，根据等腰三角形的性质、圆周角定理计算即可．
【答案】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ADC＝∠EBC＝55°，
∵AC＝AD，
∴∠ACD＝∠ADC＝55°，
∴∠DAC＝70°，
由圆周角定理得，∠DBC＝∠DAC＝70°，
故选：D．
【点睛】本题考查的是圆内接四边形、圆周角定理，掌握圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角是解题的关键．
【变式4-2】（2019•嘉祥县三模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且＝，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC，若∠ABC＝105°，∠BAC＝25°，则∠E的度数为（　　）

A．45° B．50° C．55° D．60°
【分析】先根据圆内接四边形的性质求出∠ADC的度数，再由圆周角定理得出∠DCE的度数，根据三角形外角的性质即可得出结论．
【答案】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝105°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣105°＝75°．
∵＝，∠BAC＝25°，
∴∠DCE＝∠BAC＝25°，
∴∠E＝∠ADC﹣∠DCE＝75°﹣25°＝50°．
故选：B．
【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键．
【变式4-3】（2018•南岗区一模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若⊙O的半径为4，且∠B＝2∠D，连接AC，则线段AC的长为（　　）

A．4 B．4 C．6 D．8
【分析】连接OA，OC，利用内接四边形的性质得出∠D＝60°，进而得出∠AOC＝120°，利用含30°的直角三角形的性质解答即可．
【答案】解：连接OA，OC，过O作OE⊥AC，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝2∠D，
∴∠B+∠D＝3∠D＝180°，
解得：∠D＝60°，
∴∠AOC＝120°，
在Rt△AEO中，OA＝4，
∴AE＝2，
∴AC＝4，
故选：B．
【点睛】此题考查内接四边形的性质，关键是利用内接四边形的性质得出∠D＝60°．
【考点5 弧长计算】
【方法点拨】n°的圆心角所对的弧长l为：。
【例5】（2019•鞍山）如图，AC是⊙O的直径，B，D是⊙O上的点，若⊙O的半径为3，∠ADB＝30°，
则的长为　 　．

【分析】根据圆周角定理求出∠AOB，得到∠BOC的度数，根据弧长公式计算即可．
【答案】解：由圆周角定理得，∠AOB＝2∠ADB＝60°，
∴∠BOC＝180°﹣60°＝120°，
∴的长＝＝2π，
故答案为：2π．
【点睛】本题考查的是圆周角定理、弧长的计算，掌握圆周角定理、弧长公式是解题的关键．
【变式5-1】（2019•庐江县模拟）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，∠ABC的平分线交⊙O于点D．若AB＝6，∠BAC＝30°，则劣弧的长等于　 　．

【分析】根据直径所对的圆周角是直角求出∠ACB＝90°，再根据直角三角形两锐角互余求出∠ABC，然后根据角平分线的定义求出∠ABD，根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的二倍求出∠AOD，然后根据弧长公式列式计算即可得解．
【答案】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠BAC＝30°，
∴∠ABC＝90°﹣30°＝60°，
∵∠ABC的平分线交⊙O于点D，
∴∠ABD＝∠ABC＝×60°＝30°，
∴∠AOD＝2∠ABD＝2×30°＝60°，
∴劣弧的长＝＝π．
故答案为：π．
【点睛】本题考查了弧长的计算，圆周角定理，直角三角形两锐角互余的性质，比较简单，熟记定理与公式并求出∠AOD的度数是解题的关键．
【变式5-2】（2019•泰顺县模拟）如图，△ABC的顶点C在半径为9的⊙O上，∠C＝40°，边AC，BC分
别与⊙O交于D，E两点，则劣弧DE的长度为　 　．

【分析】连接OD、OE，得出∠DOE＝2∠C＝80°，由弧长公式即可得出答案．
【答案】解：连接OD、OE，如图所示：
∵∠C＝40°，
∴∠DOE＝2∠C＝80°，
∵OD＝9，
∴劣弧DE的长＝＝4π．
故答案为：4π．

【点睛】本题考查了圆周角定理、弧长公式；熟练掌握弧长公式，能够运用圆周角定理求角是解决问题的关键．
【变式5-3】（2019•瑶海区二模）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，E为BC的中点，AF＝1，以EF为直径的半圆与DE交于点G，则劣弧的长为　 　．

【分析】连接OG，DF，根据勾股定理分别求出DF、EF，证明Rt△DAF≌Rt△FBE，求出∠DFE＝90°，得到∠GOE＝90°，根据弧长公式计算即可．
【答案】解：连接OG，DF，
∵BC＝2，E为BC的中点，
∴BE＝EC＝1，
∵AB＝3，AF＝1，
∴BF＝2，
由勾股定理得，DF＝＝，EF＝＝，
∴DF＝EF，
在Rt△DAF和Rt△FBE中，
，
∴Rt△DAF≌Rt△FBE（HL）
∴∠ADF＝∠BFE，
∵∠ADF+∠AFD＝90°，
∴∠BFE+∠AFD＝90°，即∠DFE＝90°，
∵FD＝FE，
∴∠FED＝45°，
∵OG＝OE，
∴∠GOE＝90°，
∴劣弧的长＝＝π，
故答案为：π．

【点睛】本题考查的是弧长的计算、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，掌握弧长公式是解题的关键．
【考点6 正多边形与圆】
【方法点拨】定义：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。
【例6】（2019•朝阳区校级四模）如图，⊙O与正六边形OABCDE的边OA、OE分别交丁点F、G，点M在FG上，则圆周角∠FMG的大小为度　 　．

【分析】在优弧FG上取一点T，连接TF，TG．利用圆内接四边形对角互补解决问题即可．
【答案】解：在优弧FG上取一点T，连接TF，TG．

∵ABCDEF是正六边形，
∴∠AOE＝120°
∵∠T＝∠FOG，
∴∠T＝60°，
∵∠FMG+∠T＝180°，
∴∠FMG＝120°，
故答案为120°．
【点睛】本题考查正多边形与圆，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造圆内接四边形解决问题．
【变式6-1】（2019•海南）如图，⊙O与正五边形ABCDE的边AB、DE分别相切于点B、D，则劣弧所对的圆心角∠BOD的大小为　 　度．

【分析】根据正多边形内角和公式可求出∠E、∠D，根据切线的性质可求出∠OAE、∠OCD，从而可求出∠AOC，然后根据圆弧长公式即可解决问题．
【答案】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠E＝∠A＝＝108°．
∵AB、DE与⊙O相切，
∴∠OBA＝∠ODE＝90°，
∴∠BOD＝（5﹣2）×180°﹣90°﹣108°﹣108°﹣90°＝144°，
故答案为：144．
【点睛】本题主要考查了切线的性质、正五边形的性质、多边形的内角和公式、熟练掌握切线的性质是解决本题的关键．
【变式6-2】（2019•青岛）如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，AF是⊙O的直径，则∠BDF的
度数是　 　°．

【分析】连接AD，根据圆周角定理得到∠ADF＝90°，根据五边形的内角和得到∠ABC＝∠C＝108°，求得∠ABD＝72°，由圆周角定理得到∠F＝∠ABD＝72°，求得∠FAD＝18°，于是得到结论．
【答案】解：连接AD，
∵AF是⊙O的直径，
∴∠ADF＝90°，
∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，
∴∠ABC＝∠C＝108°，
∴∠ABD＝72°，
∴∠F＝∠ABD＝72°，
∴∠FAD＝18°，
∴∠CDF＝∠DAF＝18°，
∴∠BDF＝36°+18°＝54°，
故答案为：54．

【点睛】本题考查正多边形与圆，圆周角定理等知识，解题的关键灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
【变式6-3】（2019•江岸区校级模拟）如图，⊙O的半径为2，正八边形ABCDEFGH内接于⊙O，对角线CE、DF相交于点M，则△MEF的面积是　 　．

【分析】设OE交DF于N，由正八边形的性质得出DE＝FE，∠EOF＝＝45°，，由垂径定理得出∠OEF＝∠OFE＝∠OED，OE⊥DF，得出△ONF是等腰直角三角形，因此ON＝FN＝OF＝，∠OFM＝45°，得出EN＝OE﹣OM＝2﹣，证出△EMN是等腰直角三角形，得出MN＝EN，得出MF＝OE＝2，由三角形面积公式即可得出结果．
【答案】解：设OE交DF于N，如图所示：
∵正八边形ABCDEFGH内接于⊙O，
∴DE＝FE，∠EOF＝＝45°，，
∴∠OEF＝∠OFE＝∠OED，OE⊥DF，
∴△ONF是等腰直角三角形，
∴ON＝FN＝OF＝，∠OFM＝45°，
∴EN＝OE﹣OM＝2﹣，∠OEF＝∠OFE＝∠OED＝67.5°，
∴∠CED＝∠DFE＝67.5°﹣45°＝22.5°，
∴∠MEN＝45°，
∴△EMN是等腰直角三角形，
∴MN＝EN，
∴MF＝MN+FN＝ON+EN＝OE＝2，
∴△MEF的面积＝MF×EN＝×2×（2﹣）＝2﹣；
故答案为：2﹣．

【点睛】本题考查了正多边形和圆、垂径定理、正八边形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握正八边形的性质，证明△ONF和△ENM是等腰直角三角形是解题的关键．
【考点7 与圆有关的求最值】
【例7】（2019•清江浦区一模）正△ABC的边长为4，⊙A的半径为2，D是⊙A上动点，E为CD中点，则BE的最大值为　 　．

【分析】连接AD，通过圆的半径和等边三角形的边长，E点的运动轨迹是以F为圆心FE为半径的圆，可以判断点B，E，F三点共线，此时BE与圆A相切时BE的值最大，利用三角形的性质即可求解；
【答案】解：连接AD，
∵⊙A的半径是2，
∴⊙A与AC边交于AC的中点F，
∵E为CD中点，
E点的运动轨迹是以F为圆心FE为半径的圆，
∴当点B，E，F三点共线，此时BE与圆A相切时，BE的值最大，
∵AF＝2，AB＝4，
∴BF＝2，
∵E为CD中点，F是AC的中点，
∴EF＝AD＝1，
∴BE＝2+1；
故答案为2+1．

【点睛】本题考查圆与直线的位置关系，等边三角形的性质；利用中位线的性质，直角三角形的边角关系是求解的关键．
【变式7-1】（2019•亭湖区校级三模）如图，在平面直角坐标系中，点P（3，4），⊙P半径为2，A（2.6，0），B（5.2，0），点M是⊙P上的动点，点C是MB的中点，则AC的最小值为　 　．

【分析】如图，连接OP交⊙P于M′，连接OM．因为OA＝AB，CM＝CB，所以AC＝OM，所以当OM最小时，AC最小，M运动到M′时，OM最小，由此即可解决问题．
【答案】解：如图，连接OP交⊙P于M′，连接OM，
∵P（3，4），
∴由勾股定理得：OP＝＝5，

∵OA＝AB＝2.6，CM＝CB，
∴AC＝OM，
∴当OM最小时，AC最小，
∴当M运动到M′时，OM最小，
此时AC的最小值＝OM′＝（OP﹣PM′）＝（5﹣2）＝，
故答案为．
【点睛】本题考查点与圆的位置关系、坐标与图形的性质、三角形中位线定理、最小值问题等知识，解题的关键是理解圆外一点到圆的最小距离以及最大距离，学会用转化的思想思考问题，所以中考常考题型．
【变式7-2】（2018•周村区二模）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点D是以点A为圆心4为半径的圆上一点，连接BD，点M为BD中点，线段CM长度的最大值为　 　．

【分析】作AB的中点E，连接EM、CE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形的中位线定理求得CE和EM的长，然后在△CEM中根据三边关系即可求解．
【答案】解：作AB的中点E，连接EM、CE．
在直角△ABC中，AB＝＝＝10，
∵E是直角△ABC斜边AB上的中点，
∴CE＝AB＝5．
∵M是BD的中点，E是AB的中点，
∴ME＝AD＝2．
∴在△CEM中，5﹣2≤CM≤5+2，即3≤CM≤7．
∴最大值为7，
故答案为：7．

【点睛】本题考查了点与圆的位置关系、三角形的中位线定理的知识，要结合勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．
【变式7-3】（2018秋•邗江区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，D、E分别是AC、BC上的一点，且DE＝3，若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M、N，则MN的最大值为　 　．

【分析】如图，连接OM，作OH⊥AB于H，CK⊥AB于K．由题意MN＝2MH＝2，OM＝，推出欲求MN的最大值，只要求出OH的最小值即可．
【答案】解：如图，连接OM，作OH⊥AB于H，CK⊥AB于K．

∵OH⊥MN，
∴MH＝HN，
∴MN＝2MH＝2，
∵∠DCE＝90°，OD＝OE，
∴OC＝OD＝OE＝OM＝，
∴欲求MN的最大值，只要求出OH的最小值即可，
∵OC＝，
∴点O的运动轨迹是以C为圆心为半径的圆，
在Rt△ACB中，∵BC＝3，AC＝4，
∴AB＝5，
∵•AB•CK＝•AC•BC，
∴CK＝，
当C，O，H共线，且与CK重合时，OH的值最小，
∴OH的最小值为﹣＝，
∴MN的最大值＝2＝，
故答案为．
【点睛】本题考查最小与圆的位置关系，勾股定理，轨迹等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
【考点8 垂径定理的应用】
【例8】（2018秋•朝阳区期末）一些不便于直接测量的圆形孔道的直径可以用如下方法测量．如图，把一
个直径为10mm的小钢球紧贴在孔道边缘，测得钢球顶端离孔道外端的距离为8mm，求这个孔道的直径AB．

【分析】先求出钢珠的半径及OD的长，连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，则AB＝2AD，在Rt△AOD中利用勾股定理即可求出AD的长，进而得出AB的长．
【答案】解：连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，

则AB＝2AD，
∵钢珠的直径是10mm，
∴钢珠的半径是5mm，
∵钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，
∴OD＝3mm，
在Rt△AOD中，
∵AD＝＝＝4mm，
∴AB＝2AD＝2×4＝8mm．
【点睛】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
【变式8-1】（2018秋•丹江口市期末）在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有圆
材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代语言表述为：如图，AB
为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AE＝1寸，CD＝10寸，求直径AB的长．请你解答这个问题．

【分析】连接OC，由直径AB与弦CD垂直，根据垂径定理得到E为CD的中点，由CD的长求出DE的长，设OC＝OA＝x寸，则AB＝2x寸，OE＝（x﹣1）寸，由勾股定理得出方程，解方程求出半径，即可得出直径AB的长．
【答案】解：如图所示，连接OC．

∵弦CD⊥AB，AB为圆O的直径，
∴E为CD的中点，
又∵CD＝10寸，
∴CE＝DE＝CD＝5寸，
设OC＝OA＝x寸，则AB＝2x寸，OE＝（x﹣1）寸，
由勾股定理得：OE2+CE2＝OC2，
即（x﹣1）2+52＝x2，
解得：x＝13，
∴AB＝26寸，
即直径AB的长为26寸．
【点睛】此题考查了垂径定理，勾股定理；解答此类题常常利用垂径定理由垂直得中点，进而由弦长的一半，弦心距及圆的半径构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题．
【变式8-2】（2018秋•兴化市期中）在直径为1000毫米的圆柱形油罐内装进一些油．其横截面如图．油面宽AB＝600毫米．
（1）求油的最大深度；
（2）如果再注入一些油后，油面宽变为800毫米，此时油面上升了多少毫米？

【分析】（1）首先过点O作OF⊥AB于点G，交⊙O于点G，连接OA，由垂径定理即可求得AF的长，然后由勾股定理，求得OF的长，继而求得油的最大深度．
（2）分两种情况：根据（1）求得OE＝300mm，可得油面上升EF＝OF﹣OE，可得结论，同理可得当油面在圆心O的上方时，油面上升的高度．
【答案】解：（1）过O作OF⊥AB交AB于F，交圆O于G，连接OA，
∴AF＝AB＝300mm，
∵直径MN＝1000mm
∴OA＝500mm
由勾股定理得，OF＝＝＝400mm，
则GF＝OG﹣OF＝100mm；
（2）油面宽变为800毫米时，存在两种情况：
当油面CD在圆心O的下方时，连接OC，
∵OE⊥CD，
∴CE＝400mm，OE＝＝300mm，
则EF＝OG﹣OE﹣FG＝100mm，
同理，当CD在圆心O上方时，可得EF＝700．
答：此时油面上升了100毫米或700毫米．

【点睛】此题考查了垂径定理与勾股定理的应用．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
【变式8-3】（2018秋•云安区期末）如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB＝60米，拱高PD＝18米．
（1）求圆弧所在的圆的半径r的长；
（2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PE＝4米时，是否要采取紧急措施？

【分析】（1）连结OA，利用r表示出OD的长，在Rt△AOD中根据勾股定理求出r的值即可；
（2）连结OA′，在Rt△A′EO中，由勾股定理得出A′E的长，进而可得出A′B′的长，据此可得出结论．
【答案】解：（1）连结OA，
由题意得：AD＝AB＝30，OD＝（r﹣18）
在Rt△ADO中，由勾股定理得：r2＝302+（r﹣18）2，
解得，r＝34；

（2）连结OA′，
∵OE＝OP﹣PE＝30，
∴在Rt△A′EO中，由勾股定理得：A′E2＝A′O2﹣OE2，即：A′E2＝342﹣302，
解得：A′E＝16．
∴A′B′＝32．
∵A′B′＝32＞30，
∴不需要采取紧急措施．

【点睛】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．
【考点9 切线的性质与判定】
【方法点拨】切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。
经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长。
【例9】（2019•白银）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D在BC边上，⊙D经过点A和点
B且与BC边相交于点E．
（1）求证：AC是⊙D的切线；
（2）若CE＝2，求⊙D的半径．

【分析】（1）连接AD，根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C＝30°，∠BAD＝∠B＝30°，求得∠ADC＝60°，根据三角形的内角和得到∠DAC＝180°﹣60°﹣30°＝90°，于是得到AC是⊙D的切线；
（2）连接AE，推出△ADE是等边三角形，得到AE＝DE，∠AED＝60°，求得∠EAC＝∠AED﹣∠C＝30°，得到AE＝CE＝2，于是得到结论．
【答案】（1）证明：连接AD，
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵AD＝BD，
∴∠BAD＝∠B＝30°，
∴∠ADC＝60°，
∴∠DAC＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∴AC是⊙D的切线；
（2）解：连接AE，
∵AD＝DE，∠ADE＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴AE＝DE，∠AED＝60°，
∴∠EAC＝∠AED﹣∠C＝30°，
∴∠EAC＝∠C，
∴AE＝CE＝2，
∴⊙D的半径AD＝2．

【点睛】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
【变式9-1】（2019•凉山州）如图，点D是以AB为直径的⊙O上一点，过点B作⊙O的切线，交AD的延长线于点C，E是BC的中点，连接DE并延长与AB的延长线交于点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若OB＝BF，EF＝4，求AD的长．

【分析】（1）连接OD，由AB为⊙O的直径得∠BDC＝90°，根据BE＝EC知∠1＝∠3、由OD＝OB知∠2＝∠4，根据BC是⊙O的切线得∠3+∠4＝90°，即∠1+∠2＝90°，得证；
（2）根据直角三角形的性质得到∠F＝30°，BE＝EF＝2，求得DE＝BE＝2，得到DF＝6，根据三角形的内角和得到OD＝OA，求得∠A＝∠ADO＝BOD＝30°，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【答案】解：（1）如图，连接OD，BD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠BDC＝90°，
在Rt△BDC中，∵BE＝EC，
∴DE＝EC＝BE，
∴∠1＝∠3，
∵BC是⊙O的切线，
∴∠3+∠4＝90°，
∴∠1+∠4＝90°，
又∵∠2＝∠4，
∴∠1+∠2＝90°，
∴DF为⊙O的切线；
（2）∵OB＝BF，
∴OF＝2OD，
∴∠F＝30°，
∵∠FBE＝90°，
∴BE＝EF＝2，
∴DE＝BE＝2，
∴DF＝6，
∵∠F＝30°，∠ODF＝90°，
∴∠FOD＝60°，
∵OD＝OA，
∴∠A＝∠ADO＝BOD＝30°，
∴∠A＝∠F，
∴AD＝DF＝6．

【点睛】本题考查了切线的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
【变式9-2】（2019•临沂）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点O作OD⊥AB，交BC的延长线于D，交AC于点E，F是DE的中点，连接CF．
（1）求证：CF是⊙O的切线．
（2）若∠A＝22.5°，求证：AC＝DC．

【分析】（1）根据圆周角定理得到∠ACB＝∠ACD＝90°，根据直角三角形的性质得到CF＝EF＝DF，求得∠AEO＝∠FEC＝∠FCE，根据等腰三角形的性质得到∠OCA＝∠OAC，于是得到结论；
（2）根据三角形的内角和得到∠OAE＝∠CDE＝22.5°，根据等腰三角形的性质得到∠CAD＝∠ADC＝45°，于是得到结论．
【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠ACD＝90°，
∵点F是ED的中点，
∴CF＝EF＝DF，
∴∠AEO＝∠FEC＝∠FCE，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC，
∵OD⊥AB，
∴∠OAC+∠AEO＝90°，
∴∠OCA+∠FCE＝90°，即OC⊥FC，
∴CF与⊙O相切；
（2）解：连接AD，∵OD⊥AB，AC⊥BD，
∴∠AOE＝∠ACD＝90°，
∵∠AEO＝∠DEC，
∴∠OAE＝∠CDE＝22.5°，
∵AO＝BO，
∴AD＝BD，
∴∠ADO＝∠BDO＝22.5°，
∴∠ADB＝45°，
∴∠CAD＝∠ADC＝45°，
∴AC＝CD．

【点睛】本题考查了切线的判定，等腰三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
【变式9-3】（2019•朝阳）如图，四边形ABCD为菱形，以AD为直径作⊙O交AB于点F，连接DB交⊙O于点H，E是BC上的一点，且BE＝BF，连接DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）若BF＝2，DH＝，求⊙O的半径．

【分析】（1）证明△DAF≌△DCE，可得∠DFA＝∠DEC，证出∠ADE＝∠DEC＝90°，即OD⊥DE，DE是⊙O的切线．
（2）连接AH，求出DB＝2DH＝2，在Rt△ADF和Rt△BDF中，可得AD2﹣（AD﹣BF）2＝DB2﹣BF2，解方程可求出AD的长．则OA可求出．
【答案】（1）证明：如图1，连接DF，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，AD∥BC，∠DAB＝∠C，
∵BF＝BE，
∴AB﹣BF＝BC﹣BE，
即AF＝CE，
∴△DAF≌△DCE（SAS），
∴∠DFA＝∠DEC，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠DFA＝90°，
∴∠DEC＝90°
∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠DEC＝90°，
∴OD⊥DE，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：如图2，连接AH，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠AHD＝∠DFA＝90°，
∴∠DFB＝90°，
∵AD＝AB，DH＝，
∴DB＝2DH＝2，
在Rt△ADF和Rt△BDF中，
∵DF2＝AD2﹣AF2，DF2＝BD2﹣BF2，
∴AD2﹣AF2＝DB2﹣BF2，
∴AD2﹣（AD﹣BF）2＝DB2﹣BF2，
∴，
∴AD＝5．
∴⊙O的半径为．
【点睛】本题考查了圆的综合，涉及了圆周角定理，菱形的性质，切线的判定，三角形全等的性质和判定，勾股定理等知识，解答本题的关键是根据勾股定理列方程解决问题．
【考点10 圆中阴影面积计算】
【方法点拨】圆心角为n°的扇形面积S为：；
【例10】（2018秋•柯桥区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的圆，交AC于E点，交BC于D点．
（1）若AB＝8，∠C＝60°，求阴影部分的面积；
（2）当∠A为锐角时，试说明∠A与∠CBE的关系．

【分析】（1）连接OE，先利用等腰三角形的性质求出∠BOE＝120°，∠OBE＝30°，根据AB＝8知OB＝4，依据S阴影＝S扇形AOE+S△BOE计算可得．
（2）由AB是⊙O的直径知∠BEA＝90°，根据∠EBC+∠C＝∠CAD+∠C＝90°得∠EBC＝∠CAD，据此求解可得．
【答案】解：（1）如图，连接OE，

∵∠C＝60°，AB＝AC，
∴∠BAC＝60°，
∴∠AOE＝60°，
∴∠BOE＝120°，
∴∠OBE＝30°，
∵AB＝8，
∴OB＝4，
∴S阴影＝S扇形AOE+S△BOE＝+×2×4＝π+4；

（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠BEA＝90°，
∴∠EBC+∠C＝∠CAD+∠C＝90°，
∴∠EBC＝∠CAD，
∴∠CAB＝2∠EBC．
【点睛】本题主要考查扇形面积的计算，解题的关键是掌握等腰三角形的性质、圆周角定理、扇形的面积公式．
【变式10-1】（2018秋•吴兴区期末）如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC．
（1）求证：AE＝ED；
（2）若AB＝8，∠CBD＝30°，求图中阴影部分的面积．

【分析】（1）根据平行线的性质得出∠AEO＝90°，再利用垂径定理证明即可．
（2）根据S阴＝S扇形OAD﹣S△ADO计算即可．
【答案】证明：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵OC∥BD，
∴∠AEO＝∠ADB＝90°，
即OC⊥AD，
∴AE＝ED；

（2）连接CD，OD，

∵OC∥BD，
∴∠OCB＝∠CBD＝30°，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC＝30°，
∴∠AOC＝∠OCB+∠OBC＝60°，
∵∠COD＝2∠CBD＝60°，
∴∠AOD＝120°，
∴S阴＝S扇形OAD﹣S△ADO＝﹣•4×2＝﹣4
【点睛】本题考查扇形的面积公式，垂径定理，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
【变式10-2】（2019•长春一模）如图，△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，点E为BC的中点，连接OD、DE．
（1）求证：OD⊥DE．
（2）若∠BAC＝30°，AB＝8，求阴影部分的面积．

【分析】（1）连接DB，根据圆周角定理、直角三角形的性质证明；
（2）根据扇形面积公式计算即可．
【答案】（1）证明：连接DB．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠CDB＝90°，
∵点E是BC的中点，
∴DE＝CE＝BC，
∴∠EDC＝∠C，
∵OA＝OD，
∴∠A＝∠ADO，
∵∠ABC＝90°，
∴∠A+∠C＝90°，
∴∠ADO+∠EDC＝90°，
∴∠ODE＝90°，
∴OD⊥DE；
（2）∵AB＝8，∠BAC＝30°，
∴AD＝4，
阴影部分的面积＝﹣×4×2
＝π﹣4．

【点睛】本题考查的是扇形面积的计算、圆周角定理的应用，掌握扇形面积公式是解题的关键．
【变式10-3】（2018秋•富阳区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，E在AC上，经过A，B，E三点的圆O交BC于点D，且D点是弧BE的中点，
（1）求证AB是圆的直径；
（2）若AB＝8，∠C＝60°，求阴影部分的面积；
（3）当∠A为锐角时，试说明∠A与∠CBE的关系．

【分析】（1）连接AD，根据等腰三角形的三线合一得到AD⊥BC，根据圆周角定理的推论证明；
（2）连接OE，根据扇形面积公式计算即可；
（3）由（1）知AB是直径，得到∠BEA＝90°，根据余角的性质得到∠EBC＝∠CAD，等量代换即可得到结论．
【答案】解：（1）连结AD，∵D是中点，
∴∠BAD＝∠CAD，
又∵AB＝AC，
∴AD⊥BD，
∴∠ADB＝90°，
∴AB是⊙O直径；

（2）连结OE，
∵∠C＝60°，AB＝AB，
∴∠BAC＝60°，
∴∠AOE＝60°，
∴∠BOC＝120°，
∴∠OBE＝30°，
∵AB＝8，
∴OB＝4，
∴S阴影＝S扇形AOE+S△BOE＝+×2×4＝π+4．

（3）由（1）知AB是⊙O的直径，
∴∠BEA＝90°，
∴∠EBC+∠C＝∠CAD+∠C＝90°，
∴∠EBC＝∠CAD，
∴∠CAB＝2∠EBC．

【点睛】本题考查了扇形面积的计算，等腰三角形的性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．