初中数学3 确定二次函数的表达式教学设计及反思

这是一份初中数学3 确定二次函数的表达式教学设计及反思，共22页。教案主要包含了教学建议，知识导图等内容，欢迎下载使用。










第8讲


讲














确定二次的函数的表达式


























概述





【教学建议】


二次函数表达式的确定是中考中的必考内容，一般是作为二次函数压轴题的第一问来考的。在教学中，教师要把确定二次函数解析式的三种常见形式（一般式、顶点式、交点式）给学生讲清来龙去脉，要让学生知其然知其所以然，这样在实际做题中才能避免不知如何选择，套用哪种形式的问题。


学生学习本节时可能会在以下两个方面感到困难：


1. 三种解析式的由来；


2. 设哪种解析式；


【知识导图】











教学过程








一、导入





【教学建议】


二次函数是中考数学中最重要的内容之一，属于中考数学的必考内容，也是难点内容，而要想研究二次函数，必须首先知道二次函数的解析式，所以有关二次函数的压轴题的第一问往往都是要根据题意来求二次函数的解析式。教师在教学中一定要重视这块内容，大家都知道，如果二次函数的解析式求错了的话，就没有必要往下做了，做了也得不到分。这就要求我们老师要强调，求二次函数解析式后，一定要用原有的点的坐标代入你所求的二次函数的解析式，以检验所求的二次函数的解析式是否正确。





二、知识讲解








知识点1 用一般式确定二次函数表达式











1.已知抛物线上的三点坐标，可以设函数解析式为，代入后得到一个三元一次方程，解之即可得到的值，从而求出函数解析式，这种解析式叫一般式.


2.用待定系数法确定二次函数表达式的一般步骤：


步骤一：设含有待定系数的二次函数表达式y=ax2+bx+c(a≠0)；


步骤二：将题设中满足二次函数图象的点代入所设表达式，得到关于待定系数a、b、c的方程组；


步骤三：解这个方程组，得到待定系数a、b、c的值；


步骤四：将待定系数的值代入表达式，得到所求函数表达式.





知识点2 用顶点式确定二次函数表达式








已知二次函数的顶点坐标为（h,k）的话，可以设成顶点式：y=a(x-h)2+k（a、h、k为常数且a≠0）


然后再找一点带入二次函数的顶点式，即可求得a的值，最后回代到顶点式即可（提示：最后一般要把二次函数的解析式化成一般式）。





知识点3 用交点式确定二次函数表达式








如果知道抛物线与x轴的两个交点坐标分别为A（x1,0）和B（x2,0）两点，这时可以设二次函数的解析式是，这种形式，我们称为二次函数的交点式。


设出交点式后，只需再找出二次函数图象上的一点，把它带入二次函数的交点式，解方程即可求得a的值，最后回代到交点式即可（提示：最后一般要把二次函数的解析式化成一般式）。








三、例题精析








例题1





【题干】已知二次函数的图象经过点(0,3)，(−3,0)，(2,−5)，且与x轴交于A、B两点。


(1)试确定此二次函数的解析式；


(2)求出抛物线的顶点C的坐标；


(3)判断点P(−2,3)是否在这个二次函数的图象上?如果在，请求出△PAB的面积；如果不在，试说明理由。


【答案】见解析


【解析】(1)设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，


∵二次函数的图象经过点(0,3)，(−3,0)，(2,−5)，


所以，解得：


∴二次函数的解析式为：y=−x2−2x+3，


(2) C(−1,4)，


(3) S△PAB=12×4×3=6.





例题2





【题干】已知抛物线y=ax2+bx+c的图象顶点为(−2,3)，且过(−1,5)，则抛物线的表达式为______.


【答案】y=2x2+8x+11


【解析】设函数的解析式是：y=a(x+2)2+3，把(−1,5)，代入解析式得到a=2，


因而解析式是：y=2(x+2)2+3即y=2x2+8x+11.





例题3





【题干】抛物线y＝ax2＋bx＋c过(-3，0)，(1，0)两点，与y轴的交点为(0，4)，则该抛物线的表达式为 ．


【答案】


【解析】采用待定系数法，将三点分别代入y＝ax2＋bx＋c中得：，解得


所以此抛物线的表达式为.








例题4





【题干】已知二次函数y=ax2+bx+c，函数y与自变量x的部分对应值如下表：


（1）求该二次函数表达式；


（2）求y的最值；


【答案】见解析


【解析】（1）解法一：由于二次函数表达式为：y=ax2+bx+c，根据其表中信息，选取三点坐标代入构成方程组为：


，解得：a=1，b=-4，c=3.


所以该二次函数表达式为：y=x2-4x+3.


解法二：观察图表数据，可知当x=2时，y取最小值为-1，故x=2为该二次函数图象的对称轴，且（2，-1）为该抛物线的顶点，因此可根据顶点式设抛物线为y=a(x-2)2-1，然后将任意一个非顶点坐标（0，3）代入表达式中求得a=1，求得二次函数表达式y=(x-2)2-1


（2）y=x2-4x+3=(x-2)2-1,故当x=2时，y最小值为-1.








四 、课堂运用





【教学建议】


在讲解过程中，教师可以以中考真题入手，重点放在二次函数解析式的三种求法上，先把这三种解析式设法的原理讲清楚，然后再配以典型的例题，把例题讲透，再给学生做针对性的练习。





基础





1.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c，当x=2时，y有最大值4，且过(1，2)点，此抛物线的表达式为 .


【答案】


【解析】因为当x=2时，y有最大值4，所以此抛物线的顶点坐标为（2,4），即可采用顶点式来求此抛物线的表达式，设此抛物线的表达式为，因为它过(1，2)点，所以，解得a=-2，则所求抛物线的表达式，即.





2.有一个二次函数，当x＜-1时，y随x的增大而增大；当x＞-1时，y随x的增大而减小；且当x=-1时，y=3，它的图象经过点（2，0），请用顶点式求这个二次函数的表达式.


【答案】见解析


【解析】由题意根据抛物线的增减性可知其对称轴为x=-1，而当x=-1时，y=3，故可知二次函数的顶点坐标为（-1,3）,设抛物线的表达式为y=a(x+1)2+3，又∵抛物线过点（2,0），


将其代入表达式中得：0=9a+3，即a=.∴该二次函数的表达式为：y=(x+1)2+3=x2-x+.








3.有一个二次函数，当x＜-1时，y随x的增大而增大；当x＞-1时，y随x的增大而减小；且当x=-1时，y=3，它的图象经过点（2，0），请用交点式求这个二次函数的表达式.


【答案】见解析


【解析】根据二次函数的增减性可知抛物线的对称轴为x=-1，


而抛物线过点（2,0），根据其图象对称性，可知抛物线过点（-4,0），


故可根据交点式设抛物线的表达式为y=a(x-2)(x+4).又∵抛物线过（-1,3），


∴3=a(-1-2)(-1+4).解得：a=.


∴该二次函数的表达式为：y=(x-2)(x+4)=x2-x+.





巩固





1.由表格中的信息可知，若设y＝ax2＋bx＋c,则下列y与x之间的函数表达式正确的（ ）


A. y＝x2－x＋4 B. y＝x2－x＋6


C. y＝x2＋x＋4 D. y＝x2＋x＋6


【答案】C


【解析】当x=－1时，(－1)2a=1,解得a=1；当x=0时，c=4；当x=1时，a+b+c=6,把a=1，c=4代入解得b=1；∴所求表达式为y＝x2＋x＋4.





2.抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点为（-1，0），（3，0），其形状与抛物线y=-2x2相同，则y=ax2+bx+c的函数表达式为_______________.


【答案】y=-2x2+4x+6


【解析】根据题意a=-2，所以设所求抛物线表达式为y=-2（x-x1）（x-x2），∴所求表达式为y=-2（x+1）（x-3），化为一般式为：y=-2x2+4x+6．


3.已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A（-1，0），B（1，-2），该图象与x轴的另一个交点为C，则AC长为_______.





【答案】3


【解析】∵二次函数y=x2+bx+c的图象经过点（-1，0），（1，-2），∴1−b+c＝0，1+b+c＝−2，解得b＝−1，c＝−2，∴抛物线的表达式为y=x2-x-2，对称轴为x=由函数的对称性可得C（2，0），∴AC=2-（-1）=3．








拔高





1.抛物线经过点A(1,0)，B（5,0）.


（1）求这个抛物线对应的函数表达式；


（2）记抛物线的顶点为C,设D为抛物线上一点，求使S=3S时点D的坐标.


【答案】见解析


【解析】(1)因为抛物线经过点A(1,0)，B（5,0），所以，解得，所以这个抛物线对应的函数表达式为.


(2)将配方得：，顶点坐标为（3，-2），即C（3，-2），则S==；所以S=，又因为S=，所以，即=6或=-6（舍去，因为此函数的顶点坐标为（3，-2），又因为开口向下，所以函数的最小值是-2，故舍去），，解得x=,故点D的坐标为（，6）或（，6）.





2.如图所示，二次函数y=x2+bx+c的图象经过点M（1，-2），N（-1，6）


（1）求二次函数y=x2+bx+c的表达式；


（2）把Rt△ABC放在坐标系内，其中∠CAB=90°点A、B的坐标分别为（1，0）,（4，0）BC=5,将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在抛物线上时，求△ABC平移的距离.








【答案】见解析


【解析】（1）将M（1，-2），N（-1，6）代入y=x2+bx+c中得故b=-4，c=1.


所以此二次函数的表达式为：y=x2-4x+1.


(2)在Rt△ABC中，因为BC=5，AC=3，所以AC=4,当点C落在抛物线上时,求此时C的坐标，也就是当纵坐标等于4,时，求其在轴正半轴上的横坐标，4=x2-4x+1,


解得：x=


所以△ABC平移的距离为：2+-1=1+。





3.如图所示，抛物线y=ax2+bx+c的顶点为M（-2，-4），与x轴交于A、B两点，且A（-6，0），与y轴交于点C．


（1）求抛物线的函数表达式；


（2）求△ABC的面积。





【答案】见解析


【解析】（1）设此函数的表达式为y=a（x+h）2+k，


∵函数图象顶点为M（-2，-4），


∴y=a（x+2）2-4，


又∵函数图象经过点A（-6，0），


∴0=a（-6+2）2-4


解得a=，


∴此函数的表达式为y=（x+2）2-4，


即y=x2+x-3；


（2）∵点C是函数y=x2+x-3的图象与y轴的交点，


∴点C的坐标是（0，-3），


根据点A（-6，0）和对称轴为x=-2，由函数的对称性可得点B的坐标是（2，0），


则S△ABC=|AB|•|OC|=×8×3=12；











课堂小结





用一般式确定二次函数表达式的方法


一般式：y=ax2+bx+c（a、b、c为常数且a≠0）





用顶点式确定二次函数表达式的方法


顶点式：y=a(x-h)2+k（a、h、k为常数且a≠0），点（h,k）为顶点坐标





3.用交点式确定二次函数表达式的方法


交点式：y=a(x-x1)(x-x2)（a、x1、x2为常数且a≠0）














拓展延伸








基础





1. 抛物线y＝ax2＋bx＋c过(0，0)，(12，0)，(6，3)三点，则此抛物线的表达式是 .





【答案】.


【解析】采用一般式代入计算即可求出。


2. 已知函数抛物线的顶点坐标为(-3，-2)，且过点(1，6)，求此抛物线的解析式。





【答案】


【解析】采用顶点式，代入计算即可。


3.如图1，抛物线的顶点A的坐标为(1，4)，抛物线与x轴相交于B、C两点，与y轴交于点E(0，3)．


（1）求抛物线的表达式；


（2）已知点F(0，－3)，在抛物线的对称轴上是否存在一点G，使得EG＋FG最小，如果存在，求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由。








【答案】见解析


【解析】（1）设抛物线的表达式为y＝a(x－1)2＋4，把点E(0，3)代入得：a(0－1)2＋4＝3，解得，a＝－1，∴y＝－1(x－1)2＋4＝－x2＋2x＋3；（2）存在．点E关于对称轴直线x＝1对称的对称点为E′(2，3)，设过E′F的直线表达式为y＝mx＋n，把E′、F两点坐标代入得，解得，所以直线E′F的表达式为y＝3x－3，把x＝1代入得，y＝0，因此点G的坐标为(1，0)；








巩固





1.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为(2,0)，且经过点(4,1)，如图，直线y= eq \f(1,4)x与抛物线交于A、B两点，直线l为y= –1.


求抛物线的解析式；


在l上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标;若不存在，请说明理由。





【答案】见解析


【解析】（1）设抛物线的解析式为：，把点（4，1）代入，得：，∴；


（2）联立，解得：，，∴A（1，），B（4，1）.


如图，作点A关于y= –1的对称点A′，易得A′的坐标为（1，-），连接A′B，交l于点P，则P是所求的点。


设A′B的解析式为：，其经过A′（1，-）和B（4，1）点，∴，解得：，∴，当y= –1时，，P点的坐标为（，-1）。





2.已知二次函数＝的图象经过A（0，3），B（－4，）两点．


（1）求，的值；


（2）二次函数＝的图象与轴是否存在公共点？若有求公共点的坐标；若没有，请说明理由．


【答案】见解析


【解析】（1）∵二次函数＝的图象经过A（0，3），B（－4，）两点，


∴


解得＝，＝3．


（2）由（1）知，＝，＝3．


∴该二次函数为＝．


在＝中，当＝0时，0＝，解得＝－2，＝8．


∴二次函数＝的图象与轴有两个公共点，分别为（－2，0），（8，0）．








3.如图，经过点A(0，-6)的抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于B(-2，0)，C两点．


（1）求此抛物线的函数表达式和顶点D的坐标；


（2）将（1）中求得的抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移m(m＞0)个单位长度得到新抛物线y1，若新抛物线y1的顶点P在△ABC内，求m的取值范围；








【答案】见解析


【解析】（1）将A（0，-6），B（-2，0）代入y=x2+bx+c，得，解得，所以y=x2-2x-6，所以y=(x-2)2-8，所以D（2，-8）．


（2）根据题意可得：y1=(x-2+1)2-8+m，


∴P（1，-8+m）.


∵在抛物线中易得．


∴直线为，当时，，


∴，解得．





拔高





1.如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴相交于A（－1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，－3）．


（1）求这个二次函数的表达式；


（2）若P是第四象限内这个二次函数图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与BC交于点M，连接PC．


①求线段PM的最大值；


②当△PCM是以PM为一腰的等腰三角形时，求点P的坐标．





【答案】见解析


【解析】（1）设二次函数解析式为y＝a（x＋1）（x－3），


把点C（0，－3）代入，得：－3＝a（0＋1）（0－3），解得a＝1


∴二次函数解析式为y＝（x＋1）（x－3）＝x2－2x－3．


（2）①设BC所在直线的表达式为y＝kx＋b，


将B（3，0），C（0，－3）代入，得EQ \B\lc\{(\a\al(0＝3k＋b,－3＝b))，解得EQ \B\lc\{(\a\al(k＝1,b＝－3))


∴直线BC的表达式为y＝x－3，


再设P点的坐标为（m，m2－2m－3），由于PH⊥x轴于点H，


∴M的坐标为（m，m－3）


∴PM＝（m－3）－（m2－2m－3）＝－m2＋3m


∵－1＜0，∴PM有最大值，


当m＝EQ \F(3,2)时，PM最大＝EQ \F(0－3\S(2),4×(－1))＝EQ \F(9,4)


②设P点的坐标为（x，x2－2x－3），则M的坐标为（x，x－3）


∴PM＝－x2＋3x


当PM＝PC时，－x2＋3x＝EQ \R(,x\S(2)＋\b\bc\((\l(－3－\b\bc\((\l(x\S(2)－2x－3))))\s\up3(2))，解得x＝0或x＝2


由于x＝0不合题意，舍去，∴x＝2


此时，P点的坐标为（2，－3）；


当PM＝CM时，－x2＋3x＝EQ \R(,x\S(2)＋((x－3)－(－3))\s\up3(2))，解得x＝0，x＝5，x＝1


由于x＝0，x＝5不合题意，舍去，∴ x＝1


此时，P点的坐标为（1，－4）


综上所述，满足条件的P点有两个，其坐标分别为（2，－3）或（1，－4）．





2.抛物线 经过点A(，0)和点B(0，3)，且这个抛物线的对称轴为直线l，顶点为C．


（1）求抛物线的解析式；


（2）连接AB、AC、BC，求△ABC的面积．











【答案】见解析


【解析】（1）∵抛物线经过A、B(0，3)


∴ ＝0


由上两式解得


∴抛物线的解析式为：








（2）设线段AB所在直线为：


∵线段AB所在直线经过点A(，0)、B(0，3)


抛物线的对称轴l于直线AB交于点D


∴设点D的坐标为D


将点D代入，解得m＝2


∴点D坐标为 ∴CD＝CE－DE＝2


如上图所示，过点B作BF⊥l于点F ∴BF＝OE＝


∵BF＋AE ＝ OE＋AE ＝OA＝


∴S△ABC＝S△BCD ＋S△ACD＝CD·BF＋CD·AE


∴S△ABC＝CD(BF＋AE)＝×2×＝





3.在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，，抛物线经过点，将点向右平移5个单位长度，得到点．


（1）求点的坐标；


（2）求抛物线的对称轴；


（3）若抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围．


【答案】见解析


【解析】（1）解：∵直线与轴、轴交于、．


∴（，0），（0，4）


∴（5，4）


（2）解：抛物线过（，）


∴．





∴


∴对称轴为．


（3）解：①当抛物线过点时．





，解得．


②当抛物线过点时．





，解得．


③当抛物线顶点在上时．





此时顶点为（1，4）


∴，解得．


∴综上所述或或．














教学反思





适用学科
初中数学
适用年级
初中三年级
适用区域
北师版区域
课时时长（分钟）
120
知识点
1.用一般式确定二次函数表达式


2.用顶点式确定二次函数表达式


3.用交点式确定二次函数表达式
教学目标
1.掌握二次函数的表达式的确定方法


2.掌握用不同的表达式形式来求解.
教学重点
能熟练掌握二次函数的表达式的确定方法
教学难点
能熟练掌握二次函数的表达式的确定方法
x
…
-1
0
1
2
3
4
…
y
…
8
3
0
-1
0
3
…
x
－1
0
1
ax2
1
ax2＋bx＋c
4
6