浙江省2021届高三上学期9月百校联考 数学（含答案） 试卷
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数学试题
注意事项：
1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答．答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、学号、姓名;
2．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页，全卷满分150分，考试时间120分钟．
参考公式： | |
球的表面积公式 S=4πR2 球的体积公式 V=πR3 其中R表示球的半径 锥体的体积公式 V=Sh 其中S表示锥体的底面积, h表示锥体的高 | 柱体的体积公式 V=Sh 其中S表示柱体的底面积, h表示柱体的高 台体的体积公式 其中S1, S2分别表示台体的上、下底面积, h表示台体的高
|
第Ⅰ卷（共40分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．复数（为虚数单位）的虚部为（ ）
A． B． C． D．
3．若实数，满足约束条件，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．函数的部分图象是( )
A． B． C． D．
5．一个空间几何体的三视图(单位：)如
图所示，则该几何体的体积为（ ）．
A． B．
C． D．
6．“空间三个平面，，两两相交”是“三个平面三条交线互相平行”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．已知，且，设，，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知点是双曲线右支上一点，是双曲线的左焦点，且双曲线的一条渐近线恰是线段的中垂线，则该双曲线的渐近线方程是( )
A． B. C. D.
9．已知数列，，，，n∈N*，则 （ ）
A． B. C. D.
10．已知向量，，，，，则（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（共110分）
二、填空题 (本大题共7小题，单空每题3分，双空每题6分，共36分)
11．已知数列中,,且点在抛物线上,则数列的前4项和是 ．
12．二项式的展开式中,常数项为_____，若，则等于______．
13．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合,终边经过点,则_____,_______．
14．在棱长为2的正方体中,点分别是棱的中点,过点的平面截正方体所得的平面多边形的周长为________，该截面与底面所成锐二面角的正切值为_______．
15．在一袋中有个大小相同的球,其中记上的有个，记上号的有个(＝，，，)，现从袋中任取一球，表示所取球的标号，则______，若，且，则_____．
16．已知函数有两个零点为和，则实数的范围是
▲ ．
17．已知函数，，设的最大值为，若时，则的取值范围为 ▲ ．
三、解答题 (本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算过程)
18．(本小题满分14分)
在中，内角，，所对的边分别为，，，且．
（I）求角的大小；
（II）设点是的中点，若,求的取值范围．
19． (本小题满分15分)
如图，平面平面，且菱形与菱形全等，且，为中点.
（I）求证：平面平面；
（II）求直线与平面的所成角的正弦值.
20． (本小题满分15分)
已知等比数列的公比，且，是，的等差中项.
（I）求数列的通项公式；
（II）证明：，设的前项的和为，求证：.
21．(本小题满分15分)
设抛物线的焦点为，点到抛物线准线的距离为，若椭圆的右焦点也为，离心率为.
（I）求抛物线方程和椭圆方程；
（II）若不经过的直线与抛物线交于两点，且(为坐标原点)，直线与椭圆交于两点，求面积的最大值.
22．(本小题满分15分)
已知函数.
（I）若在有两个零点，求的取值范围；
（II），证明：存在唯一的极大值点，且.
2020～2021学年金色联盟-浙江省百校联考
数学试卷
注意事项：
1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答．答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、学号、姓名;
2．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页，全卷满分150分，考试时间120分钟．
参考公式： | |
球的表面积公式 S=4πR2 球的体积公式 V=πR3 其中R表示球的半径 锥体的体积公式 V=Sh 其中S表示锥体的底面积, h表示锥体的高 | 柱体的体积公式 V=Sh 其中S表示柱体的底面积, h表示柱体的高 台体的体积公式 其中S1, S2分别表示台体的上、下底面积, h表示台体的高
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一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
答案 | C | C | A | D | A | B | A | D | C | B |
提示：
8. D 解：如图所示，因双曲线线的渐近线为，
对于，直线：，
由原点到直线：的距离得，因此，
则根据几何图形的性质可得，
根据双曲线的定义得，
因此可得，则双曲线的线近线为．
9．C 解：因，，
10．B 解：由
，则
；
则问题转化为四边形中，
二、填空题 (本大题共7小题，单空每题4分，双空每题6分，共36分)
11． 12．； 13．； 14．，
15．； 16． 17．
提示：
16． 解：令，
则，，因，又，则，
可得，则，即
17． 解：
，由题意得的含义即：存在，对于任意的，的最小值为1，由于在数轴上的点和点之间的距离恰为2，因此要使得的最小值为1，则必有且，解得.
三、解答题 (本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算过程)
18．解：（I）在中，
由正弦定理，可得，
又由，可得，
即，………………………………………………………………… 3分
即，可得，
又因为，所以． …………………………………………………… 7分
（II）法一：如图，延长到，满足，连接，
则为平行四边形，且，
在中，由余弦定理得，
即，可得，即，……………… 10分
由基本不等式得：，
即，即，可得
（当且仅当取等号号） ……………………………………… 12分
又由，即，
故的取值范围是 .………………………………………………………… 14分
法二：也可以用中线向量+基本不等式解决，酌情给分.
19．解：（I）连接交于，连接，易知.因为平面，平面，所以平面. ………………………… 3分
又，同理可证平面.
又因为，所以平面平面. ………………………… 7分
（II）（几何法）连接，由菱形与菱形全等且，
可得出，.
所以，又平面平面且相交于，所以平面.
由，又且，所以平面，
平面平面，
过作，所以平面，
连接，由,所以即为直线与平面的所成角. ……… 10分
由（I）平面平面,
即为直线与平面的所成角. ……………… 12分
由条件有，.
在直角三角形中，，所以，则
所以，又在直角三角形,,所以
易知，所以.
则直线与平面的所成角的正弦值为． ………………………15分
（II）（坐标法）连接，由菱形与菱形全等且，
可得出，.
所以，又平面平面且相交于，所以平面.
则可以以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，令，则，，，，， ……… 10分
设平面的法向量为，则由得
则可令，得，，平面的法向量为， ………… 12分
设直线与平面的所成角为，，
则直线与平面的所成角的正弦值为． ……………… 15分
20. 解：（1）由是，的等差中项得，
所以，解得， ……………………………3分
由，得，解得或，
因为，所以. ………………………………6分
所以. …………………………………7分
（Ⅱ）先证右边，
………………………………11分
又有， ………………………………15分
21．解：(Ⅰ)由已知得，，，
所以抛物线方程为，椭圆方程为. ………………5分
(Ⅱ)设直线方程为：，
由消去得，，
设，则
因为 ……………7分
所以或(舍去)，所以直线方程为：. …………9分
由消去得，.
设，则 ……………11分
所以
. ……………13分
令，则，
所以，
当且仅当时，即时，取最大值. ………………15分
22．证明：（I）设函数．
在有两个零点当且仅当在有两个零点．
（i）当时，，没有零点；
（ii）当时，．
当时，；当时，．
所以在单调递减，在单调递增．
故是在的最小值．
①若，即，在没有零点；
②若，即，在只有一个零点；
③若，即，由于，所以在有一个零点，
当时，易证 ，所以．
故在也有一个零点，因此在有两个零点．
综上，在有两个零点时，．
注：采用分离参数进行求解也可以
（II）证明：，
故，令，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
，，，
由零点存在性定理及的单调性知，
方程在有唯一根，
设为且，从而有两个零点和，
所以在单调递增，在上单调递减，在单调递增，
从而存在唯一的极大值点即证，
由得，，
取等不成立，所以得证，
又，在单调递增，
所以得证.
从而.
