高中数学北师大版 (2019)必修 第一册4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较导学案

这是一份高中数学北师大版 (2019)必修 第一册4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较导学案，共14页。学案主要包含了教学目标，知识清单，基础过关，经典例题，课堂达标，能力提升，参考答案等内容，欢迎下载使用。

【教学目标】


重点、难点


1、理解指数函数、幂函数、对数函数增长速度；（重点）


2、会对指数函数、幂函数、对数函数增长进行比较；（难点）


学科素养


通过对指数函数、幂函数、对数函数增长的比较，培养数学运算素养.


【知识清单】


指数函数、幂函数、对数函数增长的趋势


当自变量x趋于无穷大时，指数函数y=ax(a>1)增长速度最快，其次是幂函数y=xa(a>0)，增长速度最慢的是对数函数y=lgax.


【基础过关】


1、已知函数y＝xa，y＝xb，y＝xc的图象如图所示，则a，b，c的大小关系为( )





A．c

【经典例题】


题型一 指数函数、幂函数、对数函数增长速度


例1、函数y＝x2与函数y＝xln x在区间(0，＋∞)上增长较快的一个是________











例2、已知函数：①y＝2x；②y＝lg2x；③y＝x－1；④y＝；则下列函数图像(第一象限部分)从左到右依次与函数序号的对应顺序是( )





A．②①③④B．②③①④


C．④①③②D．④③①②





【课堂达标】


1．下面给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图，那么最能拟合诗句“红豆生南国，春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是（ ）





指数函数：y＝2t B．对数函数：y＝lg2t


C．幂函数：y＝t3 D．二次函数：y＝2t2


2．设,,,则下列选项中正确的是（ ）


A．B．C．D．


3．某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物.已知该动物的数量（只）与引入时间（年）的关系为，若该动物在引入一年后的数量为100，则到第7年它们的数量为（ ）


A．300B．400C．600D．700


4．某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……，这样一个细胞分裂__________次以后，得到的细胞个数是128个.()


A．5B．6C．7D．8


5.将，，1按从小到大的顺序排列为______.


6.已知幂函数的图象过点，则_______


【能力提升】


1．设，则比较大小顺序是（ ）


A．B．C．D．


2．在某试验中，测得变量x和变量y之间的对应数据如下表.


则下列函数中，最能反映变量x和y之间的变化关系的是( )


A．B．C．D．


3．下列函数中，既是偶函数，又是上的增函数是（ ）


A．B．C．D．


4．下列函数中不是幂函数的是( )


A．B．y＝x3C．y＝2xD．y＝x－1


5．已知等式，，成立，那么下列结论：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；其中可能成立的是（ ）


A．（1）（2）B．（2）（5）C．（3）（4）D．（4）（5）


6.给定函数（1）；（2）；（3）；（4），其中在区间上单调递减的函数的序号是__________


7．已知，求实数m的取值范围.





8．如图所示，某种药物服药后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间t（小时）之间满足函数关系式；不超过1小时为y=kt，1小时后为．





（1）写出y与t之间的函数关系式．


（2）如果每毫升血液中含药量不少于微克时治疗有效，那么服药后治疗有效的时间是多长？x
0.50
0.99
2.01
3.98
y
0.01
0.98
2.00
【参考答案】


【知识清单】


【基础过关】


1、A


【解析】


【分析】


【详解】


试题分析：由幂函数图像特征知，，，，所以选A．


考点：幂函数的图像特征．


2、D


【解析】


【分析】


根据函数单调性及二者间的对称性即可得到结果.


【详解】


当时，函数与都是减函数，所以观察图像知，D正确．


故选D


【点睛】


本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了反函数的性质，属于基础题.


【经典例题】


例1、


【解析】


由于对数函数y=lnx在区间(0，＋∞)上的增长速度慢于一次函数y=x，所以函数y＝x2比函数y＝xln x在区间(0，＋∞)上增长较快，填.


例2、D


【解析】


【分析】


【详解】


图一与幂函数图像相对应，所以应为④；图二与反比例函数相对应，所以应为③；图三与指数函数相对应，所以应为①；图四与对数函数图像相对应，所以应为②．


所以对应顺序为④③①②，故选D．


[课堂达标]


1．A


【解析】


【分析】


从所给的散点图可知，图象大约过，依此可判断出结果.


【详解】


从所给的散点图可知，图象大约过，所以该函数模型应为指数函数．


故选：A


【点睛】


本题主要考查函数模型的选择，解题的关键是看出函数的变化趋势和所过的特殊点，属于基础题.


2．A


【解析】


【分析】


对于根据指数对数函数的图象和性质，通过判断和0，1之间的大小关系得之间的大小关系．


【详解】


解：，，，


故，


故选A．


【点睛】


本题考查指数函数、对数函数的单调性，先判断出各个量的范围，进而得到它们的大小关系．


3．A


【解析】


【分析】


先利用时，求得的值，由此求得函数的解析式，再令求得所求结果.


【详解】


将，代入中，所得，解得，则，所以当时，.


故选：A.


【点睛】


本小题主要考查待定系数法求函数解析式，考查对数运算，属于基础题.


4．C


【解析】


【分析】


由题意，次分裂后，共有个，故可得方程，从而得解．


【详解】


由题意，次分裂后，共有个，所以有，


∴，故选C.


【点睛】


本题主要考查指数函数的运用，考查由实际问题选择函数类型，属于基础题．


5、


【解析】


【分析】


构造函数，利用其单调性比较大小。


【详解】


解：构造函数，


在上单调递增，又，





即，


故答案为：


【点睛】


本题考查利用函数单调性比较大小，根据式子特点找到函数是关键，是基础题。


6.


【解析】


试题分析：因为是幂函数，所以，得，，.


考点：幂函数的定义.


【能力提升】


1．A


【解析】


【分析】


利用对数函数的性质推导出，利用指数函数的性质推导出，由此能求出结果．


【详解】


解：，


，


，


．


故选：A．


【点睛】


本题考查三个数的大小的比较，解题时要认真审题，注意对数函数、指数函数的性质的合理运用，是基础题．


2．D


【解析】


【分析】


根据所给数据，代入各函数，计算验证可得结论.


【详解】


将，代入计算，可以排除A；


将代入计算，可以排除B，C；


将各数据代入函数，可知满足题意.


故选：D.


【点睛】


本题主要考查拟合函数，注意排除法的应用，属于基础题.


3．C


【解析】


【分析】


根据函数解析式，求得函数单调性和奇偶性即可容易判断.


【详解】


对，其定义域为，不关于原点对称，故其不是偶函数，故错误；


对，其在是减函数，故错误；


对，其是偶函数，且在上为增函数，故正确；


对，其是奇函数，故错误.


故选：C.


【点睛】


本题考查函数奇偶性和单调性的判断，涉及指数函数，对数函数，幂函数的性质，属综合基础题.


4．C


【解析】


由幂函数的定义知，， 均为幂函数，为正比例函数，不是幂函数，选C.


5、AB


【解析】


【分析】


依题意，可设，，结合指数函数的性质，分，及讨论即可得解．


【详解】


设，则，，


当时，，故（1）正确；


当时，，故（2）正确；


当时，，故（5）正确；


故选：AB.


【点睛】


本题考查对数式与指数式互化以及利用幂函数的单调性比较大小的问题，本题也可以采用数形结合法来处理，是一道中档题.


6、(1)(2)(3)


【解析】


【分析】


由减函数的定义和常见函数的性质可以直接判断.


【详解】


由减函数的定义和常见函数的性质可得: (1)在上单调递减,满足题意; (2)在R上单调递减,满足题意; (3)在上单调递减,满足题意; (4)在R上单调递增,不符合题意.


故答案为: (1)(2)(3).


【点睛】


本题考查了常见函数单调性的问题,属于基础题.


7、


【解析】


【分析】


根据函数的单调性得到关于的不等式，解出即可．


【详解】


解：设函数，函数为R上的单调递增函数


，











所以，m的取值范围为：


【点睛】


本题考查了幂函数的单调性问题，考查不等式问题，属于基础题．


8．（1）y=f（t）=； （2）服药一次治疗疾病的有效时间为5-=4小时.


【解析】


【分析】


（1）由题设条件中的图象，利用数形结合思想能求出服药后y与t之间的函数关系式


（2）得到关于t的不等式组，即可解出结果．


【详解】


（1）当0≤t≤1时，y=4t；


当t≥1时，y=（）t-a，代入点(1,4)，


解得a=3，


∴y=f（t）=；


（2）①因为f（t）≥0.25，即，


解得，


∴≤t≤5，


所以服药一次治疗疾病的有效时间为5-=4小时．


【点睛】


本题考查函数关系式的求法，考查函数的生产生活中的实际应用，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．