人教版 九年级数学中考总复习30讲（一轮复习）第17讲 全等三角形 教学案（无答案）

第17讲  全等三角形【考点总汇】一、全等三角形的性质及判定定理1.性质（1）全等三角形的对应边        ，对应角        。（2）全等三角形的对应边的中线        ，对应角平分线        ，对应边上的高        ，全等三角形的周长        ，面积        。2.判定定理（1）三边分别        的两个三角形全等（简写“边边边”或“        ”）。 （2）两边和它们的夹角分别        的两个三角形全等（简写“边角边”或“        ”）。 （3）两角和它们的夹边分别        的两个三角形全等（简写“角边角”或“        ”）。 （4）斜边和一条直角边分别        的两个直角三角形全等（简写“斜边、直角边”或“        ”）。    微拨炉：已知两边和一角判定三角形全等时，没有“SSA”定理，即不能错用成“两边及一边对角相等的两个三角形全等”。二、角的平分线1.性质：角的平分线上的点到角的两边的距离        。 2.判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在        。3.三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离        。 微拨炉：1.三角形的角平分线是一条线段，不是射线。2.角的平分线的性质定理和判定定理互为逆定理。注意分清题设和结论。高频考点1、全等三角形的判定与性质【范例】如图，在△中，，，为延长线上一点，点在边上，且，连接、、。（1）求证：△≌△      （2）若，求的度数    得分要领：判定全等三角形的基本思路1.已知两边：（1）找夹角（SAS）；（2）找直角（HL或SAS）；（3）找第三边（SSS）。2.已知两角：（1）找夹边（ASA）；（2）找一边（AAS）。3.已知一边一角：（1）边为角的对边，找一角（AAS）；（2）边为角的邻边①找夹边角（ASA）；②找边的对角（AAS）；③找夹角边（SAS）【考题回放】1.如图，和相交于点，，，求证：∥。    2.如图，已知：在△和△中，点在同一直线上，，，∥。求证：。    3.已知，如图所示：，，于点，于点，求证：。     高频考点2、角平分线的性质与判定【范例】如图，是△中的平分线，于点，，，，则长是（   ）A.3             B.4             C.6            D.5  得分要领：解答与角平分线有关的题目时常作的辅助线：1.过角平分线上一点向角两边作垂线，构造相等线段。2.过角平分线上一点，作与角的一边平行的直线，构造等腰三角形。3.过角平分线上一点，作角平分线的垂线，构造等腰三角形。4.遇与角平分线垂直的线段时，延长垂线段与角的另一边相交，构造等腰三角形。【考题回放】1.如图，△中，，，分别是其角平分线和中线，过点作于，交，连接，则线段的长为（   ）A.             B.            C.           D. 2.已知是的平分线，点在上，，，垂足分别为点，，则的长度为        。3.如图，△中，，。（1）用尺规作图作边上的中垂线，交于点，交于点（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）。（2）连接，求证：平分。              高频考点3、尺规作图【范例】如图，已知线段及，只用直尺和圆规，求作△，使，，（在指定作图区域作图，保留作图痕迹，不写作法）。                                                                                                                                                                        得分要领：利用“尺规”作三角形的“五种类型”1.已知三角形的三边，求作三角形。2.已知三角形的两边及其夹角，求作三角形。3.已知三角形的两角及其夹边，求作三角形。4.已知三角形的两角及其中一角的对边，求作三角形。5.已知直角三角形的一直角边和斜边，求作三角形。【考题回放】1.用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹。已知；线段，。求作：△，使，。  2.如图，在△中，先作的角平分线交于点，再以边上的一点为圆心，过两点作⊙（用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）。      3.如图，点在△的边上，且。（1）作的平分线，交于点（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）。（2）在（1）的条件下，判断直线与直线的位置关系（不要求证明）。        4.如图，在Rt△中，。（1）用尺规在边上作一点，使（不写作法，保留作图痕迹）。（2）连接，当为        度时，平分。                【错误诊断】分析下面解题的错误并纠正在右边【例题】已知，如图，，点为射线，上的动点（点不与点重合），且，在的内部、△的外部有一点，且，。（1）求的长。             （2）求证：点在的平分线上。解：（1）过点作于点。∵      ∴   ∴          ………………①在Rt△中，设，则则有   解得：∵   ∴   即   …………②（2）∵∴点在的平分线上………………………③【规避策略】1.理解定理的条件。在运用角的平分线的判定定理时，一定要注意“距离”必须有垂直的条件，这是正确应用定理的前提。2.显现基本图形。通过作辅助线，显现出角的平分线定理的基本图形，为正确应用定理奠定基础。 【实战演练】1.如图，在△中，，，是高和的交点，则的长是（   ）A.4             B.6             C.8              D.9             第1题                                  第2题2.如图，直线表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有（   ）A.1处            B.2处             C.3处            D.4处3.如图，在△和△中，，，请你添加一个条件，使得△和△全等，并加以证明。你添加的条件是        。4.在Rt△中，，cm，，在上取一点，使，过点作交的延长线于点，若cm，则        cm。5.如图，∥，的平分线与的平分线相交于点，作于点。若，则两平行线与间的距离为        。6.如图，Rt△中，，是边上一点，点分别是线段中点，连接。求证：△≌△。    7.如图，在梯形中，∥，对角线平分，的平分线交于分别是的中点。求证：。   8.不再添加其他线段，如图，△与△中，与相交于点，，请你添加一个条件，不再标注或使用其他字母，使，并给出证明。你添加的条件是：             。 9.如图，，请在不添加辅助线的情况下，添加一个适当的条件，使△≌△并证明。（1）添加的条件是       。（2）证明你的结论。     【限时小测】建议用时30分钟。总分50分一、选择题（每小题3分，共12分）1.如图，已知点在同一条直线上，，，要使△≌△，还需要添加一个条件是（   ）A.         B.        C.∥            D.2.如图，已知△中，，，点是高和的交点，则线段的长度为（   ）A.4          B.5          C.         D.  3.如图，在Rt△中，，，是的平分线，于点。cm，则△的周长是（   ）A.10cm          B.8cm          C.12cm          D.9cm 4.如图，在△和△中，点在边上，边交边于点。若，，，则等于（   ）A.        B.        C.        D.二、填空题（每小题4分，共12分）5.如图，，要使△≌△，应添加的条件是        （添加一个条件即可）。               第5题                                  第6题6.如图，在Rt△中，，的平分线交于点，，，则△的面积是        。7.点是△内一点，且点到三边的距离相等，，则的度数是        。三、解答题（共26分）8.（12分）如图，在Rt△中，，平分，于点。若，，。（1）求的长。   （2）求△的面积。        【培优训练】9.（14分）已知，如图2，∠1＝∠2，P为BN上一点，且PD⊥BC于D，AB+BC＝2BD，求证：∠BAP+∠BCP＝180°。