北师大版 (2019)必修 第一册3.1 指数函数的概念学案设计

这是一份北师大版 (2019)必修 第一册3.1 指数函数的概念学案设计，共16页。学案主要包含了教学目标，知识清单，基础过关，经典例题，课堂达标，能力提升，参考答案等内容，欢迎下载使用。

【教学目标】


重点、难点


1、掌握指数函数的概念和意义；（重点）


2、指数增长和指数衰减的速度。（难点）


学科素养


通过对指数函数的增长和衰减的学习，培养逻辑推理素养；


【知识清单】


1、指数函数的概念


一般地，函数 叫做指数函数.


【基础过关】


1、下列各函数中，是指数函数的是( )


A．y＝x3 B．y＝eq \f(1,x)


C．y＝5x＋1D．y＝52x


2、已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x，x<0，,3x，x>0，))则f[f(－1)]＝( )


A．2B．eq \r(3)


C．0D．eq \f(1,2)


3、若函数f(x)＝(eq \f(1,2)a－3)·ax是指数函数，则f(eq \f(1,2))的值为( )


A．2B．－2


C．－2eq \r(2)D．2eq \r(2)


【经典例题】


题型一 指数函数的概念


例1、下列函数中是指数函数的是________．(填序号)


①y＝2·(eq \r(2))x；②y＝2x－1；③y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))x；④y＝3；⑤y＝x.








题型二 指数函数的解析式


例2、指数函数y＝f(x)的图象经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，\f(1,4)))，那么f(4)f(2)＝( )


A．8 B．16 C．32 D．64


【课堂达标】


1．下列各函数中，是指数函数的是（ ）


A．B．C．D．


2．若函数（是自变量）是指数函数，则的取值范围是（ ）


A．且B．且


C．且D．


3．已知函数，若，则（ ）


A．B．C．D．


4．设集合，集合，则( )


A．B．C．D．


5、（多选题)若函数，且）是指数函数，则下列说法正确的是（ ）


A．B．C．D．


6、不等式2x2−x<4的解集为_______


7、已知，则______


8、已知且（且）的图象经过点.


（1）求的值；


（2）已知，求.








【能力提升】


1．如果函数，且的图象经过点，那么实数a等于


A．2B．3C．4D．5


2．已知函数，若，则函数的解析式为（ ）


A． B． C． D．


3．已知，则( )


A．2018B．C．2019D．


4．函数的图像与的图像关于（ ）


A．原点对称B．x轴对称C．y轴对称D．直线对称


5．若指数函数在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数a等于（ ）


A．B．C．D．


6.（多选题）设指数函数（，且），则下列等式中正确的是（ ）


A．B．


C．D．


E.


7．若定义在R上的奇函数和偶函数满足则=___________________


8．函数且的图象恒过定点P，则点P的坐标是______．


9．已知函数（且）的图像经过点.


（1）求函数的解析式；（2）若，求实数的取值范围.





10．已知函数（且）经过点（2，4）.


(1)求a的值; (2)求在[0,1]上的最大值与最小值.





【参考答案】


【知识清单】





【基础过关】


[答案]D


[解析]


根据指数函数的定义：形如y＝ax(a>0，且a≠1)的函数叫做指数函数，结合选项从而可知y＝52x＝25x为指数函数，故选D．


2、[答案]eq \r(3).


[解析]


f(－1)＝2－1＝eq \f(1,2)，f[f(－1)]＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝3 eq \s\up4(\f(1,2)) ＝eq \r(3).


3、[答案]2eq \r(2)


[解析] 由题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,2)a－3＝1,a>0,a≠1))，


∴a＝8，∴f(x)＝8x.


∴f(eq \f(1,2))＝8 eq \s\up4(\f(1,2)) ＝2eq \r(2).


【经典例题】


例1、答案：③


解析：①中指数式(eq \r(2))x的系数不为1，故不是指数函数；②中y＝2x－1，指数位置不是x，故不是指数函数；④中指数不是x，故不是指数函数；⑤中指数为常数且底数不是唯一确定的值，故不是指数函数，故填③.


例2、答案：D


解析：设指数函数为y＝ax(a>0且不等于1)，将eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，\f(1,4)))代入得：a－2＝eq \f(1,4)，解得a＝－2或2.所以a＝2，y＝2x，则f(4)·f(2)＝24·22＝64.





[课堂达标]


1．D


【解析】


【分析】


利用指数函数的定义，形如：即可求解.


【详解】


根据指数函数的定义知，，


A选项底数错误，B选项系数错误，C选项指数错误；


D正确.


故选：D


【点睛】


本题考查了指数函数的定义，需掌握住指数函数的定义，即可求解.


2．C


【解析】


【分析】


根据指数函数定义列不等式，解得结果.


【详解】


由于函数（是自变量）是指数函数，则且，解得且.


故选：C


【点睛】


本题考查指数函数定义，考查基本分析求解能力，属基础题.


3．B


【解析】


【分析】


代入函数式，由对数的定义求解．


【详解】


由题意，，．


故选：B．


【点睛】


本题考查已知对数函数值求自变量的值，利用对数的定义可求解．


4．A


【解析】


【分析】


求出集合、，利用交集的定义可得出集合.


【详解】


，，因此，.


故选：A.


【点睛】


本题考查交集的计算，同时也考查了一元二次不等式的求解以及指数函数值域的计算，考查计算能力，属于基础题.


5、AC


【解析】


【分析】


根据指数函数的定义求出函数解析式，再对选项作出判断．


【详解】


解：因为函数是指数函数，所以，所以，所以，所以，，故B、D错误，A．C正确．


故选


【点睛】


本题考查指数函数的定义，及函数值的求解，属于基础题．


6、(−1,2).


【解析】


试题分析：本题是一个指数型函数式的大小比较，这种题目需要先把底数化为相同的形式，即底数化为2，根据函数是一个递增函数，写出指数之间的关系得到未知数的范围．


,


∴2x2−x<22,


是一个递增函数；





故答案为.


考点：指数函数的单调性和特殊性


7、2


【解析】


【分析】


直接取代入计算得到答案.


【详解】


取得到


故答案为：


【点睛】


本题考查了函数值的计算，也可以先计算出函数解析式再求值.


8、（1）；（2）.


【解析】


【分析】


（1）将点的坐标代入，利用解得结果即可；


（2）利用化简方程可得，解关于的一元二次方程可得，进一步可得结果.


【详解】


（1）由的图象经过点得


，又，所以


（2）由（1）得，由，


得，解得（舍去）


由解得.


【点睛】


本题考查了由指数函数的解析式求参数，考查了指数型方程的解法，属于基础题.


【能力提升】


1．B


【解析】


【分析】


由题意代入点的坐标，即可求出a的值．


【详解】


指数函数的图象经过点，


，


解得，


故选B．


【点睛】


本题考查了指数函数的定义，考查计算能力，属于基础题．


22．B


【解析】


【分析】


把点的坐标代入求出底数即可.


【详解】


解:∵，，∴，即，


∴函数的解析式是.


故选B.


【点睛】


考查求指数函数的解析式；基础题.


3．B


【解析】


【分析】


由题意知：，进而便可得出答案.


【详解】


由于，所以，从而


.


故选：B.


【点睛】


本题主要考查函数的对称的应用，属于基础题目.


4．C


【解析】


【分析】


利用点的对称性说明，设点在图象上，证明在的图象上，即可得解．


【详解】


设点为函数的图像上任意一点，因为，所以点为的图像上的点．因为点与点关于y轴对称，所以函数的图像与的图像关于y轴对称，


故选：C．


【点睛】


本题考查指数函数的图象，考查图象的对称性．图象的对称性一般是通过点的对称性来说明，对两个函数的图象，设任一点在图象上，若能证在的图象上，反之亦然，则它们关于轴对称．


5．D


【解析】


【分析】


指数函数单调性不确定，可以分类讨论.


【详解】


指数函数在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1


则 解得a=


故选D


【点睛】


该题考查指数函数单调性，a>1,函数单调递增，0

6．ABD


【解析】


【分析】


利用指数函数的定义，依次代入表达式，验证左边与右边是否相等即可判断.


【详解】


，故A中的等式正确；


，故B中的等式正确；


，，故C中的等式错误；


，故D中的等式正确；


，，故E中的等式错误.


故选：ABD.


【点睛】


本题考查了指数函数的定义以及指数的运算，属于基础题.


7．


【解析】


由题意知，，


两式相减得.


点睛：此题主要考查如何利用函数的奇偶性求函数的解析式，属于中档题型，也是常考题型.在此类问题中可将两个函数、视作两个未知数，利用两个函数的奇偶性（为奇函数，为偶函数），与原等式建立方程组，通过解方程组从而求得函数解析式.


8．


【解析】


【分析】


根据a0=1（a≠0），求出对应的x，y的值即可．


【详解】


令x﹣1=0，解得：x=1，


此时y=4+2=6，


故函数恒过定点（1，6），


故答案为（1，6）．


【点睛】


本题考查了指数幂的性质，考查函数恒过定点问题，是一道基础题．


9．（1）；（2）


【解析】


【分析】


（1）直接代入数据计算得到答案.


（2）确定函数单调递增，根据函数的单调性得到答案.


【详解】


（1）（且）的图像经过点，即，故，故.


（2）函数单调递增，，


故，故


【点睛】


本题考查了函数的解析式，根据函数单调性解不等式，意在考查学生对于函数知识的综合应用.


10．(1)；（2），


【解析】


【分析】


（1）将点代入函数表达式，由此求得的值.


（2）根据指数函数单调性，求得函数的最大值和最小值.


【详解】


（1）将点代入函数表达式得，解得.


（2）由（1）知，故函数在上是单调递增函数，故最大值为，最小值为.


【点睛】


本小题主要考查待定系数法求得指数函数解析式，考查指数函数的单调性和最值的求法，属于基础题.