北师大版八年级上册3 勾股定理的应用教学设计及反思

这是一份北师大版八年级上册3 勾股定理的应用教学设计及反思，共19页。教案主要包含了知识导图，总结与反思等内容，欢迎下载使用。

第3讲


讲




















勾股定理的应用














通过对本节课的学习，你能够：


利用勾股定理解决实际生活中的一些问题.


掌握几何体的表面展开图，会判断最短路径.


























概 述

















【知识导图】











教学过程











一、导入








如图：在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在B处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A处爬向B处，你们想一想，蚂蚁怎么走最近？





二、知识讲解








考点1 生活中的立体图形





考点1 圆柱体表面上两点间的最短距离








A B








C D


C





第一环节：情境引入


情景1：


提出问题：从A到D怎样走最近？


情景2：


如图：在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在B处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A处爬向B处，已知圆柱体高为12cm，底面半径为3cm，你们想一想，蚂蚁怎么走最近？


意图：


通过情景1复习公理：两点之间线段最短；情景２的创设引入新课，激发学生探究热情．


效果：


从学生熟悉的生活场景引入，提出问题，学生探究热情高涨，为下一环节奠定了良好基础．


第二环节：合作探究


内容：


学生分为４人活动小组，合作探究蚂蚁爬行的最短路线，充分讨论后，汇总各小组的方案，在全班范围内讨论每种方案的路线计算方法，通过具体计算，总结出最短路线．让学生发现：沿圆柱体母线剪开后展开得到矩形，研究“蚂蚁怎么走最近”就是研究两点连线最短问题，引导学生体会利用数学解决实际问题的方法．


意图：


通过学生的合作探究，找到解决“蚂蚁怎么走最近”的方法，将曲面最短距离问题转化为平面最短距离问题并利用勾股定理求解．在活动中体验数学建摸，培养学生与人合作交流的能力，增强学生探究能力，操作能力，分析能力，发展空间观念．


效果：


学生可能汇总以下四种方案：





A’


A’





A’














（1） （2） （3） （4）


学生很容易算出：情形（1）中A→B的路线长为：，


情形（2）中A→B的路线长为：


所以情形（1）的路线比情形（2）要短．


学生在情形（3）和（4）的比较中出现困难，但还是有学生提出用剪刀沿母线AA’剪开圆柱得到矩形，情形（3）A→B是折线，而情形（4）是线段，故根据两点之间线段最短可判断（4）较短，最后通过计算比较（1）和（4）即可．


如图：


（1）中A→B的路线长为：．


（2）中A→B的路线长为：>AB．


（3）中A→B的路线长为：AO+OB>AB．


（4）中A→B的路线长为：AB．


得出结论：利用展开图中两点之间，线段最短解决问题．在这个环节中，可让学生沿母线剪开圆柱体，具体观察．接下来后提问：怎样计算AB？


在Rt△AA′B中，利用勾股定理可得，已知圆柱体高为12cm，底面半径为3cm，π取3，则．


注意事项：本环节的探究把圆柱侧面寻最短路径拓展到了圆柱表面，目的仅仅是让学生感知最短路径的不同存在可能．但这一拓展使学生无法去论证最短路径究竟是哪条．因此教学时因该在学生在圆柱表面感知后，把探究集中到对圆柱侧面最短路径的探究上．


方法提炼：解决实际问题的关键是根据实际问题建立相应的数学模型，解决这一类几何型问题的具体步骤大致可以归纳如下：


1．审题——分析实际问题；


2．建模——建立相应的数学模型；


3．求解——运用勾股定理计算；


4．检验——是否符合实际问题的真实性．


考点2 勾股定理的其他应用














三 、例题精析





李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD边和BC边是否分别垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺，


（1）你能替他想办法完成任务吗？


（2）李叔叔量得AD长是30厘米，AB长是40厘米，BD长是50厘米，AD边垂直于AB边吗？为什么？


（3）小明随身只有一个长度为20厘米的刻度尺，他能有办法检验AD边是否垂直于AB边吗？BC边与AB边呢？


解答：（2）








∴AD和AB垂直．


意图：


运用勾股定理逆定理来解决实际问题，让学生学会分析问题，利用允许的工具灵活处理问题．


效果：


先鼓励学生自己寻找办法，再让学生说明李叔叔的办法的合理性．当刻度尺较短时，学生可能会在上面解决问题的基础上，想出多种办法，如利用分段相加的方法量出AB，AD和BD的长度，或在AB，AD边上各量一段较小长度，再去量以它们为边的三角形的第三边，从而得到结论．





三 、例题精析

















类型一圆柱体表面上两点间的最短距离


1.有一圆柱体高为10cm，底面圆的半径为4cm．在AA1上有一只蚂蚁Q，QA=3cm；在BB1上有一滴蜂蜜P，PB1=2cm．若蚂蚁想要沿圆柱体侧面爬到P点吃蜂蜜，则爬行的最短路径长为________（π取整数3）





【解析】








【总结与反思】











2.如图所示，有一根高为2m的木柱，它的底面周长为0.3m，为了营造喜庆的气氛，老师要求小明将一根彩带从柱底向柱顶均匀地缠绕圈，一直缠到起点的正上方为止．问：小明至少需要准备一根多长的彩带？

















【解析】








【总结与反思】














类型二勾股定理的其他应用


1.如图，居民楼与马路是平行的，在一楼的点A处测得它到马路的距离为9m，已知在距离载重汽车41m处就可受到噪声影响．





（1）试求在马路上以4m/s速度行驶的载重汽车，能给一楼A处的居民带来多长时间的噪音影响？


（2）若时间超过25秒，则此路禁止该车通行，你认为载重汽车可以在这条路上通行吗？


【解析】








【总结与反思】














基础











1. 如图，一根藤蔓一晚上生长的长度是沿树干爬一圈后由点A上升到点B，已知AB=5cm，树干的直径为4cm．计算出藤蔓一晚上生长的最短长度是（ ）（π取整数3）
































2.如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为（ ）cm．











3.如图，甲轮船以16海里／时的速度离开港口O，向东南方向航行，乙轮船在同时同地，向西南方向航行．已知：它们离开港口O一个半小时后，相距30海里，求：乙轮船每小时航行多少海里?


























巩固








1.有一圆柱体高为10cm，底面圆的半径为4cm．在AA1上有一只蚂蚁Q，QA=3cm；在BB1上有一滴蜂蜜P，PB1=2cm．若蚂蚁想要沿圆柱体侧面爬到P点吃蜂蜜，则爬行的最短路径长为________（π取整数3）

















2.如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，BC=5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是_______．

















3.如图，某沿海开放城市A接到台风警报，在该市正南方向100km的B处有一台风中心，沿BC方向以20km/h的速度向D移动，已知城市A到BC的距离AD=60km，那么台风中心经过多长时间从B点移到D点？如果在距台风中心30km的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险?























拔高








1.如图，圆柱形容器高为18cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为 cm．（容器的厚度忽略不计）

















2.图①所示的正方体木块棱长为6cm，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪掉一角，得到如图②的几何体，一只蚂蚁沿着图②的几何体表面从顶点A爬行到顶点B的最短距离为________cm.




















3．如图，台风中心位于点O处，并沿东北方向（北偏东45°），以40千米/小时的速度匀速移动，在距离台风中心50千米的区域内会受到台风的影响，在点O的正东方向，距离602千米的地方有一城市A．





（1）问：A市是否会受到此台风的影响，为什么？


（2）在点O的北偏东15°方向，距离80千米的地方还有一城市B，问：B市是否会受到此台风的影响？若受到影响，请求出受到影响的时间；若不受到影响，请说明理由．





























五 、课堂小结






































六 、课后作业











基础





1.如图，一圆柱高8 cm，底面半径为6πcm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程是（ ）





A．6 cm B．8 cm C．10 cm D．12 cm











2.如图，一只蚂蚁从长、宽都是3cm，高是8cm的长方体纸盒的A点沿纸盒面爬到B点，那么它所行的最短路线的长是（ ）


A


B








A、（3+8）cm B、10cm C、14cm D、无法确定





























3. 11世纪的一位阿拉伯数学家曾提出一个“鸟儿捉鱼”的问题


小溪边长着两棵棕榈树，恰好隔岸相望．一棵树高是30肘尺（肘尺是古代的长度单位），另外一棵高20肘尺；两棵棕榈树的树干间的距离是50肘尺．每棵树的树顶上都停着一只鸟．忽然，两只鸟同时看见棕榈树间的水面上游出一条鱼，它们立刻飞去抓鱼，并且同时到达目标．问这条鱼出现的地方离开比较高的棕榈树的树根有多远？（请画出示意图解答）




















巩固








1.如图圆柱形玻璃杯高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁A，离杯口上沿4cm与蜜蜂相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为_______________cm。














2.如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm．A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为 dm．











3.如图，小华将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，则旗杆的高度为 ．























拔高








如图，A.B两个村子在河CD的同侧，A.B两村到河的距离分别为AC＝1km，BD＝3km，且CD＝3km，现要在河边上建一个水厂向A.B两村输送自来水，铺设水管的费用为20000元／km，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设水管的费用最低，并求出铺设水管的总费用．
































2.中日钓鱼岛争端持续，我海监船加大钓鱼岛海域的巡航维权力度．如图，OA⊥OB，OA=45海里，OB=15海里，钓鱼岛位于O点，我国海监船在点B处发现有一不明国籍的渔船，自A点出发沿着AO方向匀速驶向钓鱼岛所在地点O，我国海监船立即从B处出发以相同的速度沿某直线去拦截这艘渔船，结果在点C处截住了渔船．





（1）请用直尺和圆规作出C处的位置；


（2）求我国海监船行驶的航程BC的长．




















适用学科
初中数学
适用年级
初二
适用区域
北师版区域
课时时长（分钟）
120
知识点
1.圆柱或长方体表面上两点间的最短距离;


2.勾股定理的其他应用（方程思想的运用）.
教学目标
1.通过观察图形，探索图形间的关系，发展学生的空间观念．


2.在将实际问题抽象成数学问题的过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想．


3.在利用勾股定理解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性．
教学重点
利用数学中的建模思想构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解决实际问题是本节课的重点．
教学难点
利用数学中的建模思想构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解决实际问题是本节课的难点．