北师大版 (2019)必修 第一册4.1 函数的奇偶性导学案及答案

这是一份北师大版 (2019)必修 第一册4.1 函数的奇偶性导学案及答案，共16页。学案主要包含了教学目标，知识清单，基础过关，经典例题，课堂达标，能力提升，参考答案等内容，欢迎下载使用。

【教学目标】


1、理解函数奇偶性的定义；（重点）


2、掌握判断函数奇偶性的方法，能证明一些简单函数的奇偶性；（重点）


3、函数奇偶性的判断与证明。（难点）


学科素养


通过学习本节内容培养学生的直观想象和逻辑推理核心素养，提升学生的数学运算核心素养。【知识清单】


1、奇偶性的定义


（1） 一般地，设函数的定义域为，若对于任意的，都有 恒成立，则称为偶函数；


（2）一般地，设函数的定义域为，若对于任意的，都有 恒成立，则称为奇函数.


2、奇偶性


如果函数f(x)是奇函数或偶函数，我们就说函数f(x)具有 ．


3、奇、偶函数的图象性质


(1)偶函数的图象关于y轴对称，图象关于 对称的函数一定是偶函数．


(2)奇函数的图象关于原点对称，图象关于 对称的函数一定是奇函数．


【基础过关】


1、判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)


(1)函数f(x)＝x的图象关于(0,0)对称．( )


(2)偶函数的图象一定与y轴相交．( )


(3)若对函数f(x)有f(－1)＝f(1)，则f(x)为偶函数．( )


(4)奇函数的图象一定过(0,0)．( )


2、若f(x)是定义在区间[a－2,5]上的奇函数，则a＝


【经典例题】


题型一 函数奇偶性的判断


若函数f(x)的图象如图，则f(x)为 函数．(填“奇”或“偶”或“非奇非偶”)





题型二 根据奇偶性求函数的解析式


例2、若函数f(x)＝x2＋(m－1)x＋3(x∈R)是偶函数，求m的值











【课堂达标】


1．函数f(x)＝x(－1

A．奇函数 B．偶函数


C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数


2．下列函数既是奇函数又是增函数的是（ ）


A．B．C．D．


3.若函数是定义在上的偶函数，则该函数的最大值为


A．5 B．4 C．3 D．2


4.（多选题）下列函数既是定义域上的减函数又是奇函数的是（ ）


A． B． C．


D． E.


5、已知为奇函数，且当，则____________


6、若是奇函数，则_______.


7、定义在上的函数是奇函数，其部分图象如图所示：





请在坐标系中补全函数的图象； （2）比较与的大小.


【能力提升】


1、已知函数是奇函数，且，则（ ）


A．9B．C．D．7


2．设偶函数的定义域为，当时是增函数，则，，的大小关系是（ ）


A．B．


C．D．


3．已知且，则（ ）


A．13B．C．15D．


4．（多选题）下列函数中，既是偶函数又在上单调递减的函数是（ ）


A． B． C． D． E.


5.（多选题）某位同学在学习函数的性质时提出了如下两个命题:已知函数的定义域为.①若当时,都有，则函数是上的奇函数；②若当时，都有，则函数是上的增函数.下列说法正确的是（ ）


A．①是真命题B．①是假命题


C．②是真命题D．②是假命题


已知函数，若，则______.


6.已知函数，若，则______.


7.已知f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是定义在[a－1，2a]上的偶函数，则a＋b＝_______


8．已知函数


（1）试判断函数的奇偶性，


（2）用定义证明函数在是减函数；


9．已知函数是定义在上的偶函数，且当时，.





(1)现已画出函数在轴左侧的图像，如图所示，请补出完整函数的图像，并根据图像写出函数的增区间；


(2)写出函数的值域【参考答案】


【知识清单】


1、(1)f(－x)＝f(x) ；(2)f(－x)＝－f(x);


2、奇偶性


3、（1）y轴；（2）原点；


【基础过关】


1、[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×


解析 结合图象易知函数y＝f(x)的单调递增区间为[－1,1]和[5,7]．


[答案]－3


[解析]


[易知a－2＋5＝0，∴a＝－3．]


【经典例题】


[答案]偶函数


【解析】


偶函数的图象关于y轴对称


[答案]m＝1


【解析】


∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，


即x2－(m－1)x＋3＝x2＋(m－1)x＋3，∴2(m－1)x＝0．


∵x∈R，∴m－1＝0，得m＝1．


[课堂达标]


1．答案：C


【解析】


【分析】


根据判断奇偶性的条件，首看定义域可得结果.


【详解】


由题可知，函数的定义域不关于原点对称，所以该函数为非奇非偶函数.


故选：C


【点睛】


本题考查对函数奇偶性的判断，本题易错点在于没有观察定义域直接求解f(-x)，导致认为是奇函数，属基础题.


2．答案：D


【解析】


【分析】


选项中所涉及到的函数既是奇函数又是增函数的才能符合条件，要从这两个方面进行判断，这两个方面可以借助于图象，也可以直接利用奇函数的定义和函数单调性的判定方法进行求解.


【详解】


选项A中，设函数，，函数是偶函数，不符合题意；


选项B中，设函数，，则函数为非奇非偶函数，选项B不符合题意；


选项C中，函数的定义域为，则为非奇非偶函数，选项C不符合题意；


选项D中，是单调递增且满足，则是奇函数，符合条件.


故选D.


【点睛】


本题重点考查常见函数的单调性和奇偶性，注意它们的判定方法，属基础题.


3．答案：A


【解析】


试题分析：偶函数定义域关于原点对称，所以，函数开口向上.由于函数为偶函数，故，所以，最大值为.


考点：二次函数最值.


4．答案：CE


【解析】


【分析】


根据初等函数的奇偶性和单调性直接选出答案即可.


【详解】


对于A:是定义域R上的偶函数,∴不满足题意；


对于B:在定义域上是奇函数,且在每一个区间上是减函数,不能说函数在定义域上是减函数,∴不满足题意；


对于C:在定义域R上是奇函数,是减函数，∴满足题意；


对于D:在定义域R上是奇函数,且是增函数,不满足题意；


对于E:在定义域R上是奇函数,且是减函数,∴满足题意.


.故选:CE.


【点睛】


本题考查了初等函数的单调性和奇偶性,属于基础题.


5．答案：


【解析】


试题分析：因为为奇函数，所以．


考点：函数的奇偶性．


6、答案：1


【解析】


【分析】


根据奇函数在处有意义时可构造方程，解方程求得结果.


【详解】


为奇函数且在处有意义 ，解得：


本题正确结果：


【点睛】


本题考查根据函数的奇偶性求解参数值的问题，常采用特殊值的方式来进行求解，属于基础题.


7．（1）图见解析；（2）.


【解析】


【分析】


（1）根据奇函数的图象特征可作出函数的图象；


（2）结合图象可得出与的大小关系.


【详解】


（1）因为是奇函数，所以其图象关于原点对称，如下图所示：





（2）观察图象，知.


【点睛】


本题考查奇函数图象的补全，同时也考查了奇函数图象的应用，解题的关键就是要根据奇函数的图象特征作出函数的图象，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.


【能力提升】


1.答案：B


【解析】


由题意有：，


由奇函数的性质：，


且：.


本题选择B选项.


2．答案：B


【解析】


【分析】


由偶函数把函数值的自变量转化到同一单调区间上，然后由单调性得出结论．


【详解】


因为是偶函数，所以，


又，且在上是增函数，


所以，即．


故选：B．


【点睛】


本题考查函数的奇偶性与单调性，属于基础题．


3．B


【解析】


【分析】


先求出，再代入得解.


【详解】


,


所以.


故选：B.


【点睛】


本题主要考查函数奇偶性求函数值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.


4．CE


【解析】


【分析】


根据基本初等函数的奇偶性和单调性可得出正确选项.


【详解】


对于A，为奇函数，所以该选项不符合题意；


对于B，时， ，所以函数在上为增函数，所以该选项不符合题意；


对于C，该函数定义域为R，二次函数图象的对称轴为轴，所以该函数为偶函数，且该函数在上单调递减，所以该选项符合题意；


对于D，为奇函数，所以该选项不符合题意；


对于E，作出函数的图象如下图所示：





可知该选项符合题意.


故选：CE.


【点睛】


本题考查函数奇偶性与单调性的判断，解题的关键就是要熟悉一些常见基本初等函数的单调性与奇偶性，考查推理能力，属于基础题.


5．BD


【解析】


【分析】


由奇函数的定义，注意定义域关于原点对称，其次可考虑，结合函数的奇偶性和单调性的定义即可判断①②．


【详解】


对于命题①，由于函数的定义域是否关于原点对称不明确，因此不符合奇函数的定义；对于命题②，由于，是否具有任意性不明确，不符合单调性的定义，所以两个都是假命题，故选BD.


【点睛】


本题考查函数的奇偶性的定义和应用，考查理解能力，属于基础题．


6．0


【解析】


【分析】


由函数的解析式可得的解析式，进而分析可得，据此分析可得答案．


【详解】


解：∵，


∴，


∴，


若，则，


故答案为：0．


【点睛】


本题考查函数奇偶性的性质以及应用，注意分析的值，属于基础题．


7．


【解析】


【分析】


根据函数为偶函数可得a以及f(x)= f(-x)，并得到b最后可得结果.


【详解】


由题可知：a－1+2a=0，所以


又f(x)= f(-x)，所以，


所以，则故答案为：


【点睛】


本题考查根据函数奇偶性求参数，掌握定义，简单计算，属基础题.


8．（1）偶函数；（2）证明见解析


【解析】


【分析】


（1）首先确定函数定义域为，经验证可得，从而得到结论；


（2）设，可证得，从而证得单调性.


【详解】


（1）由题意得：定义域为


为上的偶函数


（2）令，则


， ，即


在上是减函数


【点睛】


本题考查函数奇偶性的判断、单调性的证明；考查学生对于函数基本性质的掌握，属于基础题.


9．(1) 见解析,，；(2).


【解析】


【分析】


(1)根据图像关于轴对称可作出右侧图像.再根据图像写单调区间.


(2)根据函数图像可以得到函数的值域.


【详解】


(1)因为函数为偶函数,故图象关于轴对称,补出完整函数图象如图:





所以的递增区间是，.


(2)由函数图象可知，，


故的值域为.


【点睛】


如果一个函数具有奇偶性，那么它的图像具有对称性，偶函数的图像关于轴对称，奇函数的图像关于原点对称，因此知道其一侧的图像，必定可以知晓另一侧的图像，而且奇函数、偶函数在对称两侧的单调性具有一定的关联关系.