人教版 九年级数学中考总复习30讲（一轮复习）第21讲 矩形、菱形、正方形 教学案（无答案）

第21讲  矩形、菱形、正方形【考点总汇】一、矩形的性质和判定1.判定：（1）有一个角是        的平行四边形（定义）。（2）对角线        的平行四边形。（3）有三个角是        的四边形。2.性质：除具有平行四边形的性质外，还有：（1）矩形的四个角都是        。（2）矩形的对角线        。（3）既是        图形，又是轴对称图形。       微拨炉：1.判定是否是矩形，要看已知条件是四边形还是平行四边形。2.对角线相等的四边形不一定是矩形。二、菱形的性质和判定1.判定：（1）有一组邻边        的平行四边形（定义）。（2）对角线互相        的平行四边形。（3）四条边都        的四边形。 2.性质：除具有平行四边形的性质外，还有：（1）菱形的四条边都        。（2）菱形的两条对角线互相        ，并且每一条对角线平分        。（3）菱形的面积等于两条对角线乘积的        。（4）既是        图形，又是轴对称图形。微拨炉：1. 对角线垂直的四边形不一定是菱形。2.菱形的两条对角线可将菱形转化成四个全等的直角三角形，而不是等腰三角形。三、正方形的性质和判定1.判定：（1）有一组邻边        并且有一个角是        的平行四边形（定义）。（2）一组邻边        的矩形。（3）一个角是        的菱形。（4）对角线        的平行四边形。2.性质：（1）正方形的四个角都是        。（2）正方形的四条边都        。（3）正方形的两条对角线        且互相        ，每一条对角线平分一组对角。（4）既是        对称图形，又是轴对称图形。微拨炉：1.正方形是特殊的矩形和菱形，它具有矩形、菱形和平行四边形的所有性质。2.正方形的两条对角线分正方形成四个全等的等腰直角三角形。 高频考点1、矩形的性质与判定【范例】如图，四边形的对角线交于点，已知是的中点，，∥，（1）求证：△≌△。（2）若，则四边形是什么特殊四边形？请证明你的结论。       得分要领：矩形性质的应用1.从角上看，矩形的四个角都是直角，可将矩形问题转化为直角三角形的问题去解决。2.从对角线上看：对角线将矩形分为四个面积相等的等腰三角形，可将矩形问题转化为等腰三角形的问题去解决。 【考题回放】1.如图，一个矩形纸片，剪去部分后得到一个三角形，则图中的度数是（   ）A.30         B.60        C.90         D.1202.如图，在矩形中，对角线相交于点，，则的大小为（   ）A.30          B.60          C.90          D.120                   第2题                           第3题3.如图，在矩形中，，，则的长为        。4.如图，将矩形纸片折叠，使边均落在对角线上，得折痕，        。       第4题                          第5题5.如图，在矩形中，，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，若，则矩形的面积为        。6.如图，是矩形内的任意一点，连接，得到△△△△设它们的面积分别是，给出如下结论：①；②③若，则；④若，则P点在矩形的对角线上。其中正确的结论的序号是                。（把所有正确结论的序号都填在横线上）   高频考点2、菱形的性质与判定【范例】如图，在RT△中，，,将△绕点按顺时针方向旋转度后，得到△，点刚好落在边上。（1）求的值。（2）若是的中点，判断四边形的形状，并说明理由。       得分要领：菱形判定方法的选择1.若四边形（或可证）为平行四边形，则再证一组邻边相等或对角线互相垂直。2.若相等的边较多（或容易证出）时，可证四条边相等。【考题回放】1.如图，已知菱形的边长等于2，，则对角线的长为（   ）A.1           B.           C.2          D. 2.菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的边长是（   ）A.10          B.8           C.6          D.5 3.如图，在菱形中，分别在上，且，与交于点，连接。若，则的度数为（   ）A.28          B.52          C.62          D.724.一个平行四边形的一条边长为3，两条对角线的长分别为4和，则它的面积为        。  5.如图，矩形的对角线相交于点，∥，∥。（1）求证：四边形为菱形。（2）连接与相等吗？请说明理由。        高频考点3、正方形的性质与判定【范例】如图，正方形中，分别为上的点，且，垂足为点。求证：。    得分要领：判定一个四边形是正方形的步骤为：（1）先证它是平行四边形；（2）再证有一组邻边相等（或一个角是直角）；（3）最后证它有一个角是直角（或有一组邻边相等）。【考题回放】1.如图，正方形的对角线长为，若直线满足：（1）点到直线的距离为，（2）两点到直线的距离相等，则符合题意的直线的条数为（   ）A.1          B.2          C.3           D.42.如图，在正方形外侧，作等边三角形，相交于点，则为（   ）A.45         B.55         C.60         D.753.如图，已知正方形，把边绕点顺时针旋转30到处，连接。写出图中所有的等腰三角形，并写出推理过程。     【错误诊断】分析下面解题的错误并纠正在右边【例题】如图，菱形的对角线交于点，，，，，垂足分别为。求证：四边形是矩形。证明：∵四边形是菱形∴       ……………………①∵，   ∴同理：，∴，       ……………②∴四边形是平行四边        …………③∵，   ∴∴ 即………④∴□EMFN是矩形                    ………⑤【规避策略】正确认识图形。几何证明题要充分利用图形中的条件，但不能想当然地人为制造条件。如本题在没有明确两条线段在同一条直线上的前提下，就将两条线段的和当成四边形的对角线，就是人为地制造条件。 【实战演练】1.如图，矩形的对角线cm，，则的长为（   ）A.cm          B.2cm          C.cm          D.4cm   2.如图，顺次连接四边形各边中点得四边形，要使四边形为菱形，应添加的条件是（   ）A.∥         B.          C.        D.     第2题                           第3题3.如图，四边形是正方形，△绕着点旋转90后到达△的位置，连接，△的形状是（   ）A.等腰三角形         B.直角三角形          C.等腰直角三角形          D.等边三角形4.如图，四边形和四边形是两个矩形，点在边上，若矩形和矩形的面积分别是，则的大小关系是（   ）A.        B.        C.        D.     第4题                               第5题5.如图，在Rt△中，，，，为斜边上一点，以为边作平行四边形，当        时，平行四边形为菱形。6.如图，在菱形中，，cm，以为边在菱形的外部作正三角形，连接，则        cm。              第6题                             第7题7.如图，菱形的对角线相交于点，且，，过点作，垂足为，则点到边的距离        。8.已知菱形的对角线的长度是关于的方程的两个实数根，则此菱形的面积是        。9.如图，在菱形中，，点分别在边和上。（1）如图1，若是的中点，，求证：。（2）如图2，若，求证：△是等边三角形。        10.在矩形中，cm，cm，将四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形。（1）证明四边形是矩形。（2）试计算线段的长度。          【限时小测】建议用时30分钟。总分50分一、选择题（每小题3分，共12分）1.如图，矩形中，，。过对角线交点作交于，则的长是（   ）A.1.6           B.2.5           C.3           D.3.4            第1题                           第2题2.如图，小红在作线段的垂直平分线时，是这样操作的：分别以点为圆心，大于线段长度一半的长为半径画弧，相交于点，则直线即为所求。连接，根据她的作图方法可知，四边形一定是（   ）A.矩形         B.菱形          C.正方形         D.不确定3.如图，把矩形沿翻折，点恰好落在边的处，若，，，则矩形的面积是（   ）A.12           B.24          C.          D.            第3题                          第4题4.如图，在边长为2的正方形中，为边的中点，延长至点，使，以为边作正方形，点在边上，则的长为（   ）A.      B.      C.      D.  二、填空题（每小题4分，共12分）5.如图所示，将△绕的中点喱针按旋转180得到△，添加一个条件        ，使四边形-为矩形。               第5题                   第6题                            第7题6.如图，在菱形中，，的垂直平分线交对角线于点，垂足为，连接，则的度数是        。7.如图，在边长为4cm的正方形中，为上一点，于点，于点，则        cm。三、解答题（共26分）8.（12分）如图，在矩形中，分别是的中点，分别是的中点。（1）求证△≌。（2）四边形是什么样的特殊四边形？并加以证明你的结论。            【培优训练】9.（14分）一种电讯信号转发装置的发射直径为31km。现要求：在一边长为30km的正方形城区选择若干个安装点，每个点安装一个这种转发装置，使这些装置转发的信号能完全覆盖这个城市。问：（1）能否找到这样的4个安装点，使得这些点安装了这种转发装置后能达到预设的要求？在图1中画出安装点的示意图，并用大写字母表示安装点。（2）能否找到这样的3个安装点，使得在这些安装了这种转发装置后能达到预设的要求？在图2中画出示意图说明，并用大写字母表示安装点，用计算、推理和文字来说明你的理由。