数学八年级上册第十一章 三角形综合与测试练习题

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三角形证明题


LISTNUM OutlineDefault \l 3 如图,∠1+∠2=180°,∠3=∠B，试判断∠AED与∠C的大小关系,并证明你的结论．

















LISTNUM OutlineDefault \l 3 在△ABC中，AB=2BC,AD、CE分别是 BC、AB 边上的高，试判断 AD和 CE的大小关系，并说明理由.




















LISTNUM OutlineDefault \l 3 (1)如图(1),在△ABC中,∠C>∠B,AD⊥BC于D,AE平分∠BAC,则∠EAD与∠B,∠C有和数量关系？


(2)如图(2),AE平分∠BAC,F为其上一点,FD⊥BC于D,这时∠EFD与∠B、∠C又有何数量关系？


(3) 如图(3),AE平分∠BAC,F为AE的延长线上的一点，FD⊥BC于D,这时∠AFD与∠B、∠C又有何数量关系？























LISTNUM OutlineDefault \l 3 （1）如图，在△ABC中，∠B=40°，∠C=80°，AD⊥BC于D，且AE平分∠BAC，求∠EAD的度数．


（2）上题中若∠B=40°，∠C=80°改为∠C＞∠B，其他条件不变，请你求出∠EAD与∠B、∠C之间的数列关系？并说明理由．






































LISTNUM OutlineDefault \l 3 △ABC 中，AD、BE、CF是角平分线，交点是点 G，GH⊥BC。


求证：∠BGD=∠CGH.



























































LISTNUM OutlineDefault \l 3 如图,已知∠B=340,∠D=400,AM，CM 分别平分∠BAD和∠BCD．


（1）求∠M 的大小．


（2）当∠B,∠D 为任意角时,探索∠M 与∠B,∠D 间的数量关系,并对你的结论加以证明．


























LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°．


（1）∠ABC+∠ADC= °；


（2）如图①,若DE平分∠ADC，BF平分∠ABC的外角，请写出DE与BF的位置关系，并证明；


（3）如图②,若BE，DE分别四等分∠ABC、∠ADC的外角(即∠CDE=∠CDN,∠CBE=∠CBM),试求∠E度数.















































LISTNUM OutlineDefault \l 3 动手操作，探究：





如图（1），△ABC是一个三角形的纸片，点D、E分别是△ABC边上的两点，


研究（1）：若沿直线DE折叠，则∠BDA′与∠A的关系是 .


研究（2）：若折成图2的形状，猜想∠BDA′、∠CEA′和∠A的关系，并说明理由.


研究（3）：若折成图3的形状，猜想∠BDA′、∠CEA′和∠A的关系，并说明理由.



































LISTNUM OutlineDefault \l 3 在△ABC中,BD，CE是它的两条角平分线，且BD，CE相交于点M，MN⊥BC于点N．将∠MBN记为∠1，∠MCN记为∠2，∠CMN记为∠3．


（1）如图1，若∠A=110°，∠BEC=130°，则∠2= °，∠3－∠1= °；


（2）如图2，猜想∠3－∠1与∠A的数量关系，并证明你的结论；


（3）若∠BEC=ɑ，∠BDC=，用含和的代数式表示∠3－∠1的度数．（直接写出结果即可）






































LISTNUM OutlineDefault \l 3 阅读下列材料：


某同学遇到这样一个问题：如图1,在△ABC中,AB=AC,BD是△ABC的高．P是BC边上一点,PM,PN分别与直线AB，AC垂直,垂足分别为点M,N.求证：BD=PM+PN．


他发现，连接AP，有S△ABC=S△ABP+S△ACP，即.由AB=AC,可得BD=PM+PN．


他又画出了当点P在CB的延长线上,且上面问题中其他条件不变时的图形,如图2所示.他猜想此时BD，PM，PN之间的数量关系是：BD=PN-PM．





请回答：


（1）请补全以下该同学证明猜想的过程；


证明：连接AP．


∵ ，


∴ ．


∵AB=AC，


∴BD=PN-PM．


（2）参考该同学思考问题的方法，解决下列问题：


在△ABC中，AB=AC=BC，BD是△ABC的高．P是△ABC所在平面上一点，PM，PN，PQ分别与直线AB，AC，BC垂直，垂足分别为点M，N，Q．


①如图3，若点P在△ABC 的内部，则BD，PM，PN，PQ之间的数量关系是： ；





②若点P在如图4所示位置，利用图4探究得出此时BD，PM，PN，PQ之间数量关系是: ．





参考答案


LISTNUM OutlineDefault \l 3 \s 1 解：∠C与∠AED相等，理由如下：


∵∠1+∠2=180°（已知），∠1+∠DFE=180°（邻补角定义），∴∠2=∠DFE（同角的补角相等），


∴AB∥EF（内错角相等两直线平行），∴∠3=∠ADE（两直线平行内错角相等），


又∠B=∠3（已知），∴∠B=∠ADE（等量代换），∴DE∥BC（同位角相等两直线平行），


∴∠C=∠AED（两直线平行同位角相等）．





LISTNUM OutlineDefault \l 3 设BC=a AB=2a CE=c AD=d


根据三角形面积相等可得：ad=2ac


化简得：d=2c


故：AD=2CE


LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：（1）∵AE平分∠BAC，


∴∠EAC= 0.5∠BAC= 0.5（180°-∠B-∠C），


又∵AD⊥BC，


∴∠DAC=90°-∠C，


∴∠EAD=∠EAC-∠DAC=0.5（180°-∠B-∠C）-（90°-∠C）=0.5（∠C-∠B），


即∠EAD=0.5（∠C-∠B）；


（2）2∠EFD=∠C-∠B；


（3）2∠AFD=∠C-∠B；


LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：


（1）∵∠B=40°，∠C=80°，


∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=60°，


∵AE平分∠BAC，


∴∠CAE=∠BAC=30°，


∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°，


∵∠C=80°，


∴∠CAD=90°﹣∠C=10°，


∴∠EAD=∠CAE﹣∠CAD=30°﹣10°=20°；


（2）∵三角形的内角和等于180°，


∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C，


∵AE平分∠BAC，


∴∠CAE=∠BAC=（180°﹣∠B﹣∠C），


∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°，


∴∠CAD=90°﹣∠C，


∴∠EAD=∠CAE﹣∠CAD=（180°﹣∠B﹣∠C）﹣（90°﹣∠C）=∠C﹣∠B．





LISTNUM OutlineDefault \l 3 证明：∵BG、AG分别是△ABC的角平分线，


∴∠ABG=0.5∠ABC，∠BAG=0.5∠BAC，


∴∠BGD=∠ABG+∠BAG


=0.5（∠ABC+∠BAC）


=0.5（180°-∠ACB）


=90°-0.5∠ACB，


∵CG平分∠ACB，


∴∠HCG=0.5∠ACB


∵GH⊥BC，


∴∠CGH=90°-∠HCG


=90°-0.5∠ACB，


∴∠BGD=∠CGH．


LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：（1）∵∠B+∠1+∠2=∠3+∠4+∠D，


而AM，CM分别平分∠BAD和∠BCD，


∴∠2=∠1，∠3=∠4，


∴∠B+2∠1=2∠3+∠D①，


又∵∠B+∠1=∠3+∠M，


∴2∠B+2∠1=2∠3+2∠M②，


②﹣①得，∠B=2∠M﹣∠D，


∴∠M=0.5（∠B+∠D），


∴∠B=34°，∠D=40°，


∴∠M=0.5（34 °+40 °）=37 °


（2）∠M与∠B，∠D间的数量关系为∠M=0.5（∠B+∠D），理由同上


LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：


（1）∵∠A=∠C=90°，


∴∠ABC+∠ADC=360°﹣90°×2=180°；


故答案为：180°；


（2）延长DE交BF于G，


∵DE平分∠ADC，BF平分∠CBM，


∴∠CDE=∠ADC，∠CBF=∠CBM，


又∵∠CBM=180°﹣∠ABC=180°﹣（180°﹣∠ADC）=∠ADC，


∴∠CDE=∠CBF，


又∵∠BED=∠CDE+∠C=∠CBF+∠BGE，


∴∠BGE=∠C=90°，


∴DG⊥BF，即DE⊥BF；


（3）解：由（1）得：∠CDN+∠CBM=180°，


∵BE、DE分别四等分∠ABC、∠ADC的外角，


∴∠CDE+∠CBE=×180°45°，


延长DC交BE于H，由三角形的外角性质得，


∠BHD=∠CDE+∠E，∠BCD=∠BHD+∠CBE，


∴∠BCD=∠CBE+∠CDE+∠E，


∴∠E=90°﹣45°=45°











LISTNUM OutlineDefault \l 3 （1）∠BDA′=2∠A;


（2） ∠BDA′+ ∠CEA′=2∠A .





理由：在四边形AD A′E中，


∠A+∠AD A′+∠D A′E+∠A′EA=360°


∴∠A+∠D A′E=360°-∠AD A′-∠A′EA


∵∠BDA′+∠AD A′=180°，∠CEA′+∠A′EA=180°


∴∠BDA′+∠AD A′+∠CEA′+∠A′EA=360°


∴∠BDA′+ ∠CEA′=360°-∠AD A′-∠A′EA


∴∠BDA′+ ∠CEA′=∠A+∠D A′E


∵△ A′DE是由△ADE沿直线DE折叠而得


∴∠A=∠D A′E


∴∠BDA′+ ∠CEA′=2∠A


（3）∠BDA′-∠CEA′=2∠A


理由：∵∠BDA′=∠A+∠DFA，∠DFA=∠ A′+∠CEA′


∴∠BDA′=∠A+∠ A′+∠CEA′


∴∠BDA′-∠CEA′=∠A+∠ A′


∵△ A′DE是由△ADE沿直线DE折叠而得


∴∠A=∠D A′E


∴∠BDA′-∠CEA′=2∠A


LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：


（1）20，55；（2）∠3－∠1与∠A的数量关系是：．





证明：∵在△ABC中，BD，CE是它的两条角平分线，


∴，．


∵MN⊥BC于点N，


∴．


∴在△MNC中，．


∴．


∵在△ABC中，，


∴．


（3）．


LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：（1）证明：连接AP．∵，∴．


∵AB=AC，∴．


（2）①；②．