北师大版 (2019)必修 第一册1.1 集合的概念与表示第1课时学案设计

这是一份北师大版 (2019)必修 第一册1.1 集合的概念与表示第1课时学案设计，共17页。学案主要包含了教学目标，知识清单，基础过关，经典例题，能力提升，参考答案等内容，欢迎下载使用。

第1课时 集合的概念


【教学目标】


重点、难点及易混点


1.了解集合的含义，体会元素与集合的从属关系．(重点)


2.理解并掌握集合中元素的三个特性．(重点)


3.掌握常见数集的表示符号．(重点).


4、元素与集合之间符号的用法．(易混点)


学科素养


1.通过集合与元素的概念的学习，培养数学抽象素养.


2.通过元素与集合间的关系的研究，培养数学运算素养.


【知识清单】


1．集合与元素的概念


阅读教材，完成下列问题．


(1)集合：一般地， 称为集合．集合常用大写字母A，B，C，D，…标记．


(2)元素：集合中的 叫作这个集合的元素．常用小写字母a，b，c，d，…表示集合中的元素．


2．元素与集合的关系





常用数集及表示符号











注意：实数集不能表示为{x|x为所有实数}或{}，因为“{ }”包含“所有”“全体”的含义.


集合中元素的特性


（1）确定性


集合中的元素必须是 ，即一个集合一旦确定，某一个元素要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否能构成集合.


互异性


集合中的元素必须是 ．对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．这个特性通常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中的未知元素.


（3）无序性


集合与其中元素的排列顺序无关，如a，b，c组成的集合与b，c，a组成的集合是相同的集合．这个特性通常被用来判断两个集合的关系.





【基础过关】


1、下列各组对象能组成一个集合的是( )


①某中学高一年级所有聪明的学生;


②在平面直角坐标系中,所有横坐标与纵坐标相等的点;


③所有不小于3的正整数;


④3的所有近似值.


A.①②B.③④C.②③D.①③


2、用“∈”或“∉”填空：


-2___N；20____Z；eq \r(2)____Q；0____N*；π____R.


【经典例题】


题型一 集合的概念


【例1】 下列每组对象能否构成一个集合：


（1）我们班的所有“帅男”；


（2）不超过20的非负数；


（3）直角坐标平面内第一象限的一些点；


（4）eq \r(3)的近似值的全体．


题型二 元素与集合的关系


例2已知集合A含有两个元素a和a2，若1∈A，则实数a的值为________.











变式一．(变条件)若去掉本例中的条件“1∈A”，则实数a的取值范围是什么？








变式二．(变条件)若将本例中的“1∈A”改为“2∈A”，则a为何值？








变式三．(变条件)若由a和a2构成的集合只有一个元素，则a为何值？


例3、集合A中的元素x满足eq \f(6,3－x)∈N，x∈N，则集合A中的元素为________．











[课堂达标]


1、判断正误


(1)著名的数学家能构成一个集合．( )


(2)－1∈N.( )


(3)若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0，1．( )


2、下列所给关系正确的个数是( )


①π∈R；②eq \r(3)∉Q；③0∈N*；④|－4|∉N*.


A．1 B．2 C．3 D．4


3、下列几组对象可以构成集合的是（ ）


A．充分接近3的实数的全体B．善良的人


C．所有聪明的人D．某班身高超过1.7m的男生


4、下列说法正确的是（ ）


A．我校爱好足球的同学组成一个集合


B．是不大于3的自然数组成的集合


C．集合和表示同一集合


D．数1，0，5，，，， 组成的集合有7个元素


5、下列说法中正确的是( )


A．联合国所有常任理事国组成一个集合


B．衡水中学年龄较小的学生组成一个集合


C．{1，2，3}与{2，1，3}是不同的集合


D．由1，0，5，1，2，5组成的集合有六个元素


6、下面四个命题正确的是（ ）


A．10以内的质数集合是{1，3，5，7}


B．0与{0}表示同一个集合.


C．方程x2－4x＋4＝0的解集是{2，2}


D．由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}


【能力提升】


1、考察下列每组对象，能组成一个集合的是（ ）


①某高中高一年级聪明的学生 ②直角坐标系中横、纵坐标相等的点


③不小于3的正整数 ④的近似值．


A．B．C．D．


2、若﹣1∈{2，a2﹣a﹣1，a2+1}，则a＝（ ）


A．﹣1B．0C．1D．0 或1


3、设集合A只含有一个元素a，则下列各式正确的是( )


A．0∈AB．aAC．a∈AD．a＝A


4、已知集合，，若，则等于（ ）


A．或3B．0或C．3D．


5、用符号“”或“”填空：


0______N；______N；0.5______Z；______Z；______Q；______R.


6、已知集合A={x，，1}，B={x2，x+y，0}，若A=B，则x2017+y2018=______．


7、已知集合A有三个元素：a－3，2a－1，a2＋1，集合B也有三个元素：0，1，x.


（1）若－3∈A，求a的值；


（2）若x2∈B，求实数x的值；


（3）是否存在实数a，x，使A＝B．














8、已知集合，，若.


（1）求实数的值；


（2）如果集合是集合的列举表示法，求实数的值.























9、已知集合满足条件：若，则．若，试把集合中的所有元素都求出来．









































【参考答案】


【知识清单】


1．(1)指定的某些对象的全体 (2)每个对象


2．属于、a∈A；不属于，a∉A


3．N N＋或N* Z Q R


4．(1) 确定的 (2) 互异的


【基础过关】


1、解析:①④不符合集合中元素的确定性.故选C.


答案:C


2. ∉ ∈ ∉ ∉ ∈


【解析】因为-2不是自然数，所以-2∉N；20是整数，所以20∈Z；因为eq \r(2)不是有理数，所以eq \r(2)∉Q；0不是非零自然数，所以0∉N*；因为π是实数，所以π∈R.


【经典例题】


例1 [解析]


(1)“帅男”没有明确的标准，因此不能构成集合；


(2)任给一个实数x，可以明确地判断是否为“不超过20的非负数”，即“0≤x≤20”与“x>20或x<0”，两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合；


(3)“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；


(4)“eq \r(3)的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以“eq \r(3)的近似值”不能构成集合．


[名师点睛]


判断给定的对象能不能构成集合，关键在于是否给出一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能按此标准确定它是不是给定集合的元素.


例2 答案：－1


[解析]


若1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝±1.


当a＝1时，集合A有重复元素，所以a≠1；


当a＝－1时，集合A含有两个元素1，－1，符合元素的互异性，所以a＝－1.


[名师点睛]


从元素与集合的关系入手，求出a的值后，要注意验证集合的元素是否满足互异性．


变式一


[解析]


因为集合A中含有两个元素a和a2，所以a≠a2，即a≠0且a≠1.


变式二


[解析]


因为2∈A，所以a＝2或a2＝2，即a＝2或a＝±eq \r(2).


变式三


[解析]


因为由a和a2构成的集合只有一个元素，


所以a＝a2，即a＝0或a＝1.


例3


答案：0,1,2


【解析】当x＝0时，eq \f(6,3－0)＝2；


当x＝1时，eq \f(6,3－1)＝3；


当x＝2时，eq \f(6,3－2)＝6；


当x≥3时不符合题意，故集合A中元素有0,1,2.


[课堂达标]


1、[答案] (1)× (2)× (3)√


[解析] (1)×，因为“著名”无明确标准．


(2)×，因为－1不是自然数．


(3)×.


2、[答案] B


解析:只有①②正确，故选B.


1．D


【解析】


【分析】


根据集合中元素的三个属性进行判断即可得到答案.


【详解】


对于，，中的对象，没有一个明确的标准，不满足集合中元素的确定性，不能构成集合；对于中的对象，满足集合中元素的三个属性，能构成集合.


故选：D


【点睛】


本题考查了集合中元素的三个属性，属于基础题.


2．C


【解析】


【分析】


根据集合的含义逐一分析判断即可得到答案


【详解】


选项A，不满足确定性，故错误


选项B，不大于3的自然数组成的集合是，故错误


选项C,满足集合的互异性，无序性和确定性，故正确


选项D，数1，0，5，，，， 组成的集合有5个元素，故错误


故选C


【点睛】


本题考查了集合的含义，利用其确定性、无序性、互异性进行判断，属于基础题．


3．A


【解析】


年龄较小不确定,所以B错; {1，2，3}与{2，1，3}是相同的集合; 由1，0，5，1，2，5组成的集合有4个元素,因此选A.


4．D


【解析】


【分析】


根据集合的概念和集合元素的特性逐一判断即可.


【详解】


以内的质数有、、、，故A选项错误；


是集合内的一个元素，故B选项错误；


由集合元素互异性可知错误，故C选项错误；


由集合元素的无序性可知D选项正确.


故选：D.


【点睛】


本题考查了集合的概念和集合元素的特性，属于基础题.


【能力提升】


1、C


【解析】


①④不符合集合中元素的确定性.选C.


2、B


【解析】


【分析】


根据﹣1∈{2，a2﹣a﹣1，a2+1}，分a2﹣a﹣1＝﹣1和a2+1＝﹣1两种情况结合元素的互异性求解.


【详解】


因为﹣1∈{2，a2﹣a﹣1，a2+1}，


①若a2﹣a﹣1＝﹣1，则a2﹣a＝0，解得a＝0或a＝1，


a＝1时，{2，a2﹣a﹣1，a2+1}＝{2，﹣1，2}，舍去，


∴a＝0；


②若a2+1＝﹣1，则a2＝﹣2，a无实数解；


由①②知：a＝0．


故选：B．


【点睛】


本题主要考查集合元素的特性，属于基础题.


3、C


【解析】


分析：根据集合A的表示，判断出a是A的元素，根据元素与集合的关系，是属于与不属于，从而得到答案.


详解：集合，


.


故选C.


点睛：在解决元素与集合的关系时，注意它们的关系只有“属于”与“不属于”两种.


4、C


【解析】


【分析】


根据两个集合相等的概念列方程，利用集合元素的互异性确定正确选项.


【详解】


由于，故，解得或.当时，，与集合元素互异性矛盾，故不正确.经检验可知符合.


故选C.


【点睛】


本小题主要考查集合相等的概念，考查集合元素的互异性，属于基础题.


5、


【解析】


【分析】


根据自然数，整数，有理数，实数的定义即可判断.


【详解】


是自然数，则；不是自然数，则；不是整数，则；


是有理数，则；是无理数，则


故答案为：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)


【点睛】


本题主要考查了元素与集合间的关系，属于基础题.


6、-1


【解析】


【分析】


利用集合相等的定义列出方程组，求出x，y，由此能求出结果．


【详解】


∵集合A={x，，1}，B={x2，x+y，0}，A=B，


∴，解得x=-1，y=0，


则x2017+y2018=（-1）2017+02018=-1．


故答案为：-1．


【点睛】


本题考查代数式求和，考查集合相等的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．


7、（1）a＝0或－1；（2）x＝－1；（3）不存在.


【解析】


【分析】


（1）若，则或，再结合集合中元素的互异性，能求出的值．


（2）当取0，1，时，都有，集合中的元素都有互异性，由此能求出实数的值．


（3），若，则，，5，，若，则，，，，由此求出不存在实数，，使．


【详解】


解：（1）集合中有三个元素：，，，，


或，


解得或，


当时，，，，成立；


当时，，，，成立．


的值为0或．


（2）集合中也有三个元素：0，1，．，


当取0，1，时，都有，


集合中的元素都有互异性，，，


．


实数的值为．


（3），


若，则，，5，，


若，则，，，，


不存在实数，，使．


【点睛】


本题主要考查元素与集合的关系、集合相等的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．


8、（1）；（2）.


【解析】


【分析】


（1）根据元素与集合的属于关系的定义进行分类讨论进行求解即可；


（2）根据集合相等的定义，结合一元二次方程根与系数关系进行求解即可.


【详解】


解：（1）∵，∴或者


得或，


验证当 时，集合，集合内两个元素相同，故舍去


∴


（2）由上得，故集合中，方程的两根为1、-3.


由一元二次方程根与系数的关系，得.


【点睛】


本题考查了已知集合与元素属于关系的应用，考查了集合相等的定义，考查了一元二次方程根与系数的应用，考查了数学运算能力.


9、


【解析】


【分析】


由条件“若，则”可进行一步步推导，根据所得值循环出现可得答案．


【详解】


∵，∴，从而，则，


∴，出现循环，根据集合中元素的互异性可得集合中的所有元素为．


【点睛】


本题考查了集合中元素的互异性，属于基础题.








关系
概念
记作
读作
属于
若a在集合A中，就说a 集合A

a属于A
不属于
若a不在集合A中，就说a 集合A

a不属于A
名称
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号