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北师大版第一章 勾股定理1 探索勾股定理教案及反思
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这是一份北师大版第一章 勾股定理1 探索勾股定理教案及反思，共18页。教案主要包含了勾股定理的探索，利用勾股定理求边长，勾股定理的验证，、课堂运用，、课堂小结，、课后作业等内容，欢迎下载使用。
第1讲
讲
探索勾股定理
通过对本节课的学习，你能够：
了解勾股定理的探索过程,增强记忆.
应用勾股定理求直角三角形边长.
能够用面积法验证勾股定理.
知识讲解
考点1 勾股定理（毕达哥拉斯定理）
定义：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2＋b2＝c2.
勾股定理的适用条件：直角三角形；它反映了直角三角形三边关系．
数学表达式：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，则a2＋b2＝c2.
由勾股定理的基本关系式：a2＋b2＝c2可得到一些变形关系式：
c2＝a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab；a2＝c2－b2＝(c＋b)(c－b)等．
利用勾股定理求直角三角形边长的方法：
一般都要经过“一分二代三化简”这“三步曲”：即一分：分清哪条边是斜边、哪些边是直角边；二
代：代入a2＋b2＝c2；三化简．
典例精析
若一个直角三角形的两直角边的长分别为a，b，斜边长为c，则下列关于a，b，c的关系式中不正确的是( )
A．b2＝c2－a2 B．a2＝c2－b2
C．b2＝a2－c2 D．c2＝a2＋b2
(中考·淮安)如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B都是格点，则线段 AB的长度为( )
A．5 B．6 C．7 D．25
考点2 勾股定理与图形的面积
与直角三角形三边相连的正方形、半圆及正多边形、圆都具有相同的结论：两直角边上图形面积的和等于斜边上图形的面积．
典例精析
〈新疆〉如图，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，其中两个半圆的面积S1＝π， S2 ＝ 2π，则S3＝________．
如图，字母B所代表的正方形的面积是( )
A．12 B．13
C．144 D．194
如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为3和4，则b的面积为( )
A．16 B．12 C．9 D．7
考点3 验证勾股定理
常用方法：通过拼图法利用求面积来验证．这种方法是以数形转换为指导思想，图形拼补为手段，以各部分面积之间的关系为依据而达到目的的．
用拼图法验证勾股定理的思路：
(1)图形经过割补、拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变；
(2)根据同一种图形的面积的不同表示方法列出等式；
(3)利用等式性质验证结论成立，即拼出图形→写出图形面积的表达式→找出等量关系→恒等变形→推导结论．
典例精析
1.历史上对勾股定理的一种验证方法采用了如图所示的图形，其中两个全等直角三角形的边AE，EB在一条直线上，其中用到的面积相等的关系式是( )
A．S△EDA＝S△CEB
B．S△EDA＋S△CEB＝S△CDE
C．S四边形CDAE＝S四边形CDEB
D．S△EDA＋S△CDE＋S△CEB＝S四边形ABCD
2．如图是一张直角三角形纸片，两直角边AC＝6 cm，BC＝8 cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为( )
A．4 cm B．5 cm C．6 cm D．10 cm
3.(中考•绍兴)如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙脚的距离为0.7 m，顶端距离地面2.4 m．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2 m，则小巷的宽度为( )
A．0.7 m B．1.5 m
C．2.2 m D．2.4 m
如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC在网格中，顶点均为格点．求点A到直线BC的距离．
如图，AD是△ABC的中线，试说明AB2＋AC2＝2(AD2＋CD2)．
类型一 勾股定理的探索
例题1
如图，Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=15cm，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为（ ）．
A．150 B．200 C．225 D．无法计算
【解析】
【总结与反思】
例题2
如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则所有正方形的面积的和是（ ）
A、28 B、49 C、98 D、147
【解析】
【总结与反思】
类型二 利用勾股定理求边长
例题1
在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝12，b＝16，则c的长为（ ）
A.26 B.18 C.20 D.21
【解析】
【总结与反思】
如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠DBC=90°，若AD=4cm，AB=3cm，BC=12cm，则四边形ABCD的面积 ．
【解析】
【总结与反思】
例题2
如图，在矩形纸片ABCD中，AB=12，BC=5，点E在AB上，将△DAE沿DE折叠，使点A落在对角线BD上的点A′处，则AE的长为（ ）
A、 B、3 C、5 D、
【解析】
【总结与反思】
类型三 勾股定理的验证
例题1
数学实验室：
实验材料：硬纸板、剪刀、三角板
实验方法：剪裁、拼图、探索
实验目的：验证勾股定理，拼图填空：
操作：剪裁出若干个全等的直角三角形，三边长分别记为a、b、c，如图①。
（1）拼图一：分别用4张直角三角形纸片，拼成如图②、图③的形状，观察图②、图③可发现，图②中两个小正方形的面积之和 图③中小正方形的面积，（填“大于”“小于”“等于”）用关系式可表示为
（2）拼图二：用4张直角三角形纸片拼成如图④的形状，观察图形可以发现，图中共有3个正方形，它们的面积按大小顺序分别记为，其关系是 ，用a、b、c可表示为 .
（3）拼图三：用8张直角三角形纸片拼成如图⑤的形状，图中3个正方形的面积按大小顺序分别记为，其关系是 ，用a、b、c可表示为 .
【解析】
【总结与反思】
四 、课堂运用
基础
1.一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端5米，消防车的云梯最大升长为13米，则云梯可以达到该建筑物的最大高度是（ ）
A．12米 B．13米 C．14米 D．15米
2.把直角三角形的两直角边均扩大到原来的两倍，则斜边扩大到原来的( )
A．8倍 B．4倍 C．2倍 D．6倍
3.一直角三角形的斜边比一直角边大4，另一直角边长为8，则斜边长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
4.若一个直角三角形的三边长分别为a，b，c，且a2=9，b2=16，则c2为（ ）
A．25 B．7 C．7或25 D．9或16
5.如图，将三个大小不同的正方形如图放置，顶点处两两相接，若正方形A的边长为4，C的边长为3，则B的边长为 ．
巩固
1.已知一直角三角形的木板，三边的平方和为800 cm2，则斜边长为 ．
2.已知三角形ABC中∠C=90°，AC=3，BC=4，则斜边AB上的高为
3.已知直角三角形的斜边为20cm，两条直角边之比为3∶4，那么这个直角三角形的周长为（ ）
A . 27cm B. 30cm C. 40cm D. 48cm
拔高
1.在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是,,，则 ．
2.已知Rt△ABC中，∠C=90°，a+b=14，c=10，则Rt△ABC的面积是（ ）
A、24 B、36 C、48 D、60
3.如图，矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝24cm，如果将该矩形沿对角线BD折叠，那么图中阴影部分△BDE的面积 cm2．
五 、课堂小结
六 、课后作业
基础
1．如图：一个长、宽、高分别为4cm、3cm、12cm的长方体盒子能容下的最长木棒长为（ ）
A．11cm B．12cm C．13cm D．14cm
2.如图，有两棵树，一棵高10m，另一棵高4m，两树相距8m．一只小鸟从一棵树的树尖飞到另一棵树的树尖，那么这只小鸟至少要飞行 m．
3.已知直角三角形斜边长为12㎝，周长为30㎝，则此三角形的面积为 .
巩固
1.已知△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于D.
B
A
C
D
（1）若∠A＝38º，求∠DCB的度数；
（2）若AB＝5，CD＝3，求BC²的长.
2.如图，以等腰三角形AOB的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形，再以等腰直角三角形的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角形，…，如此作下去，若OA=OB=1，则第n个等腰直角三角形的面积= ．
3.如图所示，直角三边形三边上的半圆面积从小到大依次记为、、，则、、的关系是（ ）
A、+= B、
C、 D、
拔高
1. 如图，
1.如图，折叠长方形的一边AD使点D落在BC边的点F处，已知AB = 8cm，BC = 10 cm，则EC的长为 cm．
2.等腰三角形的腰长是10，一腰上的高为6，则底边的平方为（ ）．
A．40 B．80 C．40或360 D．80或360
3.如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，若点P在边AC上移动，则BP的最小值是 ．
第1讲
讲
探索勾股定理
通过对本节课的学习，你能够：
了解勾股定理的探索过程,增强记忆.
应用勾股定理求直角三角形边长.
能够用面积法验证勾股定理.
知识讲解
考点1 勾股定理（毕达哥拉斯定理）
定义：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2＋b2＝c2.
勾股定理的适用条件：直角三角形；它反映了直角三角形三边关系．
数学表达式：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，则a2＋b2＝c2.
由勾股定理的基本关系式：a2＋b2＝c2可得到一些变形关系式：
c2＝a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab；a2＝c2－b2＝(c＋b)(c－b)等．
利用勾股定理求直角三角形边长的方法：
一般都要经过“一分二代三化简”这“三步曲”：即一分：分清哪条边是斜边、哪些边是直角边；二
代：代入a2＋b2＝c2；三化简．
典例精析
若一个直角三角形的两直角边的长分别为a，b，斜边长为c，则下列关于a，b，c的关系式中不正确的是( )
A．b2＝c2－a2 B．a2＝c2－b2
C．b2＝a2－c2 D．c2＝a2＋b2
(中考·淮安)如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B都是格点，则线段 AB的长度为( )
A．5 B．6 C．7 D．25
考点2 勾股定理与图形的面积
与直角三角形三边相连的正方形、半圆及正多边形、圆都具有相同的结论：两直角边上图形面积的和等于斜边上图形的面积．
典例精析
〈新疆〉如图，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，其中两个半圆的面积S1＝π， S2 ＝ 2π，则S3＝________．
如图，字母B所代表的正方形的面积是( )
A．12 B．13
C．144 D．194
如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为3和4，则b的面积为( )
A．16 B．12 C．9 D．7
考点3 验证勾股定理
常用方法：通过拼图法利用求面积来验证．这种方法是以数形转换为指导思想，图形拼补为手段，以各部分面积之间的关系为依据而达到目的的．
用拼图法验证勾股定理的思路：
(1)图形经过割补、拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变；
(2)根据同一种图形的面积的不同表示方法列出等式；
(3)利用等式性质验证结论成立，即拼出图形→写出图形面积的表达式→找出等量关系→恒等变形→推导结论．
典例精析
1.历史上对勾股定理的一种验证方法采用了如图所示的图形，其中两个全等直角三角形的边AE，EB在一条直线上，其中用到的面积相等的关系式是( )
A．S△EDA＝S△CEB
B．S△EDA＋S△CEB＝S△CDE
C．S四边形CDAE＝S四边形CDEB
D．S△EDA＋S△CDE＋S△CEB＝S四边形ABCD
2．如图是一张直角三角形纸片，两直角边AC＝6 cm，BC＝8 cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为( )
A．4 cm B．5 cm C．6 cm D．10 cm
3.(中考•绍兴)如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙脚的距离为0.7 m，顶端距离地面2.4 m．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2 m，则小巷的宽度为( )
A．0.7 m B．1.5 m
C．2.2 m D．2.4 m
如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC在网格中，顶点均为格点．求点A到直线BC的距离．
如图，AD是△ABC的中线，试说明AB2＋AC2＝2(AD2＋CD2)．
类型一 勾股定理的探索
例题1
如图，Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=15cm，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为（ ）．
A．150 B．200 C．225 D．无法计算
【解析】
【总结与反思】
例题2
如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则所有正方形的面积的和是（ ）
A、28 B、49 C、98 D、147
【解析】
【总结与反思】
类型二 利用勾股定理求边长
例题1
在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝12，b＝16，则c的长为（ ）
A.26 B.18 C.20 D.21
【解析】
【总结与反思】
如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠DBC=90°，若AD=4cm，AB=3cm，BC=12cm，则四边形ABCD的面积 ．
【解析】
【总结与反思】
例题2
如图，在矩形纸片ABCD中，AB=12，BC=5，点E在AB上，将△DAE沿DE折叠，使点A落在对角线BD上的点A′处，则AE的长为（ ）
A、 B、3 C、5 D、
【解析】
【总结与反思】
类型三 勾股定理的验证
例题1
数学实验室：
实验材料：硬纸板、剪刀、三角板
实验方法：剪裁、拼图、探索
实验目的：验证勾股定理，拼图填空：
操作：剪裁出若干个全等的直角三角形，三边长分别记为a、b、c，如图①。
（1）拼图一：分别用4张直角三角形纸片，拼成如图②、图③的形状，观察图②、图③可发现，图②中两个小正方形的面积之和 图③中小正方形的面积，（填“大于”“小于”“等于”）用关系式可表示为
（2）拼图二：用4张直角三角形纸片拼成如图④的形状，观察图形可以发现，图中共有3个正方形，它们的面积按大小顺序分别记为，其关系是 ，用a、b、c可表示为 .
（3）拼图三：用8张直角三角形纸片拼成如图⑤的形状，图中3个正方形的面积按大小顺序分别记为，其关系是 ，用a、b、c可表示为 .
【解析】
【总结与反思】
四 、课堂运用
基础
1.一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端5米，消防车的云梯最大升长为13米，则云梯可以达到该建筑物的最大高度是（ ）
A．12米 B．13米 C．14米 D．15米
2.把直角三角形的两直角边均扩大到原来的两倍，则斜边扩大到原来的( )
A．8倍 B．4倍 C．2倍 D．6倍
3.一直角三角形的斜边比一直角边大4，另一直角边长为8，则斜边长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
4.若一个直角三角形的三边长分别为a，b，c，且a2=9，b2=16，则c2为（ ）
A．25 B．7 C．7或25 D．9或16
5.如图，将三个大小不同的正方形如图放置，顶点处两两相接，若正方形A的边长为4，C的边长为3，则B的边长为 ．
巩固
1.已知一直角三角形的木板，三边的平方和为800 cm2，则斜边长为 ．
2.已知三角形ABC中∠C=90°，AC=3，BC=4，则斜边AB上的高为
3.已知直角三角形的斜边为20cm，两条直角边之比为3∶4，那么这个直角三角形的周长为（ ）
A . 27cm B. 30cm C. 40cm D. 48cm
拔高
1.在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是,,，则 ．
2.已知Rt△ABC中，∠C=90°，a+b=14，c=10，则Rt△ABC的面积是（ ）
A、24 B、36 C、48 D、60
3.如图，矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝24cm，如果将该矩形沿对角线BD折叠，那么图中阴影部分△BDE的面积 cm2．
五 、课堂小结
六 、课后作业
基础
1．如图：一个长、宽、高分别为4cm、3cm、12cm的长方体盒子能容下的最长木棒长为（ ）
A．11cm B．12cm C．13cm D．14cm
2.如图，有两棵树，一棵高10m，另一棵高4m，两树相距8m．一只小鸟从一棵树的树尖飞到另一棵树的树尖，那么这只小鸟至少要飞行 m．
3.已知直角三角形斜边长为12㎝，周长为30㎝，则此三角形的面积为 .
巩固
1.已知△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于D.
B
A
C
D
（1）若∠A＝38º，求∠DCB的度数；
（2）若AB＝5，CD＝3，求BC²的长.
2.如图，以等腰三角形AOB的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形，再以等腰直角三角形的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角形，…，如此作下去，若OA=OB=1，则第n个等腰直角三角形的面积= ．
3.如图所示，直角三边形三边上的半圆面积从小到大依次记为、、，则、、的关系是（ ）
A、+= B、
C、 D、
拔高
1. 如图，
1.如图，折叠长方形的一边AD使点D落在BC边的点F处，已知AB = 8cm，BC = 10 cm，则EC的长为 cm．
2.等腰三角形的腰长是10，一腰上的高为6，则底边的平方为（ ）．
A．40 B．80 C．40或360 D．80或360
3.如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，若点P在边AC上移动，则BP的最小值是 ．
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