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2019-2020学年浙江省杭州市萧山区八年级（下）期末数学试卷 解析版
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2019-2020学年浙江省杭州市萧山区八年级（下）期末数学试卷
一.选择题：本题有10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（3分）下列四个几何图形中是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）二次根式中字母x的取值可以是（ ）
A． B．0 C． D．﹣1
3．（3分）已知y是关于x的反比例函数，且当x＝﹣时，y＝2．则y关于x的函数表达式为（ ）
A．y＝﹣x B．y＝﹣ C．y＝﹣x D．y＝﹣
4．（3分）如表记录了甲、乙、丙、丁四名学生近5次数学成绩的数据信息，要选择一名成绩好又发挥稳定的学生参加年级数学比赛，应该选择的是（ ）
甲
乙
丙
丁
平均数（分）
110
103
110
107
方差S2（分2）
2.5
2.5
10.3
6.5
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
5．（3分）化简，正确的是（ ）
A．2 B． C．6 D．
6．（3分）下列用配方法解方程x2﹣x﹣2＝0的四个步骤中，出现错误的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
7．（3分）如图，在▱ABCD中，E是CD上一点，BE＝BC．若∠A：∠ADC＝1：2，则∠ABE的度数是（ ）
A．70° B．65° C．60° D．55°
8．（3分）如图，一块长方形绿地的长为100m，宽为50m，在绿地中开辟两条道路后剩余绿地面积为4704m2．则根据题意可列出方程（ ）
A．5000﹣150x＝4704 B．5000﹣150x+x2＝4704
C．5000﹣150x﹣x2＝4704 D．5000﹣150x+x2＝4704
9．（3分）已知反比例函数y＝，给出下列结论：①该函数图象在一、三象限；②若x＞3，则0＜y＜l；③若点（m﹣n，），（m﹣p，）在该函数图象上，则m＞n＞p．其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
10．（3分）如图，点P，Q分别是菱形ABCD的边AD，BC上的两个动点，若线段PQ长的最大值为8，最小值为8，则菱形ABCD的边长为（ ）
A．4 B．10 C．12 D．16
二、填空题：本题有6个小题，每小题4分，共24分.
11．（4分）计算 （）2＝ ．
12．（4分）如果一个多边形的内角和等于它外角和的3倍，则这个多边形的边数是 ．
13．（4分）已知一组数据1，3，5，x，y的平均数是3，则另一组数据﹣1，1，3，x﹣2，y﹣2的平均数是 ．
14．（4分）把关于y的方程（2y﹣3）2＝y（y﹣2）化成一般形式为 ．
15．（4分）如图，已知▱OABC的顶点A，B分别在反比例函数y＝（x＞0）和y＝（x＞0）的图象上．若▱OABC的面积为6，则k＝ ．
16．（4分）如图，正方形ABCD的边长为4，E为边AD上一动点，连结BE，CE，以CE为边向右侧作正方形CEFG．
（1）若BE＝5，则正方形CEFG的面积为 ；
（2）连结DF，DG，则△DFG面积的最小值为 ．
三、解答题：本题有7小题，共66分.解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．（6分）计算：
（1）；
（2）×．
18．（8分）在抗击“新冠肺炎疫情”的日子里，某校积极开展“停课不停学”的线上教学活动．为了解全校1200名学生一周内平均每天在家进行体育锻炼时间的情况，随机调查了该校100名学生一周内平均每天在家进行体育锻炼时间的情况，结果如表：
时间（分）
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
人数
16
24
14
10
8
6
8
4
6
4
完成下列问题：
（1）根据统计表信息，写出这100名学生一周内平均每天在家体育锻炼时间的中位数和众数．
（2）请估计该校一周内平均每天在家体育锻炼时间不少于35分钟的学生大约有多少人？
19．（8分）选用适当的方法解下列方程：
（1）（x﹣2）2＝4．
（2）2a2﹣5＝3a．
20．（10分）已知关于x的一元二次方程x2+4x＝1﹣m．
（1）当m＝5时，试判断此方程根的情况．
（2）若x1，x2是该方程不相等的两实数根，且（x12+4x1）（x22+4x2）＝49，求m的值．
21．（10分）如图，将▱ABCD的边DC延长到点E，使CE＝DC，连接AE，交BC于点F，连接AC、BE．
（1）求证：四边形ABEC是平行四边形；
（2）若∠AFC＝2∠ADC，求证：四边形ABEC是矩形．
22．（12分）已知反比例函数y＝﹣．
（1）若点（﹣t+，﹣2）在此反比例函数图象上，求t的值．
（2）若点（x1，y1）和（x2，y2）是此反比例函数图象上的任意两点，
①当x1＞0，x2＞0，且x1＝x2+2时，求的值；
②当x1＞x2时，试比较y1，y2的大小．
23．（12分）如图①，已知正方形ABCD中，E，F分别是边AD，CD上的点（点E，F不与端点重合），且AE＝DF，BE，AF交于点P，过点C作CH⊥BE交BE于点H．
（1）求证：AF∥CH．
（2）若AB＝2，AE＝2，试求线段PH的长．
（3）如图②，连结CP并延长交AD于点Q，若点H是BP的中点，试求的值．
2019-2020学年浙江省杭州市萧山区八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题：本题有10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（3分）下列四个几何图形中是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：C．
2．（3分）二次根式中字母x的取值可以是（ ）
A． B．0 C． D．﹣1
【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
【解答】解：根据题意得：x﹣1≥0，
解得x≥1，
只有选项A符合题意．
故选：A．
3．（3分）已知y是关于x的反比例函数，且当x＝﹣时，y＝2．则y关于x的函数表达式为（ ）
A．y＝﹣x B．y＝﹣ C．y＝﹣x D．y＝﹣
【分析】函数经过一定点（﹣，2），将此点坐标代入函数解析式y＝（k≠0）即可求得k的值．
【解答】解：设y关于x的函数表达式为y＝（k≠0），
将x＝﹣，y＝2代入，得2＝．
解得k＝﹣1．
所以该函数表达式是：y＝﹣．
故选：B．
4．（3分）如表记录了甲、乙、丙、丁四名学生近5次数学成绩的数据信息，要选择一名成绩好又发挥稳定的学生参加年级数学比赛，应该选择的是（ ）
甲
乙
丙
丁
平均数（分）
110
103
110
107
方差S2（分2）
2.5
2.5
10.3
6.5
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的参加年级数学比赛．
【解答】解：∵乙和丁的平均数较小，
∴从甲和丙中选择一人参加年级数学比赛，
∵甲的方差较小，
∴选择甲参加比赛，
故选：A．
5．（3分）化简，正确的是（ ）
A．2 B． C．6 D．
【分析】原式化简得到结果，即可作出判断．
【解答】解：＝＝．
故选：D．
6．（3分）下列用配方法解方程x2﹣x﹣2＝0的四个步骤中，出现错误的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【分析】观察题中解方程的步骤，找出错误的即可．
【解答】解：解方程x2﹣x﹣2＝0，
去分母得：x2﹣2x﹣4＝0，即x2﹣2x＝4，
配方得：x2﹣2x+1＝5，即（x﹣1）2＝5，
开方得：x﹣1＝±，
解得：x＝1±，
则四个步骤中出现错误的是④．
故选：D．
7．（3分）如图，在▱ABCD中，E是CD上一点，BE＝BC．若∠A：∠ADC＝1：2，则∠ABE的度数是（ ）
A．70° B．65° C．60° D．55°
【分析】根据平行四边形的性质和∠A：∠ADC＝1：2，可以得到∠A的度数，从而可以得到∠C的度数，然后根据BE＝BC，可以判断△BCE的形状，再根据平行线的性质，可以得到∠ABE和∠BEC的关系，从而可以得到∠ABE的度数．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A+∠ADC＝180°，∠A＝∠C，
∵∠A：∠ADC＝1：2，
∴∠A＝60°，∠ADC＝120°，
∴∠C＝60°，
∵BE＝BC，
∴△BCE是等边三角形，
∴∠BEC＝60°，
∵DC∥AB，
∴∠BEC＝∠ABE，
∴∠ABE＝60°，
故选：C．
8．（3分）如图，一块长方形绿地的长为100m，宽为50m，在绿地中开辟两条道路后剩余绿地面积为4704m2．则根据题意可列出方程（ ）
A．5000﹣150x＝4704 B．5000﹣150x+x2＝4704
C．5000﹣150x﹣x2＝4704 D．5000﹣150x+x2＝4704
【分析】由在绿地中开辟两条道路后剩余绿地面积为4704m2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：依题意，得：100×50﹣（100+50）x+x2＝4704，
即5000﹣150x+x2＝4704．
故选：B．
9．（3分）已知反比例函数y＝，给出下列结论：①该函数图象在一、三象限；②若x＞3，则0＜y＜l；③若点（m﹣n，），（m﹣p，）在该函数图象上，则m＞n＞p．其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【分析】根据反比例函数的性质判断即可．
【解答】解：∵反比例函数y＝中，k＝3＞0，函数图象在一、三象限，故①正确；
∵当x＝3时，y＝1，
∴若x＞3，则0＜y＜l，故②正确；
∵点（m﹣n，），（m﹣p，）在该函数图象上，
∴点（m﹣n，），（m﹣p，）在第一象限，
∵＞，
∴0＜m﹣n＜m﹣p，
∴m＞n＞p，故③正确；
故选：D．
10．（3分）如图，点P，Q分别是菱形ABCD的边AD，BC上的两个动点，若线段PQ长的最大值为8，最小值为8，则菱形ABCD的边长为（ ）
A．4 B．10 C．12 D．16
【分析】过点C作CH⊥AB，交AB的延长线于H，由题意可得当点P与点A重合，点Q与点C重合时，PQ有最大值，即AC＝8，当PQ⊥BC时，PQ有最小值，即直线AC，直线BD的距离为8，由面积法可求CH＝8，由勾股定理可求解．
【解答】解：如图，过点C作CH⊥AB，交AB的延长线于H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB＝BC，
∵点P，Q分别是菱形ABCD的边AD，BC上的两个动点，
∴当点P与点A重合，点Q与点C重合时，PQ有最大值，即AC＝8，
当PQ⊥BC时，PQ有最小值，即直线AD，直线BC的距离为8，
∵S菱形ABCD＝AD×8＝AB×CH，
∴CH＝8，
∴AH＝＝＝16，
∵BC2＝CH2+BH2，
∴BC2＝（16﹣BC）2+64，
∴BC＝10，
故选：B．
二、填空题：本题有6个小题，每小题4分，共24分.
11．（4分）计算 （）2＝ 2 ．
【分析】直接计算即可．
【解答】解：原式＝2．
故答案是2．
12．（4分）如果一个多边形的内角和等于它外角和的3倍，则这个多边形的边数是 8 ．
【分析】根据多边形的内角和公式及外角的特征计算．
【解答】解：多边形的外角和是360°，根据题意得：
180°•（n﹣2）＝3×360°
解得n＝8．
故答案为：8．
13．（4分）已知一组数据1，3，5，x，y的平均数是3，则另一组数据﹣1，1，3，x﹣2，y﹣2的平均数是 1 ．
【分析】平均数的计算方法是求出所有数据的和，然后除以数据的总个数．先求数据x与y的和，然后用平均数的定义求新数据的平均数．
【解答】解：∵一组数据1，3，5，x，y的平均数是3，
∴1+3+5+x+y＝15，
∴x+y＝6，
∴另一组数据﹣1，1，3，x﹣2，y﹣2的平均数是（﹣1+1+3+x﹣2+y﹣2）＝（x+y﹣1）＝1．
故答案为：1．
14．（4分）把关于y的方程（2y﹣3）2＝y（y﹣2）化成一般形式为 3y2﹣10y+9＝0 ．
【分析】依次去括号、移项、合并同类项可得答案．
【解答】解：∵（2y﹣3）2＝y（y﹣2），
∴4y2﹣12y+9＝y2﹣2y，
∴4y2﹣12y+9﹣y2+2y＝0，
∴3y2﹣10y+9＝0，
故答案为：3y2﹣10y+9＝0．
15．（4分）如图，已知▱OABC的顶点A，B分别在反比例函数y＝（x＞0）和y＝（x＞0）的图象上．若▱OABC的面积为6，则k＝ 3 ．
【分析】由平行四边形的性质得AB∥x轴，可设A、B的纵坐标为m，用m表示A、B的横坐标，进而求得AB，根据平行四边形的面积公式列出方程，便可求得k的值．
【解答】解：设A（），
∵四边形OABC是平行四边形，
∴AB∥x轴，
∴B（），
∴AB＝，
∵▱OABC的面积为6，
∴AB•m＝6，即，
∴k＝3，
故答案为：3．
16．（4分）如图，正方形ABCD的边长为4，E为边AD上一动点，连结BE，CE，以CE为边向右侧作正方形CEFG．
（1）若BE＝5，则正方形CEFG的面积为 17 ；
（2）连结DF，DG，则△DFG面积的最小值为 6 ．
【分析】（1）利用勾股定理求出EC2即可解决问题．
（2）连接DF，DG．设DE＝x，则CE＝，根据S△DEC+S△DFC＝S正方形ECGF根据函数关系式，利用二次函数的性质求解即可．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝4，∠A＝∠ADC＝90°，
∵BE＝5，
∴AE＝＝＝3，
∴DE＝AD﹣AE＝4﹣3＝1，
∴EC2＝DE2+CD2＝12+42＝17，
∴正方形CEFG的面积＝EC2＝17．
故答案为17．
（2）连接DF，DG．设DE＝x，则CE＝，
∵S△DEC+S△DFC＝S正方形ECGF，
∴S△DFG＝（x2+16）﹣×x×4＝x2﹣2x+8＝（x﹣2）2+6，
∵＞0，
∴x＝2时，△DFC的面积的最小值为6．
故答案为6．
三、解答题：本题有7小题，共66分.解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．（6分）计算：
（1）；
（2）×．
【分析】（1）先化成最简二次根式，再根据二次根式加减法则进行计算即可；
（2）先根据二次根式的性质和二次根式的乘法法则进行计算，再算加法即可．
【解答】解：（1）﹣
＝3﹣2
＝；
（2）+2×
＝3+2
＝5．
18．（8分）在抗击“新冠肺炎疫情”的日子里，某校积极开展“停课不停学”的线上教学活动．为了解全校1200名学生一周内平均每天在家进行体育锻炼时间的情况，随机调查了该校100名学生一周内平均每天在家进行体育锻炼时间的情况，结果如表：
时间（分）
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
人数
16
24
14
10
8
6
8
4
6
4
完成下列问题：
（1）根据统计表信息，写出这100名学生一周内平均每天在家体育锻炼时间的中位数和众数．
（2）请估计该校一周内平均每天在家体育锻炼时间不少于35分钟的学生大约有多少人？
【分析】（1）找出表格中按大小次序排好后位于中间的数和出现次数最多的数即可求解．
（2）借助表格查找时间不少于35分钟的学生的人数，除以样本容量，然后乘全校人数即可求解．
【解答】解：（1）由表格知，中位数是25，众数是20．
（2）×1200＝432（人）．
故估计该校一周内平均每天在家体育锻炼时间不少于35分钟的学生大约有432人．
19．（8分）选用适当的方法解下列方程：
（1）（x﹣2）2＝4．
（2）2a2﹣5＝3a．
【分析】（1）两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：（1）（x﹣2）2＝4，
开方得：x﹣2＝±2，
解得：x1＝4，x2＝0；
（2）移项得：2a2﹣3a﹣5＝0，
（2a﹣5）（a+1）＝0，
2a﹣5＝0，a+1＝0，
解得：a1＝2.5，a2＝﹣1．
20．（10分）已知关于x的一元二次方程x2+4x＝1﹣m．
（1）当m＝5时，试判断此方程根的情况．
（2）若x1，x2是该方程不相等的两实数根，且（x12+4x1）（x22+4x2）＝49，求m的值．
【分析】（1）把m＝5代入方程，再根据根的判别式即可判断此方程根的情况．
（2）由方程根的情况，根据根的判别式可得到关于m的取值范围，再根据题意得到关于m的方程，解方程即可求解．
【解答】解：（1）当m＝5时，原方程为x2+4x+4＝0，
∵△＝42﹣4×1×4＝0，
此方程根有两个相等的实数根．
（2）∵x1，x2是方程x2+4x＝1﹣m，即x2+4x+m﹣1＝0不相等的两实数根，且（x12+4x1）（x22+4x2）＝49，
∴△＝42﹣4×1×（m﹣1）＞0，解得m＜5
∴（1﹣m）2＝49，
解得m1＝﹣6，m2＝8（舍去）．
故m的值是﹣6．
21．（10分）如图，将▱ABCD的边DC延长到点E，使CE＝DC，连接AE，交BC于点F，连接AC、BE．
（1）求证：四边形ABEC是平行四边形；
（2）若∠AFC＝2∠ADC，求证：四边形ABEC是矩形．
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AB∥CD，AB＝CD，然后根据CE＝DC，得到AB＝EC，AB∥EC，利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”判断即可；
（2）由（1）得的结论先证得四边形ABEC是平行四边形，通过角的关系得出FA＝FE＝FB＝FC，AE＝BC，得证．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵CE＝DC，
∴AB＝EC，AB∥EC，
∴四边形ABEC是平行四边形；
（2）∵由（1）知，四边形ABEC是平行四边形，
∴FA＝FE，FB＝FC．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠D．
又∵∠AFC＝2∠ADC，
∴∠AFC＝2∠ABC．
∵∠AFC＝∠ABC+∠BAF，
∴∠ABC＝∠BAF，
∴FA＝FB，
∴FA＝FE＝FB＝FC，
∴AE＝BC，
∴四边形ABEC是矩形．
22．（12分）已知反比例函数y＝﹣．
（1）若点（﹣t+，﹣2）在此反比例函数图象上，求t的值．
（2）若点（x1，y1）和（x2，y2）是此反比例函数图象上的任意两点，
①当x1＞0，x2＞0，且x1＝x2+2时，求的值；
②当x1＞x2时，试比较y1，y2的大小．
【分析】（1）把点的坐标代入计算即可得出t的值；
（2）①将化成﹣＝﹣+＝，再根据x1＝x2+2代入求值即可，
②分三种情况，结合图形直观得出答案．
【解答】解：（1）把点（﹣t+，﹣2）代入反比例函数y＝﹣得，
（﹣t+）×（﹣2）＝﹣3，
解得，t＝1；
（2）①当x1＞0，x2＞0，且x1＝x2+2时，这两个点在第四象限，
＝﹣＝﹣+＝＝﹣；
②根据函数的图象可知，
Ⅰ）当0＞x1＞x2时，y1＞y2＞0，
Ⅱ）当x1＞0＞x2时，y1＜0＜y2，
Ⅲ）当x1＞x2＞0时，0＞y1＞y2，
23．（12分）如图①，已知正方形ABCD中，E，F分别是边AD，CD上的点（点E，F不与端点重合），且AE＝DF，BE，AF交于点P，过点C作CH⊥BE交BE于点H．
（1）求证：AF∥CH．
（2）若AB＝2，AE＝2，试求线段PH的长．
（3）如图②，连结CP并延长交AD于点Q，若点H是BP的中点，试求的值．
【分析】（1）证明△ABE≌△DAF（SAS），得出∠ABE＝∠DAF，得出∠APB＝90°，可得出结论；
（2）根据三角形ABE的面积可求出AP＝，证明△ABP≌△BCH（AAS），由全等三角形的性质得出BH＝AP＝，则PH＝BP﹣BH＝BP﹣AP，可求出答案；
（3）证得∠CBP＝∠CPB，∠QPE＝∠QEP，可得出QE＝QP＝QA，在四边形QABC中，设QP＝a，CP＝b，则AB＝BC＝b，AQ＝a，QC＝a+b，由b2+（b﹣a）2＝（a+b）2可得出a，b的关系式，则可求出答案．
【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，AB＝DA，∠EAB＝∠D＝90°，
又∵AE＝DF，
∴△ABE≌△DAF（SAS），
∴∠ABE＝∠DAF，
又∵∠DAF+∠FAB＝∠EAB＝90°，
∴∠ABE+∠FAB＝90°，
∴∠APB＝90°，
∴AF⊥BE，
又∵CH⊥BE，
∴AF∥CH；
（2）解：在正方形ABCD中，∠EAB＝90°，AB＝2，AE＝2，
∴BE＝＝＝4，
∵S△ABE＝AB•AE＝BE•AP，
∴AP＝＝，
在Rt△ABP中，BP＝＝＝3，
∵∠APB＝∠ABC＝90°，
∴∠ABP+∠HBC＝90°，∠HCB+∠HBC＝90°，
∴∠ABP＝∠HCB，
∵CH⊥BE，
∴∠HCB＝90°，
又∵AB＝BC，
∴△ABP≌△BCH（AAS），
∴BH＝AP＝，
∴PH＝BP﹣BH＝BP﹣AP＝3﹣．
（3）解：在正方形ABCD中，AB＝BC，AD∥BC，
∵CH⊥BP，PH＝BH，
∴CP＝BC，
∴∠CBP＝∠CPB，
∵∠CPB＝∠QPE，∠CBP＝∠QEP，
∴∠QPE＝∠QEP，
在Rt△APE中，∠QAP＝∠QPA，
∴QE＝QP＝QA，
在四边形QABC中，设QP＝a，CP＝b，
则AB＝BC＝b，AQ＝a，QC＝a+b，
∵DC2+DQ2＝CQ2，
∴b2+（b﹣a）2＝（a+b）2，
∴b2＝4ab，
即b＝4a，
∴＝4．
一.选择题：本题有10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（3分）下列四个几何图形中是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）二次根式中字母x的取值可以是（ ）
A． B．0 C． D．﹣1
3．（3分）已知y是关于x的反比例函数，且当x＝﹣时，y＝2．则y关于x的函数表达式为（ ）
A．y＝﹣x B．y＝﹣ C．y＝﹣x D．y＝﹣
4．（3分）如表记录了甲、乙、丙、丁四名学生近5次数学成绩的数据信息，要选择一名成绩好又发挥稳定的学生参加年级数学比赛，应该选择的是（ ）
甲
乙
丙
丁
平均数（分）
110
103
110
107
方差S2（分2）
2.5
2.5
10.3
6.5
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
5．（3分）化简，正确的是（ ）
A．2 B． C．6 D．
6．（3分）下列用配方法解方程x2﹣x﹣2＝0的四个步骤中，出现错误的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
7．（3分）如图，在▱ABCD中，E是CD上一点，BE＝BC．若∠A：∠ADC＝1：2，则∠ABE的度数是（ ）
A．70° B．65° C．60° D．55°
8．（3分）如图，一块长方形绿地的长为100m，宽为50m，在绿地中开辟两条道路后剩余绿地面积为4704m2．则根据题意可列出方程（ ）
A．5000﹣150x＝4704 B．5000﹣150x+x2＝4704
C．5000﹣150x﹣x2＝4704 D．5000﹣150x+x2＝4704
9．（3分）已知反比例函数y＝，给出下列结论：①该函数图象在一、三象限；②若x＞3，则0＜y＜l；③若点（m﹣n，），（m﹣p，）在该函数图象上，则m＞n＞p．其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
10．（3分）如图，点P，Q分别是菱形ABCD的边AD，BC上的两个动点，若线段PQ长的最大值为8，最小值为8，则菱形ABCD的边长为（ ）
A．4 B．10 C．12 D．16
二、填空题：本题有6个小题，每小题4分，共24分.
11．（4分）计算 （）2＝ ．
12．（4分）如果一个多边形的内角和等于它外角和的3倍，则这个多边形的边数是 ．
13．（4分）已知一组数据1，3，5，x，y的平均数是3，则另一组数据﹣1，1，3，x﹣2，y﹣2的平均数是 ．
14．（4分）把关于y的方程（2y﹣3）2＝y（y﹣2）化成一般形式为 ．
15．（4分）如图，已知▱OABC的顶点A，B分别在反比例函数y＝（x＞0）和y＝（x＞0）的图象上．若▱OABC的面积为6，则k＝ ．
16．（4分）如图，正方形ABCD的边长为4，E为边AD上一动点，连结BE，CE，以CE为边向右侧作正方形CEFG．
（1）若BE＝5，则正方形CEFG的面积为 ；
（2）连结DF，DG，则△DFG面积的最小值为 ．
三、解答题：本题有7小题，共66分.解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．（6分）计算：
（1）；
（2）×．
18．（8分）在抗击“新冠肺炎疫情”的日子里，某校积极开展“停课不停学”的线上教学活动．为了解全校1200名学生一周内平均每天在家进行体育锻炼时间的情况，随机调查了该校100名学生一周内平均每天在家进行体育锻炼时间的情况，结果如表：
时间（分）
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
人数
16
24
14
10
8
6
8
4
6
4
完成下列问题：
（1）根据统计表信息，写出这100名学生一周内平均每天在家体育锻炼时间的中位数和众数．
（2）请估计该校一周内平均每天在家体育锻炼时间不少于35分钟的学生大约有多少人？
19．（8分）选用适当的方法解下列方程：
（1）（x﹣2）2＝4．
（2）2a2﹣5＝3a．
20．（10分）已知关于x的一元二次方程x2+4x＝1﹣m．
（1）当m＝5时，试判断此方程根的情况．
（2）若x1，x2是该方程不相等的两实数根，且（x12+4x1）（x22+4x2）＝49，求m的值．
21．（10分）如图，将▱ABCD的边DC延长到点E，使CE＝DC，连接AE，交BC于点F，连接AC、BE．
（1）求证：四边形ABEC是平行四边形；
（2）若∠AFC＝2∠ADC，求证：四边形ABEC是矩形．
22．（12分）已知反比例函数y＝﹣．
（1）若点（﹣t+，﹣2）在此反比例函数图象上，求t的值．
（2）若点（x1，y1）和（x2，y2）是此反比例函数图象上的任意两点，
①当x1＞0，x2＞0，且x1＝x2+2时，求的值；
②当x1＞x2时，试比较y1，y2的大小．
23．（12分）如图①，已知正方形ABCD中，E，F分别是边AD，CD上的点（点E，F不与端点重合），且AE＝DF，BE，AF交于点P，过点C作CH⊥BE交BE于点H．
（1）求证：AF∥CH．
（2）若AB＝2，AE＝2，试求线段PH的长．
（3）如图②，连结CP并延长交AD于点Q，若点H是BP的中点，试求的值．
2019-2020学年浙江省杭州市萧山区八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题：本题有10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（3分）下列四个几何图形中是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：C．
2．（3分）二次根式中字母x的取值可以是（ ）
A． B．0 C． D．﹣1
【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
【解答】解：根据题意得：x﹣1≥0，
解得x≥1，
只有选项A符合题意．
故选：A．
3．（3分）已知y是关于x的反比例函数，且当x＝﹣时，y＝2．则y关于x的函数表达式为（ ）
A．y＝﹣x B．y＝﹣ C．y＝﹣x D．y＝﹣
【分析】函数经过一定点（﹣，2），将此点坐标代入函数解析式y＝（k≠0）即可求得k的值．
【解答】解：设y关于x的函数表达式为y＝（k≠0），
将x＝﹣，y＝2代入，得2＝．
解得k＝﹣1．
所以该函数表达式是：y＝﹣．
故选：B．
4．（3分）如表记录了甲、乙、丙、丁四名学生近5次数学成绩的数据信息，要选择一名成绩好又发挥稳定的学生参加年级数学比赛，应该选择的是（ ）
甲
乙
丙
丁
平均数（分）
110
103
110
107
方差S2（分2）
2.5
2.5
10.3
6.5
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的参加年级数学比赛．
【解答】解：∵乙和丁的平均数较小，
∴从甲和丙中选择一人参加年级数学比赛，
∵甲的方差较小，
∴选择甲参加比赛，
故选：A．
5．（3分）化简，正确的是（ ）
A．2 B． C．6 D．
【分析】原式化简得到结果，即可作出判断．
【解答】解：＝＝．
故选：D．
6．（3分）下列用配方法解方程x2﹣x﹣2＝0的四个步骤中，出现错误的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【分析】观察题中解方程的步骤，找出错误的即可．
【解答】解：解方程x2﹣x﹣2＝0，
去分母得：x2﹣2x﹣4＝0，即x2﹣2x＝4，
配方得：x2﹣2x+1＝5，即（x﹣1）2＝5，
开方得：x﹣1＝±，
解得：x＝1±，
则四个步骤中出现错误的是④．
故选：D．
7．（3分）如图，在▱ABCD中，E是CD上一点，BE＝BC．若∠A：∠ADC＝1：2，则∠ABE的度数是（ ）
A．70° B．65° C．60° D．55°
【分析】根据平行四边形的性质和∠A：∠ADC＝1：2，可以得到∠A的度数，从而可以得到∠C的度数，然后根据BE＝BC，可以判断△BCE的形状，再根据平行线的性质，可以得到∠ABE和∠BEC的关系，从而可以得到∠ABE的度数．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A+∠ADC＝180°，∠A＝∠C，
∵∠A：∠ADC＝1：2，
∴∠A＝60°，∠ADC＝120°，
∴∠C＝60°，
∵BE＝BC，
∴△BCE是等边三角形，
∴∠BEC＝60°，
∵DC∥AB，
∴∠BEC＝∠ABE，
∴∠ABE＝60°，
故选：C．
8．（3分）如图，一块长方形绿地的长为100m，宽为50m，在绿地中开辟两条道路后剩余绿地面积为4704m2．则根据题意可列出方程（ ）
A．5000﹣150x＝4704 B．5000﹣150x+x2＝4704
C．5000﹣150x﹣x2＝4704 D．5000﹣150x+x2＝4704
【分析】由在绿地中开辟两条道路后剩余绿地面积为4704m2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：依题意，得：100×50﹣（100+50）x+x2＝4704，
即5000﹣150x+x2＝4704．
故选：B．
9．（3分）已知反比例函数y＝，给出下列结论：①该函数图象在一、三象限；②若x＞3，则0＜y＜l；③若点（m﹣n，），（m﹣p，）在该函数图象上，则m＞n＞p．其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【分析】根据反比例函数的性质判断即可．
【解答】解：∵反比例函数y＝中，k＝3＞0，函数图象在一、三象限，故①正确；
∵当x＝3时，y＝1，
∴若x＞3，则0＜y＜l，故②正确；
∵点（m﹣n，），（m﹣p，）在该函数图象上，
∴点（m﹣n，），（m﹣p，）在第一象限，
∵＞，
∴0＜m﹣n＜m﹣p，
∴m＞n＞p，故③正确；
故选：D．
10．（3分）如图，点P，Q分别是菱形ABCD的边AD，BC上的两个动点，若线段PQ长的最大值为8，最小值为8，则菱形ABCD的边长为（ ）
A．4 B．10 C．12 D．16
【分析】过点C作CH⊥AB，交AB的延长线于H，由题意可得当点P与点A重合，点Q与点C重合时，PQ有最大值，即AC＝8，当PQ⊥BC时，PQ有最小值，即直线AC，直线BD的距离为8，由面积法可求CH＝8，由勾股定理可求解．
【解答】解：如图，过点C作CH⊥AB，交AB的延长线于H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB＝BC，
∵点P，Q分别是菱形ABCD的边AD，BC上的两个动点，
∴当点P与点A重合，点Q与点C重合时，PQ有最大值，即AC＝8，
当PQ⊥BC时，PQ有最小值，即直线AD，直线BC的距离为8，
∵S菱形ABCD＝AD×8＝AB×CH，
∴CH＝8，
∴AH＝＝＝16，
∵BC2＝CH2+BH2，
∴BC2＝（16﹣BC）2+64，
∴BC＝10，
故选：B．
二、填空题：本题有6个小题，每小题4分，共24分.
11．（4分）计算 （）2＝ 2 ．
【分析】直接计算即可．
【解答】解：原式＝2．
故答案是2．
12．（4分）如果一个多边形的内角和等于它外角和的3倍，则这个多边形的边数是 8 ．
【分析】根据多边形的内角和公式及外角的特征计算．
【解答】解：多边形的外角和是360°，根据题意得：
180°•（n﹣2）＝3×360°
解得n＝8．
故答案为：8．
13．（4分）已知一组数据1，3，5，x，y的平均数是3，则另一组数据﹣1，1，3，x﹣2，y﹣2的平均数是 1 ．
【分析】平均数的计算方法是求出所有数据的和，然后除以数据的总个数．先求数据x与y的和，然后用平均数的定义求新数据的平均数．
【解答】解：∵一组数据1，3，5，x，y的平均数是3，
∴1+3+5+x+y＝15，
∴x+y＝6，
∴另一组数据﹣1，1，3，x﹣2，y﹣2的平均数是（﹣1+1+3+x﹣2+y﹣2）＝（x+y﹣1）＝1．
故答案为：1．
14．（4分）把关于y的方程（2y﹣3）2＝y（y﹣2）化成一般形式为 3y2﹣10y+9＝0 ．
【分析】依次去括号、移项、合并同类项可得答案．
【解答】解：∵（2y﹣3）2＝y（y﹣2），
∴4y2﹣12y+9＝y2﹣2y，
∴4y2﹣12y+9﹣y2+2y＝0，
∴3y2﹣10y+9＝0，
故答案为：3y2﹣10y+9＝0．
15．（4分）如图，已知▱OABC的顶点A，B分别在反比例函数y＝（x＞0）和y＝（x＞0）的图象上．若▱OABC的面积为6，则k＝ 3 ．
【分析】由平行四边形的性质得AB∥x轴，可设A、B的纵坐标为m，用m表示A、B的横坐标，进而求得AB，根据平行四边形的面积公式列出方程，便可求得k的值．
【解答】解：设A（），
∵四边形OABC是平行四边形，
∴AB∥x轴，
∴B（），
∴AB＝，
∵▱OABC的面积为6，
∴AB•m＝6，即，
∴k＝3，
故答案为：3．
16．（4分）如图，正方形ABCD的边长为4，E为边AD上一动点，连结BE，CE，以CE为边向右侧作正方形CEFG．
（1）若BE＝5，则正方形CEFG的面积为 17 ；
（2）连结DF，DG，则△DFG面积的最小值为 6 ．
【分析】（1）利用勾股定理求出EC2即可解决问题．
（2）连接DF，DG．设DE＝x，则CE＝，根据S△DEC+S△DFC＝S正方形ECGF根据函数关系式，利用二次函数的性质求解即可．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝4，∠A＝∠ADC＝90°，
∵BE＝5，
∴AE＝＝＝3，
∴DE＝AD﹣AE＝4﹣3＝1，
∴EC2＝DE2+CD2＝12+42＝17，
∴正方形CEFG的面积＝EC2＝17．
故答案为17．
（2）连接DF，DG．设DE＝x，则CE＝，
∵S△DEC+S△DFC＝S正方形ECGF，
∴S△DFG＝（x2+16）﹣×x×4＝x2﹣2x+8＝（x﹣2）2+6，
∵＞0，
∴x＝2时，△DFC的面积的最小值为6．
故答案为6．
三、解答题：本题有7小题，共66分.解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．（6分）计算：
（1）；
（2）×．
【分析】（1）先化成最简二次根式，再根据二次根式加减法则进行计算即可；
（2）先根据二次根式的性质和二次根式的乘法法则进行计算，再算加法即可．
【解答】解：（1）﹣
＝3﹣2
＝；
（2）+2×
＝3+2
＝5．
18．（8分）在抗击“新冠肺炎疫情”的日子里，某校积极开展“停课不停学”的线上教学活动．为了解全校1200名学生一周内平均每天在家进行体育锻炼时间的情况，随机调查了该校100名学生一周内平均每天在家进行体育锻炼时间的情况，结果如表：
时间（分）
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
人数
16
24
14
10
8
6
8
4
6
4
完成下列问题：
（1）根据统计表信息，写出这100名学生一周内平均每天在家体育锻炼时间的中位数和众数．
（2）请估计该校一周内平均每天在家体育锻炼时间不少于35分钟的学生大约有多少人？
【分析】（1）找出表格中按大小次序排好后位于中间的数和出现次数最多的数即可求解．
（2）借助表格查找时间不少于35分钟的学生的人数，除以样本容量，然后乘全校人数即可求解．
【解答】解：（1）由表格知，中位数是25，众数是20．
（2）×1200＝432（人）．
故估计该校一周内平均每天在家体育锻炼时间不少于35分钟的学生大约有432人．
19．（8分）选用适当的方法解下列方程：
（1）（x﹣2）2＝4．
（2）2a2﹣5＝3a．
【分析】（1）两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：（1）（x﹣2）2＝4，
开方得：x﹣2＝±2，
解得：x1＝4，x2＝0；
（2）移项得：2a2﹣3a﹣5＝0，
（2a﹣5）（a+1）＝0，
2a﹣5＝0，a+1＝0，
解得：a1＝2.5，a2＝﹣1．
20．（10分）已知关于x的一元二次方程x2+4x＝1﹣m．
（1）当m＝5时，试判断此方程根的情况．
（2）若x1，x2是该方程不相等的两实数根，且（x12+4x1）（x22+4x2）＝49，求m的值．
【分析】（1）把m＝5代入方程，再根据根的判别式即可判断此方程根的情况．
（2）由方程根的情况，根据根的判别式可得到关于m的取值范围，再根据题意得到关于m的方程，解方程即可求解．
【解答】解：（1）当m＝5时，原方程为x2+4x+4＝0，
∵△＝42﹣4×1×4＝0，
此方程根有两个相等的实数根．
（2）∵x1，x2是方程x2+4x＝1﹣m，即x2+4x+m﹣1＝0不相等的两实数根，且（x12+4x1）（x22+4x2）＝49，
∴△＝42﹣4×1×（m﹣1）＞0，解得m＜5
∴（1﹣m）2＝49，
解得m1＝﹣6，m2＝8（舍去）．
故m的值是﹣6．
21．（10分）如图，将▱ABCD的边DC延长到点E，使CE＝DC，连接AE，交BC于点F，连接AC、BE．
（1）求证：四边形ABEC是平行四边形；
（2）若∠AFC＝2∠ADC，求证：四边形ABEC是矩形．
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AB∥CD，AB＝CD，然后根据CE＝DC，得到AB＝EC，AB∥EC，利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”判断即可；
（2）由（1）得的结论先证得四边形ABEC是平行四边形，通过角的关系得出FA＝FE＝FB＝FC，AE＝BC，得证．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵CE＝DC，
∴AB＝EC，AB∥EC，
∴四边形ABEC是平行四边形；
（2）∵由（1）知，四边形ABEC是平行四边形，
∴FA＝FE，FB＝FC．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠D．
又∵∠AFC＝2∠ADC，
∴∠AFC＝2∠ABC．
∵∠AFC＝∠ABC+∠BAF，
∴∠ABC＝∠BAF，
∴FA＝FB，
∴FA＝FE＝FB＝FC，
∴AE＝BC，
∴四边形ABEC是矩形．
22．（12分）已知反比例函数y＝﹣．
（1）若点（﹣t+，﹣2）在此反比例函数图象上，求t的值．
（2）若点（x1，y1）和（x2，y2）是此反比例函数图象上的任意两点，
①当x1＞0，x2＞0，且x1＝x2+2时，求的值；
②当x1＞x2时，试比较y1，y2的大小．
【分析】（1）把点的坐标代入计算即可得出t的值；
（2）①将化成﹣＝﹣+＝，再根据x1＝x2+2代入求值即可，
②分三种情况，结合图形直观得出答案．
【解答】解：（1）把点（﹣t+，﹣2）代入反比例函数y＝﹣得，
（﹣t+）×（﹣2）＝﹣3，
解得，t＝1；
（2）①当x1＞0，x2＞0，且x1＝x2+2时，这两个点在第四象限，
＝﹣＝﹣+＝＝﹣；
②根据函数的图象可知，
Ⅰ）当0＞x1＞x2时，y1＞y2＞0，
Ⅱ）当x1＞0＞x2时，y1＜0＜y2，
Ⅲ）当x1＞x2＞0时，0＞y1＞y2，
23．（12分）如图①，已知正方形ABCD中，E，F分别是边AD，CD上的点（点E，F不与端点重合），且AE＝DF，BE，AF交于点P，过点C作CH⊥BE交BE于点H．
（1）求证：AF∥CH．
（2）若AB＝2，AE＝2，试求线段PH的长．
（3）如图②，连结CP并延长交AD于点Q，若点H是BP的中点，试求的值．
【分析】（1）证明△ABE≌△DAF（SAS），得出∠ABE＝∠DAF，得出∠APB＝90°，可得出结论；
（2）根据三角形ABE的面积可求出AP＝，证明△ABP≌△BCH（AAS），由全等三角形的性质得出BH＝AP＝，则PH＝BP﹣BH＝BP﹣AP，可求出答案；
（3）证得∠CBP＝∠CPB，∠QPE＝∠QEP，可得出QE＝QP＝QA，在四边形QABC中，设QP＝a，CP＝b，则AB＝BC＝b，AQ＝a，QC＝a+b，由b2+（b﹣a）2＝（a+b）2可得出a，b的关系式，则可求出答案．
【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，AB＝DA，∠EAB＝∠D＝90°，
又∵AE＝DF，
∴△ABE≌△DAF（SAS），
∴∠ABE＝∠DAF，
又∵∠DAF+∠FAB＝∠EAB＝90°，
∴∠ABE+∠FAB＝90°，
∴∠APB＝90°，
∴AF⊥BE，
又∵CH⊥BE，
∴AF∥CH；
（2）解：在正方形ABCD中，∠EAB＝90°，AB＝2，AE＝2，
∴BE＝＝＝4，
∵S△ABE＝AB•AE＝BE•AP，
∴AP＝＝，
在Rt△ABP中，BP＝＝＝3，
∵∠APB＝∠ABC＝90°，
∴∠ABP+∠HBC＝90°，∠HCB+∠HBC＝90°，
∴∠ABP＝∠HCB，
∵CH⊥BE，
∴∠HCB＝90°，
又∵AB＝BC，
∴△ABP≌△BCH（AAS），
∴BH＝AP＝，
∴PH＝BP﹣BH＝BP﹣AP＝3﹣．
（3）解：在正方形ABCD中，AB＝BC，AD∥BC，
∵CH⊥BP，PH＝BH，
∴CP＝BC，
∴∠CBP＝∠CPB，
∵∠CPB＝∠QPE，∠CBP＝∠QEP，
∴∠QPE＝∠QEP，
在Rt△APE中，∠QAP＝∠QPA，
∴QE＝QP＝QA，
在四边形QABC中，设QP＝a，CP＝b，
则AB＝BC＝b，AQ＝a，QC＝a+b，
∵DC2+DQ2＝CQ2，
∴b2+（b﹣a）2＝（a+b）2，
∴b2＝4ab，
即b＝4a，
∴＝4．
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