人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.4 圆的方程精练

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思维导图





新课标要求


回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程





知识梳理


一、 圆的定义及圆的标准方程


1．圆的定义


平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆．


其中定点是圆的圆心；定长是圆的半径．


2．圆的标准方程[来





二、 点与圆的位置关系


点与圆有三种位置关系，即点在圆外、点在圆上、点在圆内．判断点与圆的位置关系有两种方法：


(1)几何法：将所给的点M与圆心C的距离跟半径r比较：


若|CM|＝r，则点M在圆上；


若|CM|>r，则点M在圆外；


若|CM|

(2)代数法：可利用圆C的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2来确定：


点M(m，n)在圆C上⇔(m－a)2＋(n－b)2＝r2；


点M(m，n)在圆C外⇔(m－a)2＋(n－b)2>r2；


点M(m，n)在圆C内⇔(m－a)2＋(n－b)2

三、 圆的一般方程的定义


1．当D2＋E2－4F>0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程，其圆心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，半径为eq \f(\r(D2＋E2－4F),2)．


2．当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))．


3．当D2＋E2－4F<0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0不表示任何图形．


四、 由圆的一般方程判断点与圆的位置关系


已知点M(x0，y0)和圆的方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)．则其位置关系如下表：





名师导学


知识点1 求圆的标准方程


【例1－1】 已知圆过两点A(3，1)，B(－1，3)，且它的圆心在直线3x－y－2＝0上，求此圆的标准方程．














【例1－2】 △ABC的三个顶点分别为A(0，5)，B(1，－2)，C(－3，－4)，求其外接圆的标准方程．

















【变式训练1-1】圆心为(1，1)且过原点的圆的标准方程是( )


A．(x－1)2＋(y－1)2＝1


B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1


C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2


D．(x－1)2＋(y－1)2＝2





知识点2 点与圆的位置关系的判断


【例2-1】已知点A(1，2)不在圆C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2的内部，求实数a的取值范围．














【变式训练2-1】已知a，b是方程x2－x－eq \r(2)＝0的两个不等的实数根，则点P(a，b)与圆C：x2＋y2＝8的位置关系是( )


A．点P在圆C内 B．点P在圆C外


C．点P在圆C上 D．无法确定





知识点3 与圆有关的最值问题


【例3-1】已知圆心在x轴上的圆C与x轴交于两点A(1，0)，B(5，0)，


(1)求此圆的标准方程；


(2)设P(x，y)为圆C上任意一点，求P(x，y)到直线x－y＋1＝0的距离的最大值和最小值．























【变式训练3-1】已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，点A(0，－1)，B(0，1)，设P是圆C上的动点，令d＝|PA|2＋|PB|2，求d的最大值及最小值．

















知识点4 圆的一般方程的概念


【例4-1】若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求实数m的取值范围，并写出圆心坐标和半径．

















【变式训练4-1】(1)若方程2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)表示圆，则圆心坐标和半径分别为________；


(2)点M，N在圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且点M，N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的面积为________．





知识点5 求圆的一般方程


【例5-1】已知A(2，2)，B(5，3)，C(3，－1)，求△ABC外接圆的方程．


























【变式训练5-1】已知圆经过点(4，2)和(－2，－6)，该圆与坐标轴的四个截距之和为－2，求圆的方程．




















知识点6 求动点的轨迹方程


【例6-1】求到点O(0，0)的距离是到点A(3，0)的距离的eq \f(1,2)的点的轨迹方程．














【例6-2】已知点P在圆C：x2＋y2－8x－6y＋21＝0上运动，求线段OP的中点M的轨迹方程．




















【例6-3】已知直角△ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0)，求直角顶点C的轨迹方程．























【变式训练6-1】如图，已知线段AB的中点C的坐标是(4，3)，端点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，求线段AB的端点B的轨迹．

















名师导练


2.4.1 圆的标准方程


A组-[应知应会]


1．圆(x－1)2＋(y＋eq \r(3))2＝1的圆心坐标是( )


A．(1，eq \r(3)) B．(－1，eq \r(3))


C．(1，－eq \r(3)) D．(－1，－eq \r(3))


2．圆心是O(－3，4)，半径长为5的圆的方程为( )


A．(x－3)2＋(y＋4)2＝5


B．(x－3)2＋(y＋4)2＝25


C．(x＋3)2＋(y－4)2＝5


D．(x＋3)2＋(y－4)2＝25


3．圆心在y轴上且过点(3，1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是( )


A．x2＋y2＋10y＝0 B．x2＋y2－10y＝0


C．x2＋y2＋10x＝0 D．x2＋y2－10x＝0


4．已知A(－1，4)，B(5，－4)，则以AB为直径的圆的标准方程是________．


5．与圆(x－2)2＋(y＋3)2＝16有公共圆心，且过点P(－1，1)的圆的标准方程是________．


6．求过点A(1，2)和B(1，10)且与直线x－2y－1＝0相切的圆的方程．











7．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴相切，求该圆的标准方程．














B组-[素养提升]


8．若实数x，y满足(x＋5)2＋(y－12)2＝142，则x2＋y2的最小值为( )


A．2 B．1 C.eq \r(3) D.eq \r(2)


9．已知一圆的圆心为点A(2，－3)，一条直径的端点分别在x轴和y轴上，则圆的方程是( )


A．(x＋2)2＋(y－3)2＝13 B．(x－2)2＋(y＋3)2＝13


C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52 D．(x＋2)2＋(y－3)2＝52


10．圆C的半径为1，圆心在第一象限，与y轴相切，与x轴相交于点A，B，若|AB|＝eq \r(3)，则该圆的标准方程是________．[K]


11．圆(x－1)2＋(y－1)2＝1上的点到直线x－y＝2的距离的最大值是________．


12．已知x，y满足(x－1)2＋y2＝1，求S＝eq \r(x2＋y2＋2x－2y＋2)的最小值．











源:学&科&网Z&X&X&K]


13．一个等腰三角形ABC底边上的高等于4，底边两端点的坐标分别是B(－3，0)和C(3，0)，求它的外接圆的方程．

















2.4.2 圆的一般方程


A组-[应知应会]


1．已知ab<0，bc<0，则直线ax＋by＝c通过( )


A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限


C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限


2．过点(1，0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是( )


A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0


C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0


3．若直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0互相垂直，则实数m等于( )


A．－1 B．1C.eq \f(1,2) D．－eq \f(1,2)


4．若直线ax＋2y＋1＝0与直线x＋y－2＝0互相平行，那么a的值等于________．


5．已知过点A(－2，m)，B(m，4)的直线与直线2x＋y－1＝0互相垂直，则m＝________．


6．若方程(m2－3m＋2)x＋(m－2)y－2m＋5＝0表示直线．


(1)求实数m需满足的条件；


(2)若该直线的斜率k＝1，求实数m的值．

















7．(1)已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，求m的值；


(2)当a为何值时，直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直？














B组-[素养提升]


8．直线l1：ax－y＋b＝0，l2：bx－y＋a＝0(a≠0，b≠0，a≠b)在同一坐标系中的图形大致是( )





9．直线(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5m＝0的倾斜角45°，则m的值为( )


A．－2 B．2 C．－3 D．3


10．已知两条直线a1x＋b1y＋4＝0和a2x＋b2y＋4＝0都过点A(2，3)，则过两点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)的直线方程为________________．


11．若三条直线x＋y＝0，x－y＝0，x＋ay＝3能构成三角形，则a满足的条件是________．


12．已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0.


(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；


(2)为使直线不经过第二象限，求a的取值范围．




















13．已知平面内两点A(8，－6)，B(2，2)．


(1)求AB的中垂线方程；


(2)求过点P(2，－3)且与直线AB平行的直线l的方程；


(3)一束光线从B点射向(2)中的直线l，若反射光线过点A，求反射光线所在直线的方程．


位置关系
代数关系
点M在圆外
xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F>0
点M在圆上
xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F＝0
点M在圆内
xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F<0