北师大版 (2019)必修 第一册4.3 一元二次不等式的应用学案

这是一份北师大版 (2019)必修 第一册4.3 一元二次不等式的应用学案，共26页。学案主要包含了教学目标，知识清单，基础过关，经典例题，能力提升，参考答案等内容，欢迎下载使用。

【教学目标】


重点、难点


1..会解简单的分式不等式和高次不等式．(重点)


2.能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型．(重点)


3.掌握与一元二次不等式有关的恒成立问题的解法．(难点)


学科素养


通过对不等式的学习，培养数学运算素养.


【知识清单】


1．分式不等式的解法


阅读教材，完成下列问题．


分母里含有 的不等式，叫作分式不等式．解该类不等式的关键是先把不等式的右边化成0，再把它转化成整式不等式．


2．高次不等式的解法


含有一个未知数，且未知数的最高次数高于 的整式不等式叫一元高次不等式．处理或解这类不等式我们常用“ ”，具体操作程序是：


先将不等式化成标准形式，即一端为0，另一端为一次或二次不可约因式积的形式且使最高次项的系数为正．令代数式等于0，求出相应方程的根，并把它们依次标在数轴上，然后用同一曲线按照自上而下，由右向左依次穿过(遇奇次重根一次穿过，遇偶次重根不穿过)．这样数轴上方、下方及数轴上的点分别表示使代数式大于0、小于0及等于0的部分，最后依据不等式的符号写出不等式的解集．


对于此类问题，只局限于a≠0时形如a(x－x1)(x－x2)(x－x3)>0(或≥0，<0，≤0)的不等式．


3.解有关不等式应用题的步骤


(1) .用字母表示题中的未知数．


(2) .找出题中的不等量关系，列出关于未知数的不等式(组)．


(3) .运用不等式知识求解不等式(组)，同时要注意未知数在实际问题中的取值范围．


(4)作答．规范地写出答案．


【基础过关】


1、不等式eq \f(x－3,x＋2)<0的解集为( )


A．{x|－2

C．{x|x<－2，或x>3} D．{x|x>3}





2、求不等式eq \f(1,x＋1)(x－1)(x－2)2(x－3)<0的解集.





【经典例题】


题型一 分式不等式的解法


例1、解下列不等式：


(1)eq \f(x＋3,1－x)<0； (2)eq \f(x＋1,x－2)≤2；








题型二 简单高次不等式的解法


例2、解下列不等式：


(1)(x＋1)(1－x)(x－2)>0； (2)x(x－1)2(x＋1)3(x＋2)≥0.











题型三 不等式恒成立的问题


例3、关于x的不等式(1＋m)x2＋mx＋m










题型四 一元二次不等式在生活中的应用


例4、某种汽车在水泥路面上的刹车距离(刹车距离是指汽车刹车后由于惯性往前滑行的距离)s m和汽车车速x km/h有如下关系：s＝eq \f(1,20)x＋eq \f(1,180)x2.在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5 m，那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少？(精确到0.01 km/h)











[课堂达标]


1．已知二次函数的对称轴为，且有两个实数根、，则等于（ ）


A．B．C．D．不能确定


2．不等式的解集非空的一个必要而不充分条件是（ ）


A．B．C．D．


3．若不等式的解集为，则等于（ ）


A．-18B．8C．-13D．1


4．已知函数的定义域是R，则实数a的取值范围是( )


A．a> B．－12

5．已知不等式的解集为空集，则实数m的取值范围为_________.


6．不等式的解集为________.


7．若命题“任意实数，使”为真命题，则实数的取值范围为__________．


8．解不等式：（1） （2）








9．甲厂以千克/时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求），每小时可获得利润元.要使生产该产品小时获得的利润不低于元，求的取值范围.














10．已知函数为二次函数,,且关于的不等式解集为.


（1）求函数的解析式;


（2）当时,恒成立,求实数的取值范围.











11．某地有一座水库，设计最大容量为128000m3．根据预测，汛期时水库的进水量（单位：）与天数的关系是.水库原有水量为80000，水闸泄水量每天4000.当汛期来临第一天，水库就开始泄洪，估计汛期将持续10天，问：此期间堤坝会发生危险吗？请说明理由（水库水量超过最大容量，堤坝就会发生危险）.








12．某小企业生产某种产品，月销售量x（件）与货价p（元/件）之间的关系为，生产x件的成本元.该厂月产量多大时，月获利不少于1300元？











【能力提升】


1．在上定义运算 ，若不等式的解集为，则实数的取值范围是（ ）


A．B．


C．D．


2．若函数y＝的定义域为R，则实数a的取值范围是（ ）


A．（0，]B．（0，）C．[0，]D．[0，）


3．不等式的解集为 ( )


A．B．


C．D．或


4．若函数f(x)＝的定义域为一切实数，则实数m的取值范围是（ ）


A．[0，4)B．(0，4)C．[4，＋∞)D．


5．下列各组不等式中解集相同的是（ ）


A．与


B．与


C．与


D．与


6．（多选题）已知，关于的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则的值可以是（ ）.


A．6B．7C．8D．9


7．（多选题）已知命题，则命题成立的一个必要不充分条件是（ ）


A．B．C．D．


8．若不等式的解集为，则实数的取值范围是_____.


9．已知克糖水中含有克糖（），再添加克糖（）（假设全部溶解），糖水变甜了.请将这一事实表示为一个不等式__________．


10．已知，．


（1）若的解集是，求实数和的值；


（2）当时，对于一切实数，恒成立，求的取值范围．








11．某水果批发商销售进价为每箱40元的苹果，假设每箱售价不低于50元且不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱.


（1）求平均每天的销售量y（箱）与销售单价x（元/箱）之间的函数关系式.


（2）求该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售单价x（元/箱）之间的函数关系式.


（3）当每箱苹果的售价为多少元时，每天可以获得最大利润？最大利润是多少？








某种汽车在水泥路面上的刹车距离s(单位:m)和汽车刹车前的车速v(单位:)之间有如下关系:.在一次交通事故中,测得这种车的刹车距离大于39.5m,那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少(精确到

















【参考答案】


【知识清单】


(1)未知数 (2) 2，穿针引线法，（3）设未知数；列不等式(组)；解不等式(组)


【基础过关】


1、[解析] 不等式eq \f(x－3,x＋2)<0可化为(x＋2)(x－3)<0，


∴－2

2. [解析] 利用“穿针引线法”，如图所示．





∴不等式的解集是{x|x<-1或1

【经典例题】


例1 [解析] (1)由eq \f(x＋3,1－x)<0，得eq \f(x＋3,x－1)>0，


此不等式等价于(x＋3)(x－1)>0，


∴原不等式的解集为{x|x<－3或x>1}．


(2)解法一：移项得eq \f(x＋1,x－2)－2≤0，左边通分并化简，得


eq \f(－x＋5,x－2)≤0，即eq \f(x－5,x－2)≥0，此不等式等价于eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－2x－5≥0，,x－2≠0，))


∴x<2或x≥5.


∴原不等式的解集为{x|x<2或x≥5}．


解法二：原不等式可化为eq \f(x－5,x－2)≥0，


此不等式等价于eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－5≥0，,x－2>0))①或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－5≤0，,x－2<0.))②


解①得x≥5，解②得x<2，


∴原不等式的解集为{x|x<2或x≥5}．


例2[解析] (1)原不等式等价于(x－1)(x－2)(x＋1)<0，令y＝(x－1)(x－2)(x＋1)，当y＝0时，各因式的根分别为1,2，－1，如图所示





可得不等式的解集为{x|x<－1或1

(2)∵方程x(x－1)2(x＋1)3(x＋2)＝0的根依次为0,1，－1，－2，其中1为双重根，－1为三重根，(即1为偶次根，－1为奇次根)，如图所示，由“穿针引线法”可得





∴不等式的解集为{x|－2≤x≤－1，或x≥0}．


例3[解析] 原不等式等价于mx2＋mx＋m－1<0对x∈R恒成立，


当m＝0时，0·x2＋0·x－1<0对x∈R恒成立．


当m≠0时，由题意，得


eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m<0,Δ＝m2－4mm－1<0))⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m<0,3m2－4m>0))⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m<0,m<0，或m>\f(4,3)))⇔m<0.


综上，m的取值范围为m≤0.


例4[解析] 设这辆汽车刹车前的车速至少为x km/h，


根据题意，得eq \f(1,20)x＋eq \f(1,180)x2>39.5.


移项整理，得x2＋9x－7 110>0.


显然Δ>0，x2＋9x－7 110＝0有两个实数根，


即x1≈－88.94，x2≈79.94.


然后，根据二次函数y＝x2＋9x－7 110的图像，


得不等式的解集为{x|x<－88.94或x>79.94}．


在这个实际问题中，x>0，所以这辆汽车刹车前的车速至少为79.94 km/h.


[课堂达标]


1．C


【解析】


【分析】


利用二次函数的对称轴方程可求得的值，然后利用韦达定理可求得的值.


【详解】


由于二次函数的对称轴方程为，可得，


又因为方程的两根分别为、，由韦达定理得.


故选：C.


【点睛】


本题考查韦达定理的应用，考查计算能力，属于基础题.


2．B


【解析】


因为的解集非空,显然成立，由,综上，的解集非空的充要条件为.，所以选B．


3．C


【解析】


【分析】


由题可得为方程的两根，代入列方程解出即可.


【详解】


不等式的解集为，


为方程的两根，


则根据根与系数关系可得，


，则.


故选：C


【点睛】


本题主要考查二次不等式和二次方程的关系，是基础题.


4．B


【解析】


【分析】


由题意可知对于一切实数都成立，分类讨论，求出实数a的取值范围.


【详解】


由题意可知对于一切实数都成立,当a＝0时，不等式成立，即符合题意；


当时，要想对于一切实数都成立，只需，解得


－12

【点睛】


本题考查了不等式恒成立问题，考查了分类思想.


5．


【解析】


【分析】


由一元二次不等式的解集为空集，转化为，求实数的取值范围.


【详解】


不等式的解集是空集，


，解得：.


故答案为：


【点睛】


本题考查根据一元二次不等式的解集，求参数的取值范围，属于基础题型.


6．


【解析】


【分析】


将分式不等式转化为不等式组可解得.


【详解】


解：原不等式等价于不等式组


解得，


所以所求不等式的解集为.


故答案为: .


【点睛】


本题考查了分式不等式,一元二次不等式,属于基础题.


7．


【解析】


分析：开口向上的二次函数恒大于等于零，只需即可.


详解：由题可得：任意实数，使为真命题，故


即：，故答案为


点睛：考查二次函数的图像，属于基础题.


8．（1）[3，4]（2）或


【解析】


【分析】


（1）利用一元二次不等式的解法求解即得；（2）移项通分，再两边同时乘以，计算求解即得.


【详解】


（1）


解得：.


（2）且


解得：或.


【点睛】


本题考查解一元二次不等式和分式不等式，属于基础题.


9．


【解析】


【分析】


根据实际问题中的不等关系列出式子，可得，然后解不等式,可得结果.


【详解】


由题可知：


化简可得：


所以或


又，所以


【点睛】


本题主要考查根据实际问题列出不等关系并求解不等式，重点在于列出不等关系，属基础题.


10．（1）（2）


【解析】


【分析】


（1）设函数 ,根据,解集为,利用根与系数的关系即可求出函数的解析式.


（2）根据,求出的值域,即可求出实数的取值范围.


【详解】


解: （1）设函数 ,


那么,则,


又因为解集为.


的两根为,


故,解得,


所以.


（2）由（1）得,


又因为,


则,


当时,恒成立


则实数的取值范围为:.


【点睛】


本题主要考查根据二次函数的性质求函数解析式,考查二次函数在某区间上恒成立问题,是基础题.


11．第9天会有危险


【解析】


【分析】


根据进水量与出水量，以及最多总增加水量列不等式，转化为一元二次不等式，解不等式求得第天会有危险.


【详解】


设第n天发生危险.由题意得


，


即，得.


所以汛期的第9天会有危险.


【点睛】


注意对于数学应用性问题，首先要认真审题，理解题意；其次是建立合理的数学模型；最后用所学的数学知识去求解.同时，所得结果注意与事实相符，如本题是天数，需满足.


12．


【解析】


【分析】


根据销售额和成本以及获利要求列不等式，解一元二次不等式求得产量的取值范围.


【详解】


设月产量为件.由题意可知，即，得.


【点睛】


本小题主要考查函数的实际应用问题，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.


【能力提升】


1．C


【解析】


【分析】


由已知定义可把问题转化为恒成立，然后结合二次不等式的恒成立问题对进行分类讨论可求．


【详解】


解：由的解集为可得恒成立，


即恒成立，


当时，恒成立，满足题意；


当时，有，解可得，


综上可得，．


故选：．


【点睛】


本题以新定义为载体，主要考查了不等式的恒成立问题，体现了分类讨论思想的应用，属于基础题．


2．D


【解析】


【分析】


根据题意将问题转化为二次型不等式恒成立问题，结合对参数的讨论，根据即可求得结果.


【详解】


要满足题意，只需在上恒成立即可.


当时，显然满足题意.


当时，只需，


解得.


综上所述，


故选：.


【点睛】


本题考查二次型不等式恒成立求参数范围的问题，属基础题.


3．A


【解析】


【分析】


将不等式转化为，根据分母恒正可得到，从而求得结果.


【详解】


由得：


恒成立


又


不等式的解集为


故选


【点睛】


本题考查分式不等式的求解，关键是能够通过分母恒正得到分子的正负，从而根据一元二次不等式的求解方法求得结果.


4．D


【解析】


【分析】


由函数的定义域为一切实数，转化为在上恒成立，结合二次函数的图象与性质，即可求解.


【详解】


由函数f(x)＝的定义域为一切实数，即在上恒成立，


当m=0时，1≥0恒成立；


当m≠0时，则，解得.


综上可得，


故选：D.


【点睛】


本题主要考查了二次函数的图象与性质的应用，其中解答中熟练应用二次函数的图象与性质是解答的关键，意在考查推理与运算能力.


5．B


【解析】


【分析】


对各组不等式中的不等式求解可知答案.


【详解】


对于,根据分母不为0,可知的解集中没有元素1,而的解集中有元素1,故不正确;


对于,由得且,即,


由得,故选项正确;


对于,由整理得且,即且且,故选项不正确;


对于,由得且,即且,故不正确.


故选:B


【点睛】


本题考查了分式不等式的解法,属于基础题.


6．ABC


【解析】


【分析】


首先设，根据题意得到，再解不等式组即可得到答案.


【详解】


设，其图像为开口向上，对称轴是的抛物线，如图所示.





若关于的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，


因为对称轴为，则


解得，.


又，故可以为6，7，8.


故选：ABC


【点睛】


本题主要考查一元二次不等式的解法，同时考查学生分析问题的能力，属于简单题.


7．BD


【解析】


【分析】


先解分式不等式，再利用充分必要条件逐一判断即可得解.


【详解】


解：由，


选项A为命题的充要条件，


选项B为的必要不充分条件，


选项C为的既不充分也不必要条件，


选项D为的必要不充分条件，


故选：BD.


【点睛】


本题考查了分式不等式的解法，重点考查了充分必要条件，属基础题.


8．；


【解析】


【分析】


分三种情况讨论：（1）当等于0时，原不等式变为，显然成立；


（2）当时，根据二次函数的图象与性质可知解集为不可能；


（3）当时，二次函数开口向下，且与轴没有交点即△小于0时，由此可得结论．


【详解】


解：（1）当时，得到，显然不等式的解集为；


（2）当时，二次函数开口向上，函数值不恒小于0，故解集为不可能．


（3）当时，二次函数开口向下，由不等式的解集为，


得到二次函数与轴没有交点，即△，即，解得；


综上，的取值范围为．


故答案为：．


【点睛】


本题考查解不等式，考查恒成立问题，考查学生的计算能力，属于基础题．


9．


【解析】


【分析】


糖水变甜，表示糖的浓度变大，代入数据得到答案.


【详解】


糖水变甜，表示糖的浓度变大，即


故答案为：


【点睛】


本题考查了不等式的应用，意在考查学生的应用能力.


10．（1），;（2）


【解析】


【分析】


（1）由是方程的两根可求得；


（2）恒成立，分类讨论，时不成立，时，由二次函数的性质可得．


【详解】


（1）由题得1和2是方程的两个根，


所以，解得，；


（2）因为恒成立


①当时，不满足恒成立；


②当时，则，即解得；


综上：实数a的取值范围是：


【点睛】


本题考查解一元二次不等式，考查含参数的一元二次不等式恒成立问题．掌握“三个二次”之间的关系是正确求解一元二次不等式的基础，属基础题.


11．（1）；


（2）；


（3）55元时，最大利润为1125


【解析】


【分析】


（1）由题意可得，化简即可.


（2）因为该批发商平均每天的销售利润=平均每天的销售量×每箱销售利润，列出表达式即可.


（3）由（2）的表达式配方即可求出最值.


【详解】


解：（1）根据题意，得，化简得.


（2）因为该批发商平均每天的销售利润=平均每天的销售量×每箱销售利润，


所以.


（3）因为，


所以当时，随x的增大而增大.


又，，所以当时，有最大值，最大值为1125.


所以当每箱苹果的售价为55元时，每天可以获得最大利润，最大利润为1125元.


【点睛】


本题考查了二次函数的模型应用，同时考查了二次函数的性质，属于基础题.


12．


【解析】


【分析】


根据题意可得不等式,结合一元二次不等式与一元二次方程的关系,由二次函数的图像与性质,即可求得刹车前的最小速度.


【详解】


根据题意,得.


移项整理,得.


对于方程,


则,方程有两个实数根,.


画出二次函数的图象如下图所示:





结合图象得不等式的解集为或


从而原不等式的解集为或


因为车速,所以


而,所以这辆汽车刹车前的车速至少为


【点睛】


本题考查了一元二次不等式与二次函数在实际问题中的应用,属于基础题.