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北师大版九年级下册4 二次函数的应用教案
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这是一份北师大版九年级下册4 二次函数的应用教案，共30页。教案主要包含了教学建议，知识导图等内容，欢迎下载使用。
第9讲
讲
二次的函数的应用
概述
【教学建议】
本节是中考数学的必考内容，教师要选取典型例题，帮助学生分析如何从实际问题中寻找等量关系，建立函数模型，如何确定实际问题背景中自变量的取值范围，如何取最值等等。可以先分项训练，最后再合练。
学生学习本节时可能会在以下三个方面感到困难：
找不到等量关系，从而列不出函数关系式；
部分学生不会把二次函数的一般式配成顶点式；
3.容易忘掉实际问题中自变量是有取值范围的；
【知识导图】
教学过程
一、导入
【教学建议】
二次函数是中考数学中最重要的内容之一，属于中考数学的必考内容，也是难点内容，我们可以利用二次函数的模型解决很多实际问题（比如：长度、面积和周长等的最值问题、商品利润问题等等）。实际生活中的很多问题都可以借助建立二次函数的模型来解决，这属于中考必考题。
二、知识讲解
知识点1 利用二次函数求图形的最大面积
1.矩形的一边长为l m，则另一边长为?矩形的面积S怎样表示?
2. 本题中有几个变量?分别是?S是l的函数吗?l的取值范围是什么?
3. 利用什么知识来确定l是多少时S的值最大？
4.不规则图形的面积如何求:割补法、铅垂线法、等积法等。
知识点2 销售中的最大利润
复习回顾一下商品销售中的各个相关量以及它们之间的数量关系
利润＝售价－进价＝进价×利润率
利润率＝×100%＝×100%
打折销售中的售价＝标价（定价）×打折数×0.1
售价＝成本＋利润＝成本×（1＋利润率）
利息＝本金×利率
知识点3 二次函数中的实际应用综合
复习回顾：
二次函数如何配成顶点式？
如何根据实际问题情境确定自变量的取值范围？
三、例题精析
例题1
【题干】如图，利用一面长为34米的墙，用铁栅栏围成一个矩形自行车场地ABCD，在AB和BC边各有一个2米宽的小门（不用铁栅栏）．设矩形ABCD的边AD长为x米，AB长为y米，矩形的面积为S平方米，且x＜y．
（1）若所用铁栅栏的长为40米，求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（2）在（1）的条件下，求S与x的函数关系式，并求出怎样围才能使矩形场地的面积为192平方米？
【答案】（1）；（2），AD=6米，AB=32米．
【解析】（1）由34米的墙，及2米宽的小门，得到平行与墙的边，以及垂直于墙的两条边之和，由AD=x，AB=y，所用铁栅栏的长为40米，根据求出的之和表示出y与x的关系式；
（2）由（1）表示出的y与x的关系式，列出S与x的函数关系式，根据矩形场地的面积为192平方米，求出AD与AB的长即可．
试题解析：解：（1）∵y+2x-2×2=40,
∴y=-2x+44,
∴5≤x＜；
（2）∵y=-2x+44,
∴S=xy=x（-2x+44）=-2x2+44x；
∵矩形场地的面积为192平方米，
∴-2x2+44x=192，
∴x=6或x=16（不合题意），
∴AB=y=-2x+44=-2×6+44=32．
答：AD=6米，AB=32米才能使矩形场地的面积为192平方米．
例题2
【题干】如图,在矩形ABCD中,AB=2AD,线段EF=10.在EF上取一点M,分别以EM、MF为一边作矩形EMNH、矩形MFGN,使矩形MFGN∽矩形ABCD.令MN=x，当x为何值时，矩形EMNH的面积S有最大值，最大值是多少?
【答案】252
【解析】∵矩形MFGN∽矩形ABCD，
∴MNAD=MFAB.
∵AB=2AD，MN=x，
∴MF=2x.(2分)
∴EM=EF−MF=10−2x(0
∴S=x(10−2x)(5分)=−2x2+10x=−2(x−)2+252
∴当x= 时,S有最大值为252。
例题3
【题干】某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利10元，每天可售出400千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．
（1）当每千克涨价为多少元时，每天的盈利最多？最多是多少？
（2）若商场只要求保证每天的盈利为4420元，同时又可使顾客得到实惠，每千克应涨价为多少元？
【答案】见解析
【解析】（1）设涨价x元时总利润为y，
则y=（10+x）（400﹣20x）=﹣20x2+400x+4000=﹣20（x﹣5）2+4500
答：当每千克涨价5元时，每天的盈利最多，最多为4500元．
∴当x=5时，y取得最大值，最大值为4500．
（2）设每千克应涨价x元，则（10+x）（400﹣20x）=4420 解得x=3或x=7，
∵为了使顾客得到实惠，所以x=3．
答：每千克应涨价3元．
例题4
【题干】如图1，地面BD上两根等长立柱AB，CD之间悬挂一根近似成抛物线y=x2﹣x+3的绳子．
（1）求绳子最低点离地面的距离；
（2）因实际需要，在离AB为3米的位置处用一根立柱MN撑起绳子（如图2），使左边抛物线F1的最低点距MN为1米，离地面1.8米，求MN的长；
（3）将立柱MN的长度提升为3米，通过调整MN的位置，使抛物线F2对应函数的二次项系数始终为，设MN离AB的距离为m，抛物线F2的顶点离地面距离为k，当2≤k≤2.5时，求m的取值范围。
【答案】见解析
【解析】解：（1）∵a=＞0，∴抛物线顶点为最低点，
∵y=x2﹣x+3=（x﹣4）2+，∴绳子最低点离地面的距离为： m；
（2）由（1）可知，BD=8，令x=0得y=3，∴A（0，3），C（8，3），
由题意可得：抛物线F1的顶点坐标为：（2，1.8），设F1的解析式为：y=a（x﹣2）2+1.8，
将（0，3）代入得：4a+1.8=3，解得：a=0.3，
∴抛物线F1为：y=0.3（x﹣2）2+1.8，
当x=3时，y=0.3×1+1.8=2.1，∴MN的长度为：2.1m；
（3）∵MN=DC=3，
∴根据抛物线的对称性可知抛物线F2的顶点在ND的垂直平分线上，
∴抛物线F2的顶点坐标为：（ m+4，k），
∴抛物线F2的解析式为：y=（x﹣m﹣4）2+k，
把C（8，3）代入得：（4﹣m﹣4）2+k=3，解得：k=﹣（4﹣m）2+3，
∴k=﹣（m﹣8）2+3，∴k是关于m的二次函数，
又∵由已知m＜8，在对称轴的左侧，∴k随m的增大而增大，
∴当k=2时，﹣（m﹣8）2+3=2，解得：m1=4，m2=12（不符合题意，舍去），
当k=2.5时，﹣（m﹣8）2+3=2.5，解得：m18﹣24，m2=8+2（不符合题意，舍去），
∴m的取值范围是：4≤m≤8﹣2．
例题5
【题干】东坡商贸公司购进某种水果的成本为20元/kg，经过市场调研发现，这种水果在未来48天的销售单价p(元/kg)与时间t（天）之间的函数关系式为
，且其日销售量y(kg)与时间t（天）的关系如下表：
（1）已知y与t之间的变化规律符合一次函数关系，试求在第30天的日销售量是多少？
（2）问哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？
（3）在实际销售的前24天中，公司决定每销售1kg水果就捐赠n元利润（n＜9）给“精准扶贫”对象。现发现：在前24天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求n的取值范围。
【答案】见解析
【解析】解：（1）依题意，设y=kt+b，
将（10，100），（20，80）代入y=kt+b，
得
解之得
∴日销售量y(kg)与时间t（天）的关系 y=120-2t，
当t=30时，y=120-60=60.
答：在第30天的日销售量为60千克.
（2）设日销售利润为W元，则W=(p-20)y.
当1≤t≤24时，W=(t+30-20)(120-t)=－t2+10t+1200
=－(t-10)2+1250
当t=10时，W最大=1250.
当25≤t≤48时，W=(－t+48-20)(120-2t)=t2-116t+5760
=(t-58)2-4
由二次函数的图像及性质知： 当t=25时，W最大=1085
∵1250＞1085，∴在第10天的销售利润最大，最大利润为1250元.
（3）依题意，得W=(t+30-20-n)(120-2t)= －t2+2(n+5)t+1200-n
其对称轴为y=2n+10，要使W随t的增大而增大，由二次函数的图像及性质知：
2n+10≥24， 解得n≥7. 又∵n＜0,∴7≤n＜9.
四 、课堂运用
【教学建议】
在讲解过程中，教师可以以中考真题入手，重点放在二次函数在实际问题中的应用上，配以典型的例题，把例题讲透，再给学生做针对性的练习。
基础
1.在美化校园的活动中,某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两边足够长),用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB,BC两边)，设AB=xm.
(1)若花园的面积为192m2，求x的值；
(2)若在P处有一棵树与墙CD,AD的距离分别是15m和6m,要将这棵树围在花园内(含边界,不考虑树的粗细)，求花园面积S的最大值。
【答案】见解析
【解析】(1)∵AB=xm,则BC=(28−x)m，
∴x(28−x)=192，
解得：x1=12,x2=16，
答：x的值为12m或16m；
(2)∵AB=xm，
∴BC=28−x，
∴S=x(28−x)=−x2+28x=−(x−14)2+196，
∵在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，
∵28−15=13，
∴6⩽x⩽13，
∴当x=13时,S取到最大值为：S=−(13−14)2+196=195，
答：花园面积S的最大值为195平方米。
2.某商店购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售那么半月内可售出400件，根据销售经验，推广销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件。
(1)销售单价提高多少元，可获利4480元。
(2)如何提高售价，才能在半月内获得最大利润?
【答案】见解析
【解析】(1)设销售单价为x元时，可获利4480元，
根据题意得出：4480=(x−20)[400−20(x−30)]
整理得出：4480=−20x2+1400x−20000，
即：x2−70x+1224=0，解得：x1=34，x2=36，
34−30−4(元)，36−30=6(元)，
答：销售单价提高4元或6元；
(2)设销售单价为x元，销售利润为y元。
根据题意，得：y=(x−20)[400−20(x−30)]=(x−20)(1000−20x)=−20x2+1400x−20000，
当x=−=35时，y最大==4500，这时，x−30=35−30=5.
3.如图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是什么？
【答案】y=-x2
【解析】设出抛物线方程y=ax2（a≠0），
由图象可知该图象经过（-2，-2）点，
故-2=4a，
a=，故y=-x2
巩固
1.某商家计划从厂家采购空调和冰箱两种产品共20台，空调的采购单价y1(元/台)与采购数量x1(台)满足y1=−20x1+1500(0
(1)经商家与厂家协商，采购空调的数量不少于冰箱数量的119，且空调采购单价不低于1200元，问该商家共有几种进货方案?
(2)该商家分别以1760元/台和1700元/台的销售单价售出空调和冰箱，且全部售完。在(1)的条件下，问采购空调多少台时总利润最大?并求最大利润。
【答案】见解析
【解析】(1)设空调的采购数量为x台，则冰箱的采购数量为(20−x)台，
由题意得
解不等式①得，x⩾11，
解不等式②得，x⩽15，
所以，不等式组的解集是11⩽x⩽15，
∵x为正整数，∴x可取的值为11、12、13、14、15，所以，该商家共有5种进货方案；
(2)设总利润为W元，空调的采购数量为x台，
y2=−10x2+1300=−10(20−x)+1300=10x+1100，
则W=(1760−y1)x1+(1700−y2)x2，=1760x−(−20x+1500)x+(1700−10x−1100)(20−x)，=1760x+20x2−1500x+10x2−800x+12000，=30x2−540x+12000，=30(x−9)2+9570，
当x>9时，W随x的增大而增大，
∵11⩽x⩽15，∴当x=15时，W最大值=30(15−9)2+9570=10650(元)
答：采购空调15台时，获得总利润最大，最大利润值为10650元。
2.某人定制了一批地砖,每块地砖(如图(1)所示)是边长为0.4米的正方形ABCD,点E. F分别在边BC和CD上,△CFE、△ABE和四边形AEFD均由单一材料制成,制成△CFE、△ABE和四边形AEFD的三种材料的每平方米价格依次为30元、20元、10元,若将此种地砖按图(2)所示的形式铺设，且能使中间的阴影部分组成四边形EFGH.
(1)判断图(2)中四边形EFGH是何形状，并说明理由；
(2)E、F在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省?
【答案】见解析
【解析】(1)四边形EFGH是正方形.
图(2)可以看作是由四块图(1)所示地砖绕C点按顺(逆)时针方向旋转90∘后得到的，
故CE=CF=CG.
∴△CEF是等腰直角三角形。
∴四边形EFGH是正方形.
(2)设CE=x，则BE=0.4−x，每块地砖的费用为y，那么
y=x2×30+×0.4×(0.4−x)×20+[0.16−x2−×0.4×(0.4−x)]×10
=10(x2−0.2x+0.24)=10[(x−0.1)2+0.23](0
当x=0.1时，y有最小值，即费用为最省，此时CE=CF=0.1.
答：当CE=CF=0.1米时,总费用最省。
3.某公园要建造一个如图1的圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA，O恰在水面中心，OA=0.81米，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上抛物线路径如图2所示。为使水流形状较为漂亮，设计成水流在与OA距离为1米处达到距水面最大高度2.25米，如果不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不致落到池外?
【答案】见解析
【解析】首先构建直角坐标系，如图所示，建立平面直角坐标系
根据题意可得二次函数的顶点坐标为
(1,2.25)，且图象过(0,0.81)点，
∴y=a(x−1)2+2.25，∴0.81=a+2.25，∴a=−1.44，
y=−1.44(x−1)2+2.25，
当y=0时−1.44(x−1)2+2.25=0，即(x−1)2=225144，
解得x1=2.25，x2=−0.25<0(舍去).
答：水池半径至少为2.25米。
拔高
1.为了落实国务院副总理李克强同志到恩施考察时的指示精神，最近，州委州政府又出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加。某农户生产经销一种农副产品，已知这种产品的成本价为20元/千克。市场调查发现，该产品每天的销售量w(千克)与销售价x(元/千克)有如下关系：w=−2x+80.设这种产品每天的销售利润为y(元).
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)当销售价定为多少元时，每天的销售利润最大?最大利润是多少?
(3)如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元/千克，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少元?
【答案】见解析
【解析】(1)y=(x−20)w=(x−20)(−2x+80)=−2x2+120x−1600，
∴y与x的函数关系式为：
y=−2x2+120x−1600；(3分)
(2)y=−2x2+120x−1600=−2(x−30)2+200，
∴当x=30时，y有最大值200，
∴当销售价定为30元/千克时，每天可获最大销售利润200元；(6分)
(3)当y=150时，可得方程：
−2(x−30)2+200=150，
解这个方程，得
x1=25，x2=35，(8分)
根据题意，x2=35不合题意，应舍去，
∴当销售价定为25元/千克时，该农户每天可获得销售利润150元。
2.草莓是云南多地盛产的一种水果，今年某水果销售店在草莓销售旺季，试销售成本为每千克20元的草莓，规定试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克40元，经试销发现，销售量y（千克）与销售单价x（元）符合一次函数关系，如图是y与x的函数关系图象．
（1）求y与x的函数解析式（也称关系式）
（2）设该水果销售店试销草莓获得的利润为W元，求W的最大值．
【答案】见解析
【解析】（1）设y与x的函数关系式为y=kx+b，
根据题意，得：，
解得：，
∴y与x的函数解析式为y=﹣2x+340，（20≤x≤40）．
（2）由已知得：W=（x﹣20）（﹣2x+340）
=﹣2x2+380x﹣6800
=﹣2（x﹣95）2+11250，
∵﹣2＜0，∴当x≤95时，W随x的增大而增大，
∵20≤x≤40，∴当x=40时，W最大，最大值为﹣2（40﹣95）2+11250=5200元．
3.如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度y（单位：m）与飞行时间x（单位：s）之间具有函数关系y＝－5x²＋20x，请根据要求解答下列问题：
（1）在飞行过程中，当小球的飞行高度为15m时，飞行的时间是多少？
（2）在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？
（3）在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？
【答案】见解析
【解析】（1）当y＝15时有－5x²＋20x ＝15，化简得x²－4x＋3＝0因式分解得（x－1）（x－3）＝0，故x＝1或3，即飞行时间是1秒或者3秒
（2）飞出和落地的瞬间，高度都为0，故y＝0．所以有0＝－5x²＋20x，解得x＝0或4，所以从飞出到落地所用时间是4－0＝4秒
（3）当x＝＝＝2时，小球的飞行高度最大，最大高度为20米.
课堂小结
1.利用二次函数求图形的最大面积
2.销售中的最大利润
3.二次函数中的实际应用综合
拓展延伸
基础
1. 已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h(m)与飞行时间t(s)满足函数表达式h＝－t2＋24t＋1．则下列说法中正确的是（ ）
A．点火后9s和点火后13s的升空高度相同B．点火后24s火箭落于地面
C．点火后10s的升空高度为139mD．大箭升空的最大高度为 145m
【答案】D
【解析】因为h＝－t2＋24t＋1＝－(t－12)2＋145，故对称轴为t＝12，显然t＝9和t＝13时h不等；而t＝24时，h＝1≠0；当t＝10时，h＝145≠139；当t＝12时，h有最大值145；故选项A、B、C均不正确，故选D．
2.如图，一块矩形土地ABCD由篱笆围着，并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开．已知篱笆的总长为900m(篱笆的厚度忽略不计)，当AB＝______m时，矩形ABCD的面积最大．
【答案】150
【解析】设AB＝xm，因此AB＋EF＋CD＝3x，所以AD＝BC＝，矩形ABCD的面积设为y(平方米)，所以y＝x·＝，由于二次项系数小于0，所以y有最大值，当x＝＝＝150时，函数y取得最大值．
3.某乡镇实施产业扶贫，帮助贫困户承包了荒山种植某产品种蜜柚．到了收获季节，已知该蜜柚的成本价为8元/千克，投入市场销售时，调查市场行情，发现该蜜柚销售不会亏本，且每天销量y(千克)与销售单价x(元/千克)之间的函数关系如图所示．
（1）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）当该品种蜜柚定价为多少时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？
（3）某农户今年共采摘蜜柚4800千克，该品种蜜柚的保持期为40天，根据（2）中获得最大利润的方式进行销售，能否销售完这批蜜柚？请说明理由．
【答案】见解析
【解析】（1）设函数关系式为
∵分别把点（10，200）、（15，150）代入解析式，得
y＝－10x＋300（8≤x＜30）．
（2）设每天获得的利润为w，则：
w＝y（x－8）＝（－10x＋300）（x－8）＝－10（x－19）2＋1210．
∴当蜜柚定价为19元/千克时，每天获得的利润最大，是1210元．
（3）根据（2）可知,当定价为19元时，销售量y＝－10×19＋300＝110，
∵蜜柚总量为4800千克，销售天数为：4800÷110＞40．
答：不能销售完这批蜜柚．
巩固
1.如图，一个矩形菜园ABCD，一边AD靠墙（墙MN长为a米，MN≥AD），另外三边用总长100米的不锈钢栅栏围成．
（1）当前a＝20米时，矩形ABCD的面积为450平方米，求AD长；
（2）求矩形ABCD面积的最大值．
【答案】见解析
【解析】（1）设AD＝x米，则BC＝x米，AB＝CD＝(100－x）＝（50－x）米,
依题意有： x（50－x）＝450，整理得：x2－100x＋900＝0，解得x＝90或x＝10，
∵MN＝a＝20，MN＞AD，
∴x＝90＞20不合题意，舍去，
∴x＝10，即AD长为10米.
（2）设AD＝y，则，AB＝CD＝（50－y）米，
满足： ，解得：0＜y＜100，
设矩形ABCD的面积为S，则：
S＝y（50－y）＝－y2＋50y＝－(y－50)2＋1250，
①若a≥50，则当y＝50时，S最大＝1250.
②若当0＜a＜50，则当0＜y≤a时，S随y的增大而增大，故当y＝a时，S最大＝50a－.
综上，当a≥50时，矩形菜园ACBD的面积的最大值是1250平方米.
当0＜a＜50时，矩形菜园ABCD的面积的最大值是（50－）平方米.
2.如图1，在矩形ABCD 中， E是AD上一点，点P从点B沿折线BE- ED- DC运动到点C时停止；点Q 从点B沿BC运动到点C时停止， 速度均为每秒1个单位长度．如果点P，Q同时开始运动，设运动时间为t，△BPQ的面积为y，已知y与t的函数图象如图2所示，以下结论：①BC =10； ② cs∠ABE= EQ \f(3,5)；③当0≤t≤10时，y= EQ \f(2,5)t2；④当t=12时，△BPQ是等腰三角形；⑤当14≤t≤20时，y=110－5t中正确的有( )
A．2 个 B．3个 C．4 个 D．5 个
【答案】B
【解析】（1）分析函数图象可知，AD=BC=BE=10cm，故①正确；
（2）ED=4cm， AE=AD﹣ED=BC﹣ED=10﹣4=6cm，
如答图1所示，连接EC，过点E作EF⊥BC于点F，
由函数图象可知， S△BEC=40= EQ \f(1,2)BC•EF= EQ \f(1,2)×10×EF，∴EF=8，
在Rt△ABE中，AB=EF=8, cs∠ABE= EQ \f(AB,BE)= EQ \f(4,5)，故②不正确；
（3）如答图2所示，过点P作PG⊥BQ于点G，
∵BQ=BP=t，sin∠EBC= EQ \f(EF,BE)= EQ \f(4,5)，∴y=S△BPQ= EQ \f(1,2)BQ•PG= EQ \f(1,2)BQ•BP•sin∠EBC= EQ \f(1,2)t•t• EQ \f(4,5)= EQ \f(2,5)t2．故③正确；
（4）当t=12s时，点Q与点C重合，点P运动到ED的中点，设为N，如答图3所示，连接NB，NC．此时AN=8，ND=2，由勾股定理求得：NB=8 EQ \R(,2)，NC=2 EQ \R(,17)，BC=10，
∴△BCN不是等腰三角形，即此时△PBQ不是等腰三角形，故④错误；
（5）当14≤t≤20时，点Q与点C重合，点P在DC上运动，
y=S△BPQ= EQ \f(1,2)BC•PC= EQ \f(1,2)×10•(10+4+8-t)=110－5t．故⑤正确；
3.为迎接“世界华人炎帝故里寻根节”，某工厂接到一批纪念品生产订单，按要求在15天内完成，约定这批纪念品的出厂价为每件20元，设第x天（1≤x≤15，且x为整数）每件产品的成本是p元，p与x之间符合一次函数关系，部分数据如下表：
任务完成后，统计发现工人李师傅第x天生产的产品件数y（件）与x（天）满足如下关系：
y＝
设李师傅第x天创造的产品利润为W元．
（1）直接写出p与x，W与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；
（2）求李师傅第几天创造的利润最大？最大利润是多少元？
（3）任务完成后，统计发现平均每个工人每天创造的利润为299元．工厂制定如下奖励制度：如果一个工人某天创造的利润超过该平均值，则该工人当天可获得20元奖金，请计算李师傅共可获得多少元奖金？
【答案】见解析
【解析】（1）p＝0.5x＋7（1≤x≤15，且x为整数）．
W＝．
（2）当1≤x＜10时，W＝－x2＋16x＋260＝－(x－8)2＋324，
此时当x＝8时，W最大＝324(元)．
当10≤x≤15时，W＝－20x＋520，W随x增大而减小，
此时当x＝10时，W最大＝320(元)．
∵324＞320，∴李师傅第8天创造的利润最大，最大利润为324元．
（3）当1≤x＜10时，令W＝－x2＋16x＋260＝299，解得x1＝3，x2＝13．
当W＞299时，3＜x＜13，又1≤x＜10，∴3＜x＜10．
当10≤x≤15时，令W＝－20x＋520＞299，解得x＜11.05，
又10≤x≤15，∴10≤x＜11.05．
综上所述3＜x＜11.05，又x为整数，
∴x的取值有4、5、6、7、8、9、10、11共8个．
∴李师傅共可获得20×8＝160（元）的奖金．
拔高
1.某公司投入研发费用80万元(80万元只计入第一年成本)，成功研发出一种产品．公司 按订单生产(产量销售量)，第一年该产品正式投产后，生产成本为6元件．此产品年销售量y(万件)与售价x (元件)之间满足函数关系式y＝－x＋26．
（1）求这种产品第一年的利润W1(万元)与售价x(元件)满足的函数关系式；
（2）该产品第一年的利润为20万元，那么该产品第一年的售价是多少？
（3）第二年，该公司将第一年的利润20万元(20万元只计入第二年成本)再次投入研发，使产品的生产成本降为5元件．为保持市场占有率，公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销售量无法超过12万件．请计算该公司第二年的利润至少为多少万元．
【答案】见解析
【解析】（1）根据题意，得
，故．
答：这种产品第一年的利润(万元)与售价(元件)满足的函数关系式为；
（2）∵该产品第一年的利润为20万元，
∴，
∴
∴，∴
答：该产品第一年的利润为20万元，那么该产品第一年的售价是16元;
（3） 依题意得：
∴，
∵公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，∴x≤16，
∵另外受产能限制，销售量无法超过12万件， ∴－x＋26≤12，解得：x≥14，
∴，
∵－1＜0，对称轴为，
∴x＝14时，有最小值为88万元，
答：利润最少为88万元．
2.为响应荆州市“创建全国文明城市”号召，某单位不断美化环境，拟在一块矩形空地上修建绿色植物园，其中一边靠墙，可利用的墙长不超过l8m，另外三边由36m长的栅栏围成.设矩形ABCD空地中，垂直于墙的边AB＝xm，面积为ym2（如图）.
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）若矩形空地的面积为160m2，求x的值；
（3）若该单位用8600元购买了甲、乙、丙三种绿色植物共400棵（每种植物的单价和每棵栽种的合理用地面积如下表）.问丙种植物最多可以购买多少棵？此时，这批植物可以全部栽种到这块空地上吗？请说明理由.
18m
AD
BC
【答案】见解析
【解析】（1）∵四边形ABCD是矩形，垂直于墙的边AB＝x，
∴CD＝AB＝x，BC＝（36－2x），
∴y＝x（36－2x）即y＝﹣2x2＋36x，
由矩形的任一边都大于0得，解得9≤x＜18，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣2x2＋36x（9＜x＜18）.
（2）∵矩形空地的面积为160m2即y＝160，
∴﹣2x2＋36x＝160，
x2﹣18x＋80＝0，
x2﹣18x＋81＝1，
（x－9）2＝1，
∴x1＝10，x2＝8，
∵9＜x＜18，∴x2＝8舍去，
答：x的值为10.
（3）设甲、乙、丙三种植物分别购买了为m棵、n棵、k棵，
由题意得：，
①×16－②得：m＝6k－1100，②－①×14得：n＝1500－7k，
∵m、n、k分别表示三种植物的数量，∴m、n、k为正整数，
∴，解得＜k＜，
∵k为正整数，∴k能取的最大正整数为214，即丙种植物最多可以购买214棵，
当k＝214时，m＝6k－1100＝6×214－1100＝184，N＝1500－7k＝1500－7×214＝2，
∵y＝﹣2x2＋36x＝﹣2（x2－18x）＝﹣2（x2－18x＋81－81）＝﹣2（x2－9）2＋162，
∴当x＝9时，y有最大值，最大值为162，即当垂直于墙的一边长为9m时，矩形空地的面积最大，最大为162m2.
∵0.4×184＋2＋0.4×214＝161.2＜162，
∴这批植物可以全部栽种到这块空地上.
3.传统的端午节即将来临，某企业接到一批粽子生产任务，约定这批粽子的出厂价为每只4元，按要求在20天内完成．为了按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人李明第x天生产的粽子数量为y只，y与x满足如下关系：
（1）李明第几天生产的粽子数量为280只？
（2）如图，设第x天生产的每只粽子的成本是p元，p与x之间的关系可用图中的函数图象来刻画．若李明第x天创造的利润为w元，求w与x之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大？最大利润是多少元？（利润＝出厂价－成本）
【答案】见解析
【解析】（1）∵6×34＝204，∴前六天中第6天生产的粽子最多达到204只，将280代入20x＋80得：20x＋80＝280，∴x＝10 答：第10天生产的粽子数量为280只．
（2）当0≤x＜10时，p＝2，当10≤x≤20时，设p＝kx＋b，将（10，2）和（20，3）代入得：
解得：，∴p＝x＋1；
当0≤x≤6时，w＝(4－2)×34x＝68x，w随x的增大而增大，∴当x＝6时最大值为408元；
当6＜x≤10时，w＝(4－2)×(20x＋80)＝40x＋160，w随x的增大而增大，∴当x＝10时最大值为560元；
当10＜x≤20时，w＝(4－x－1) (20x＋80)＝－2x2＋52x＋240，对称轴为：直线x＝13，在10＜x≤20内，将x＝13代入得w＝578元．
综上所述，w与x的函数表达式为第13天的时候利润最大，最大利润为578元．
教学反思
适用学科
初中数学
适用年级
初中三年级
适用区域
北师版区域
课时时长（分钟）
120
知识点
1.利用二次函数求图形的最大面积
2.销售中的最大利润
3.二次函数中的实际应用综合
教学目标
1.掌握二次函数的实际应用
2.掌握建立二次函数模型的方法
教学重点
能熟练掌握二次函数的实际应用
教学难点
能熟练掌握二次函数的实际应用
时间t（天）
1
3
6
10
20
30
…
日销售量y(kg)
118
114
108
100
80
40
…
天数（x）
1
3
6
10
每件成本p（元）
7.5
8.5
10
12
甲
乙
丙
单价（元/棵）
14
16
28
合理用地（m2/棵）
0.4
1
0.4
第9讲
讲
二次的函数的应用
概述
【教学建议】
本节是中考数学的必考内容，教师要选取典型例题，帮助学生分析如何从实际问题中寻找等量关系，建立函数模型，如何确定实际问题背景中自变量的取值范围，如何取最值等等。可以先分项训练，最后再合练。
学生学习本节时可能会在以下三个方面感到困难：
找不到等量关系，从而列不出函数关系式；
部分学生不会把二次函数的一般式配成顶点式；
3.容易忘掉实际问题中自变量是有取值范围的；
【知识导图】
教学过程
一、导入
【教学建议】
二次函数是中考数学中最重要的内容之一，属于中考数学的必考内容，也是难点内容，我们可以利用二次函数的模型解决很多实际问题（比如：长度、面积和周长等的最值问题、商品利润问题等等）。实际生活中的很多问题都可以借助建立二次函数的模型来解决，这属于中考必考题。
二、知识讲解
知识点1 利用二次函数求图形的最大面积
1.矩形的一边长为l m，则另一边长为?矩形的面积S怎样表示?
2. 本题中有几个变量?分别是?S是l的函数吗?l的取值范围是什么?
3. 利用什么知识来确定l是多少时S的值最大？
4.不规则图形的面积如何求:割补法、铅垂线法、等积法等。
知识点2 销售中的最大利润
复习回顾一下商品销售中的各个相关量以及它们之间的数量关系
利润＝售价－进价＝进价×利润率
利润率＝×100%＝×100%
打折销售中的售价＝标价（定价）×打折数×0.1
售价＝成本＋利润＝成本×（1＋利润率）
利息＝本金×利率
知识点3 二次函数中的实际应用综合
复习回顾：
二次函数如何配成顶点式？
如何根据实际问题情境确定自变量的取值范围？
三、例题精析
例题1
【题干】如图，利用一面长为34米的墙，用铁栅栏围成一个矩形自行车场地ABCD，在AB和BC边各有一个2米宽的小门（不用铁栅栏）．设矩形ABCD的边AD长为x米，AB长为y米，矩形的面积为S平方米，且x＜y．
（1）若所用铁栅栏的长为40米，求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（2）在（1）的条件下，求S与x的函数关系式，并求出怎样围才能使矩形场地的面积为192平方米？
【答案】（1）；（2），AD=6米，AB=32米．
【解析】（1）由34米的墙，及2米宽的小门，得到平行与墙的边，以及垂直于墙的两条边之和，由AD=x，AB=y，所用铁栅栏的长为40米，根据求出的之和表示出y与x的关系式；
（2）由（1）表示出的y与x的关系式，列出S与x的函数关系式，根据矩形场地的面积为192平方米，求出AD与AB的长即可．
试题解析：解：（1）∵y+2x-2×2=40,
∴y=-2x+44,
∴5≤x＜；
（2）∵y=-2x+44,
∴S=xy=x（-2x+44）=-2x2+44x；
∵矩形场地的面积为192平方米，
∴-2x2+44x=192，
∴x=6或x=16（不合题意），
∴AB=y=-2x+44=-2×6+44=32．
答：AD=6米，AB=32米才能使矩形场地的面积为192平方米．
例题2
【题干】如图,在矩形ABCD中,AB=2AD,线段EF=10.在EF上取一点M,分别以EM、MF为一边作矩形EMNH、矩形MFGN,使矩形MFGN∽矩形ABCD.令MN=x，当x为何值时，矩形EMNH的面积S有最大值，最大值是多少?
【答案】252
【解析】∵矩形MFGN∽矩形ABCD，
∴MNAD=MFAB.
∵AB=2AD，MN=x，
∴MF=2x.(2分)
∴EM=EF−MF=10−2x(0
∴S=x(10−2x)(5分)=−2x2+10x=−2(x−)2+252
∴当x= 时,S有最大值为252。
例题3
【题干】某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利10元，每天可售出400千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．
（1）当每千克涨价为多少元时，每天的盈利最多？最多是多少？
（2）若商场只要求保证每天的盈利为4420元，同时又可使顾客得到实惠，每千克应涨价为多少元？
【答案】见解析
【解析】（1）设涨价x元时总利润为y，
则y=（10+x）（400﹣20x）=﹣20x2+400x+4000=﹣20（x﹣5）2+4500
答：当每千克涨价5元时，每天的盈利最多，最多为4500元．
∴当x=5时，y取得最大值，最大值为4500．
（2）设每千克应涨价x元，则（10+x）（400﹣20x）=4420 解得x=3或x=7，
∵为了使顾客得到实惠，所以x=3．
答：每千克应涨价3元．
例题4
【题干】如图1，地面BD上两根等长立柱AB，CD之间悬挂一根近似成抛物线y=x2﹣x+3的绳子．
（1）求绳子最低点离地面的距离；
（2）因实际需要，在离AB为3米的位置处用一根立柱MN撑起绳子（如图2），使左边抛物线F1的最低点距MN为1米，离地面1.8米，求MN的长；
（3）将立柱MN的长度提升为3米，通过调整MN的位置，使抛物线F2对应函数的二次项系数始终为，设MN离AB的距离为m，抛物线F2的顶点离地面距离为k，当2≤k≤2.5时，求m的取值范围。
【答案】见解析
【解析】解：（1）∵a=＞0，∴抛物线顶点为最低点，
∵y=x2﹣x+3=（x﹣4）2+，∴绳子最低点离地面的距离为： m；
（2）由（1）可知，BD=8，令x=0得y=3，∴A（0，3），C（8，3），
由题意可得：抛物线F1的顶点坐标为：（2，1.8），设F1的解析式为：y=a（x﹣2）2+1.8，
将（0，3）代入得：4a+1.8=3，解得：a=0.3，
∴抛物线F1为：y=0.3（x﹣2）2+1.8，
当x=3时，y=0.3×1+1.8=2.1，∴MN的长度为：2.1m；
（3）∵MN=DC=3，
∴根据抛物线的对称性可知抛物线F2的顶点在ND的垂直平分线上，
∴抛物线F2的顶点坐标为：（ m+4，k），
∴抛物线F2的解析式为：y=（x﹣m﹣4）2+k，
把C（8，3）代入得：（4﹣m﹣4）2+k=3，解得：k=﹣（4﹣m）2+3，
∴k=﹣（m﹣8）2+3，∴k是关于m的二次函数，
又∵由已知m＜8，在对称轴的左侧，∴k随m的增大而增大，
∴当k=2时，﹣（m﹣8）2+3=2，解得：m1=4，m2=12（不符合题意，舍去），
当k=2.5时，﹣（m﹣8）2+3=2.5，解得：m18﹣24，m2=8+2（不符合题意，舍去），
∴m的取值范围是：4≤m≤8﹣2．
例题5
【题干】东坡商贸公司购进某种水果的成本为20元/kg，经过市场调研发现，这种水果在未来48天的销售单价p(元/kg)与时间t（天）之间的函数关系式为
，且其日销售量y(kg)与时间t（天）的关系如下表：
（1）已知y与t之间的变化规律符合一次函数关系，试求在第30天的日销售量是多少？
（2）问哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？
（3）在实际销售的前24天中，公司决定每销售1kg水果就捐赠n元利润（n＜9）给“精准扶贫”对象。现发现：在前24天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求n的取值范围。
【答案】见解析
【解析】解：（1）依题意，设y=kt+b，
将（10，100），（20，80）代入y=kt+b，
得
解之得
∴日销售量y(kg)与时间t（天）的关系 y=120-2t，
当t=30时，y=120-60=60.
答：在第30天的日销售量为60千克.
（2）设日销售利润为W元，则W=(p-20)y.
当1≤t≤24时，W=(t+30-20)(120-t)=－t2+10t+1200
=－(t-10)2+1250
当t=10时，W最大=1250.
当25≤t≤48时，W=(－t+48-20)(120-2t)=t2-116t+5760
=(t-58)2-4
由二次函数的图像及性质知： 当t=25时，W最大=1085
∵1250＞1085，∴在第10天的销售利润最大，最大利润为1250元.
（3）依题意，得W=(t+30-20-n)(120-2t)= －t2+2(n+5)t+1200-n
其对称轴为y=2n+10，要使W随t的增大而增大，由二次函数的图像及性质知：
2n+10≥24， 解得n≥7. 又∵n＜0,∴7≤n＜9.
四 、课堂运用
【教学建议】
在讲解过程中，教师可以以中考真题入手，重点放在二次函数在实际问题中的应用上，配以典型的例题，把例题讲透，再给学生做针对性的练习。
基础
1.在美化校园的活动中,某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两边足够长),用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB,BC两边)，设AB=xm.
(1)若花园的面积为192m2，求x的值；
(2)若在P处有一棵树与墙CD,AD的距离分别是15m和6m,要将这棵树围在花园内(含边界,不考虑树的粗细)，求花园面积S的最大值。
【答案】见解析
【解析】(1)∵AB=xm,则BC=(28−x)m，
∴x(28−x)=192，
解得：x1=12,x2=16，
答：x的值为12m或16m；
(2)∵AB=xm，
∴BC=28−x，
∴S=x(28−x)=−x2+28x=−(x−14)2+196，
∵在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，
∵28−15=13，
∴6⩽x⩽13，
∴当x=13时,S取到最大值为：S=−(13−14)2+196=195，
答：花园面积S的最大值为195平方米。
2.某商店购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售那么半月内可售出400件，根据销售经验，推广销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件。
(1)销售单价提高多少元，可获利4480元。
(2)如何提高售价，才能在半月内获得最大利润?
【答案】见解析
【解析】(1)设销售单价为x元时，可获利4480元，
根据题意得出：4480=(x−20)[400−20(x−30)]
整理得出：4480=−20x2+1400x−20000，
即：x2−70x+1224=0，解得：x1=34，x2=36，
34−30−4(元)，36−30=6(元)，
答：销售单价提高4元或6元；
(2)设销售单价为x元，销售利润为y元。
根据题意，得：y=(x−20)[400−20(x−30)]=(x−20)(1000−20x)=−20x2+1400x−20000，
当x=−=35时，y最大==4500，这时，x−30=35−30=5.
3.如图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是什么？
【答案】y=-x2
【解析】设出抛物线方程y=ax2（a≠0），
由图象可知该图象经过（-2，-2）点，
故-2=4a，
a=，故y=-x2
巩固
1.某商家计划从厂家采购空调和冰箱两种产品共20台，空调的采购单价y1(元/台)与采购数量x1(台)满足y1=−20x1+1500(0
(1)经商家与厂家协商，采购空调的数量不少于冰箱数量的119，且空调采购单价不低于1200元，问该商家共有几种进货方案?
(2)该商家分别以1760元/台和1700元/台的销售单价售出空调和冰箱，且全部售完。在(1)的条件下，问采购空调多少台时总利润最大?并求最大利润。
【答案】见解析
【解析】(1)设空调的采购数量为x台，则冰箱的采购数量为(20−x)台，
由题意得
解不等式①得，x⩾11，
解不等式②得，x⩽15，
所以，不等式组的解集是11⩽x⩽15，
∵x为正整数，∴x可取的值为11、12、13、14、15，所以，该商家共有5种进货方案；
(2)设总利润为W元，空调的采购数量为x台，
y2=−10x2+1300=−10(20−x)+1300=10x+1100，
则W=(1760−y1)x1+(1700−y2)x2，=1760x−(−20x+1500)x+(1700−10x−1100)(20−x)，=1760x+20x2−1500x+10x2−800x+12000，=30x2−540x+12000，=30(x−9)2+9570，
当x>9时，W随x的增大而增大，
∵11⩽x⩽15，∴当x=15时，W最大值=30(15−9)2+9570=10650(元)
答：采购空调15台时，获得总利润最大，最大利润值为10650元。
2.某人定制了一批地砖,每块地砖(如图(1)所示)是边长为0.4米的正方形ABCD,点E. F分别在边BC和CD上,△CFE、△ABE和四边形AEFD均由单一材料制成,制成△CFE、△ABE和四边形AEFD的三种材料的每平方米价格依次为30元、20元、10元,若将此种地砖按图(2)所示的形式铺设，且能使中间的阴影部分组成四边形EFGH.
(1)判断图(2)中四边形EFGH是何形状，并说明理由；
(2)E、F在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省?
【答案】见解析
【解析】(1)四边形EFGH是正方形.
图(2)可以看作是由四块图(1)所示地砖绕C点按顺(逆)时针方向旋转90∘后得到的，
故CE=CF=CG.
∴△CEF是等腰直角三角形。
∴四边形EFGH是正方形.
(2)设CE=x，则BE=0.4−x，每块地砖的费用为y，那么
y=x2×30+×0.4×(0.4−x)×20+[0.16−x2−×0.4×(0.4−x)]×10
=10(x2−0.2x+0.24)=10[(x−0.1)2+0.23](0
当x=0.1时，y有最小值，即费用为最省，此时CE=CF=0.1.
答：当CE=CF=0.1米时,总费用最省。
3.某公园要建造一个如图1的圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA，O恰在水面中心，OA=0.81米，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上抛物线路径如图2所示。为使水流形状较为漂亮，设计成水流在与OA距离为1米处达到距水面最大高度2.25米，如果不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不致落到池外?
【答案】见解析
【解析】首先构建直角坐标系，如图所示，建立平面直角坐标系
根据题意可得二次函数的顶点坐标为
(1,2.25)，且图象过(0,0.81)点，
∴y=a(x−1)2+2.25，∴0.81=a+2.25，∴a=−1.44，
y=−1.44(x−1)2+2.25，
当y=0时−1.44(x−1)2+2.25=0，即(x−1)2=225144，
解得x1=2.25，x2=−0.25<0(舍去).
答：水池半径至少为2.25米。
拔高
1.为了落实国务院副总理李克强同志到恩施考察时的指示精神，最近，州委州政府又出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加。某农户生产经销一种农副产品，已知这种产品的成本价为20元/千克。市场调查发现，该产品每天的销售量w(千克)与销售价x(元/千克)有如下关系：w=−2x+80.设这种产品每天的销售利润为y(元).
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)当销售价定为多少元时，每天的销售利润最大?最大利润是多少?
(3)如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元/千克，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少元?
【答案】见解析
【解析】(1)y=(x−20)w=(x−20)(−2x+80)=−2x2+120x−1600，
∴y与x的函数关系式为：
y=−2x2+120x−1600；(3分)
(2)y=−2x2+120x−1600=−2(x−30)2+200，
∴当x=30时，y有最大值200，
∴当销售价定为30元/千克时，每天可获最大销售利润200元；(6分)
(3)当y=150时，可得方程：
−2(x−30)2+200=150，
解这个方程，得
x1=25，x2=35，(8分)
根据题意，x2=35不合题意，应舍去，
∴当销售价定为25元/千克时，该农户每天可获得销售利润150元。
2.草莓是云南多地盛产的一种水果，今年某水果销售店在草莓销售旺季，试销售成本为每千克20元的草莓，规定试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克40元，经试销发现，销售量y（千克）与销售单价x（元）符合一次函数关系，如图是y与x的函数关系图象．
（1）求y与x的函数解析式（也称关系式）
（2）设该水果销售店试销草莓获得的利润为W元，求W的最大值．
【答案】见解析
【解析】（1）设y与x的函数关系式为y=kx+b，
根据题意，得：，
解得：，
∴y与x的函数解析式为y=﹣2x+340，（20≤x≤40）．
（2）由已知得：W=（x﹣20）（﹣2x+340）
=﹣2x2+380x﹣6800
=﹣2（x﹣95）2+11250，
∵﹣2＜0，∴当x≤95时，W随x的增大而增大，
∵20≤x≤40，∴当x=40时，W最大，最大值为﹣2（40﹣95）2+11250=5200元．
3.如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度y（单位：m）与飞行时间x（单位：s）之间具有函数关系y＝－5x²＋20x，请根据要求解答下列问题：
（1）在飞行过程中，当小球的飞行高度为15m时，飞行的时间是多少？
（2）在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？
（3）在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？
【答案】见解析
【解析】（1）当y＝15时有－5x²＋20x ＝15，化简得x²－4x＋3＝0因式分解得（x－1）（x－3）＝0，故x＝1或3，即飞行时间是1秒或者3秒
（2）飞出和落地的瞬间，高度都为0，故y＝0．所以有0＝－5x²＋20x，解得x＝0或4，所以从飞出到落地所用时间是4－0＝4秒
（3）当x＝＝＝2时，小球的飞行高度最大，最大高度为20米.
课堂小结
1.利用二次函数求图形的最大面积
2.销售中的最大利润
3.二次函数中的实际应用综合
拓展延伸
基础
1. 已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h(m)与飞行时间t(s)满足函数表达式h＝－t2＋24t＋1．则下列说法中正确的是（ ）
A．点火后9s和点火后13s的升空高度相同B．点火后24s火箭落于地面
C．点火后10s的升空高度为139mD．大箭升空的最大高度为 145m
【答案】D
【解析】因为h＝－t2＋24t＋1＝－(t－12)2＋145，故对称轴为t＝12，显然t＝9和t＝13时h不等；而t＝24时，h＝1≠0；当t＝10时，h＝145≠139；当t＝12时，h有最大值145；故选项A、B、C均不正确，故选D．
2.如图，一块矩形土地ABCD由篱笆围着，并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开．已知篱笆的总长为900m(篱笆的厚度忽略不计)，当AB＝______m时，矩形ABCD的面积最大．
【答案】150
【解析】设AB＝xm，因此AB＋EF＋CD＝3x，所以AD＝BC＝，矩形ABCD的面积设为y(平方米)，所以y＝x·＝，由于二次项系数小于0，所以y有最大值，当x＝＝＝150时，函数y取得最大值．
3.某乡镇实施产业扶贫，帮助贫困户承包了荒山种植某产品种蜜柚．到了收获季节，已知该蜜柚的成本价为8元/千克，投入市场销售时，调查市场行情，发现该蜜柚销售不会亏本，且每天销量y(千克)与销售单价x(元/千克)之间的函数关系如图所示．
（1）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）当该品种蜜柚定价为多少时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？
（3）某农户今年共采摘蜜柚4800千克，该品种蜜柚的保持期为40天，根据（2）中获得最大利润的方式进行销售，能否销售完这批蜜柚？请说明理由．
【答案】见解析
【解析】（1）设函数关系式为
∵分别把点（10，200）、（15，150）代入解析式，得
y＝－10x＋300（8≤x＜30）．
（2）设每天获得的利润为w，则：
w＝y（x－8）＝（－10x＋300）（x－8）＝－10（x－19）2＋1210．
∴当蜜柚定价为19元/千克时，每天获得的利润最大，是1210元．
（3）根据（2）可知,当定价为19元时，销售量y＝－10×19＋300＝110，
∵蜜柚总量为4800千克，销售天数为：4800÷110＞40．
答：不能销售完这批蜜柚．
巩固
1.如图，一个矩形菜园ABCD，一边AD靠墙（墙MN长为a米，MN≥AD），另外三边用总长100米的不锈钢栅栏围成．
（1）当前a＝20米时，矩形ABCD的面积为450平方米，求AD长；
（2）求矩形ABCD面积的最大值．
【答案】见解析
【解析】（1）设AD＝x米，则BC＝x米，AB＝CD＝(100－x）＝（50－x）米,
依题意有： x（50－x）＝450，整理得：x2－100x＋900＝0，解得x＝90或x＝10，
∵MN＝a＝20，MN＞AD，
∴x＝90＞20不合题意，舍去，
∴x＝10，即AD长为10米.
（2）设AD＝y，则，AB＝CD＝（50－y）米，
满足： ，解得：0＜y＜100，
设矩形ABCD的面积为S，则：
S＝y（50－y）＝－y2＋50y＝－(y－50)2＋1250，
①若a≥50，则当y＝50时，S最大＝1250.
②若当0＜a＜50，则当0＜y≤a时，S随y的增大而增大，故当y＝a时，S最大＝50a－.
综上，当a≥50时，矩形菜园ACBD的面积的最大值是1250平方米.
当0＜a＜50时，矩形菜园ABCD的面积的最大值是（50－）平方米.
2.如图1，在矩形ABCD 中， E是AD上一点，点P从点B沿折线BE- ED- DC运动到点C时停止；点Q 从点B沿BC运动到点C时停止， 速度均为每秒1个单位长度．如果点P，Q同时开始运动，设运动时间为t，△BPQ的面积为y，已知y与t的函数图象如图2所示，以下结论：①BC =10； ② cs∠ABE= EQ \f(3,5)；③当0≤t≤10时，y= EQ \f(2,5)t2；④当t=12时，△BPQ是等腰三角形；⑤当14≤t≤20时，y=110－5t中正确的有( )
A．2 个 B．3个 C．4 个 D．5 个
【答案】B
【解析】（1）分析函数图象可知，AD=BC=BE=10cm，故①正确；
（2）ED=4cm， AE=AD﹣ED=BC﹣ED=10﹣4=6cm，
如答图1所示，连接EC，过点E作EF⊥BC于点F，
由函数图象可知， S△BEC=40= EQ \f(1,2)BC•EF= EQ \f(1,2)×10×EF，∴EF=8，
在Rt△ABE中，AB=EF=8, cs∠ABE= EQ \f(AB,BE)= EQ \f(4,5)，故②不正确；
（3）如答图2所示，过点P作PG⊥BQ于点G，
∵BQ=BP=t，sin∠EBC= EQ \f(EF,BE)= EQ \f(4,5)，∴y=S△BPQ= EQ \f(1,2)BQ•PG= EQ \f(1,2)BQ•BP•sin∠EBC= EQ \f(1,2)t•t• EQ \f(4,5)= EQ \f(2,5)t2．故③正确；
（4）当t=12s时，点Q与点C重合，点P运动到ED的中点，设为N，如答图3所示，连接NB，NC．此时AN=8，ND=2，由勾股定理求得：NB=8 EQ \R(,2)，NC=2 EQ \R(,17)，BC=10，
∴△BCN不是等腰三角形，即此时△PBQ不是等腰三角形，故④错误；
（5）当14≤t≤20时，点Q与点C重合，点P在DC上运动，
y=S△BPQ= EQ \f(1,2)BC•PC= EQ \f(1,2)×10•(10+4+8-t)=110－5t．故⑤正确；
3.为迎接“世界华人炎帝故里寻根节”，某工厂接到一批纪念品生产订单，按要求在15天内完成，约定这批纪念品的出厂价为每件20元，设第x天（1≤x≤15，且x为整数）每件产品的成本是p元，p与x之间符合一次函数关系，部分数据如下表：
任务完成后，统计发现工人李师傅第x天生产的产品件数y（件）与x（天）满足如下关系：
y＝
设李师傅第x天创造的产品利润为W元．
（1）直接写出p与x，W与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；
（2）求李师傅第几天创造的利润最大？最大利润是多少元？
（3）任务完成后，统计发现平均每个工人每天创造的利润为299元．工厂制定如下奖励制度：如果一个工人某天创造的利润超过该平均值，则该工人当天可获得20元奖金，请计算李师傅共可获得多少元奖金？
【答案】见解析
【解析】（1）p＝0.5x＋7（1≤x≤15，且x为整数）．
W＝．
（2）当1≤x＜10时，W＝－x2＋16x＋260＝－(x－8)2＋324，
此时当x＝8时，W最大＝324(元)．
当10≤x≤15时，W＝－20x＋520，W随x增大而减小，
此时当x＝10时，W最大＝320(元)．
∵324＞320，∴李师傅第8天创造的利润最大，最大利润为324元．
（3）当1≤x＜10时，令W＝－x2＋16x＋260＝299，解得x1＝3，x2＝13．
当W＞299时，3＜x＜13，又1≤x＜10，∴3＜x＜10．
当10≤x≤15时，令W＝－20x＋520＞299，解得x＜11.05，
又10≤x≤15，∴10≤x＜11.05．
综上所述3＜x＜11.05，又x为整数，
∴x的取值有4、5、6、7、8、9、10、11共8个．
∴李师傅共可获得20×8＝160（元）的奖金．
拔高
1.某公司投入研发费用80万元(80万元只计入第一年成本)，成功研发出一种产品．公司 按订单生产(产量销售量)，第一年该产品正式投产后，生产成本为6元件．此产品年销售量y(万件)与售价x (元件)之间满足函数关系式y＝－x＋26．
（1）求这种产品第一年的利润W1(万元)与售价x(元件)满足的函数关系式；
（2）该产品第一年的利润为20万元，那么该产品第一年的售价是多少？
（3）第二年，该公司将第一年的利润20万元(20万元只计入第二年成本)再次投入研发，使产品的生产成本降为5元件．为保持市场占有率，公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销售量无法超过12万件．请计算该公司第二年的利润至少为多少万元．
【答案】见解析
【解析】（1）根据题意，得
，故．
答：这种产品第一年的利润(万元)与售价(元件)满足的函数关系式为；
（2）∵该产品第一年的利润为20万元，
∴，
∴
∴，∴
答：该产品第一年的利润为20万元，那么该产品第一年的售价是16元;
（3） 依题意得：
∴，
∵公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，∴x≤16，
∵另外受产能限制，销售量无法超过12万件， ∴－x＋26≤12，解得：x≥14，
∴，
∵－1＜0，对称轴为，
∴x＝14时，有最小值为88万元，
答：利润最少为88万元．
2.为响应荆州市“创建全国文明城市”号召，某单位不断美化环境，拟在一块矩形空地上修建绿色植物园，其中一边靠墙，可利用的墙长不超过l8m，另外三边由36m长的栅栏围成.设矩形ABCD空地中，垂直于墙的边AB＝xm，面积为ym2（如图）.
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）若矩形空地的面积为160m2，求x的值；
（3）若该单位用8600元购买了甲、乙、丙三种绿色植物共400棵（每种植物的单价和每棵栽种的合理用地面积如下表）.问丙种植物最多可以购买多少棵？此时，这批植物可以全部栽种到这块空地上吗？请说明理由.
18m
AD
BC
【答案】见解析
【解析】（1）∵四边形ABCD是矩形，垂直于墙的边AB＝x，
∴CD＝AB＝x，BC＝（36－2x），
∴y＝x（36－2x）即y＝﹣2x2＋36x，
由矩形的任一边都大于0得，解得9≤x＜18，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣2x2＋36x（9＜x＜18）.
（2）∵矩形空地的面积为160m2即y＝160，
∴﹣2x2＋36x＝160，
x2﹣18x＋80＝0，
x2﹣18x＋81＝1，
（x－9）2＝1，
∴x1＝10，x2＝8，
∵9＜x＜18，∴x2＝8舍去，
答：x的值为10.
（3）设甲、乙、丙三种植物分别购买了为m棵、n棵、k棵，
由题意得：，
①×16－②得：m＝6k－1100，②－①×14得：n＝1500－7k，
∵m、n、k分别表示三种植物的数量，∴m、n、k为正整数，
∴，解得＜k＜，
∵k为正整数，∴k能取的最大正整数为214，即丙种植物最多可以购买214棵，
当k＝214时，m＝6k－1100＝6×214－1100＝184，N＝1500－7k＝1500－7×214＝2，
∵y＝﹣2x2＋36x＝﹣2（x2－18x）＝﹣2（x2－18x＋81－81）＝﹣2（x2－9）2＋162，
∴当x＝9时，y有最大值，最大值为162，即当垂直于墙的一边长为9m时，矩形空地的面积最大，最大为162m2.
∵0.4×184＋2＋0.4×214＝161.2＜162，
∴这批植物可以全部栽种到这块空地上.
3.传统的端午节即将来临，某企业接到一批粽子生产任务，约定这批粽子的出厂价为每只4元，按要求在20天内完成．为了按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人李明第x天生产的粽子数量为y只，y与x满足如下关系：
（1）李明第几天生产的粽子数量为280只？
（2）如图，设第x天生产的每只粽子的成本是p元，p与x之间的关系可用图中的函数图象来刻画．若李明第x天创造的利润为w元，求w与x之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大？最大利润是多少元？（利润＝出厂价－成本）
【答案】见解析
【解析】（1）∵6×34＝204，∴前六天中第6天生产的粽子最多达到204只，将280代入20x＋80得：20x＋80＝280，∴x＝10 答：第10天生产的粽子数量为280只．
（2）当0≤x＜10时，p＝2，当10≤x≤20时，设p＝kx＋b，将（10，2）和（20，3）代入得：
解得：，∴p＝x＋1；
当0≤x≤6时，w＝(4－2)×34x＝68x，w随x的增大而增大，∴当x＝6时最大值为408元；
当6＜x≤10时，w＝(4－2)×(20x＋80)＝40x＋160，w随x的增大而增大，∴当x＝10时最大值为560元；
当10＜x≤20时，w＝(4－x－1) (20x＋80)＝－2x2＋52x＋240，对称轴为：直线x＝13，在10＜x≤20内，将x＝13代入得w＝578元．
综上所述，w与x的函数表达式为第13天的时候利润最大，最大利润为578元．
教学反思
适用学科
初中数学
适用年级
初中三年级
适用区域
北师版区域
课时时长（分钟）
120
知识点
1.利用二次函数求图形的最大面积
2.销售中的最大利润
3.二次函数中的实际应用综合
教学目标
1.掌握二次函数的实际应用
2.掌握建立二次函数模型的方法
教学重点
能熟练掌握二次函数的实际应用
教学难点
能熟练掌握二次函数的实际应用
时间t（天）
1
3
6
10
20
30
…
日销售量y(kg)
118
114
108
100
80
40
…
天数（x）
1
3
6
10
每件成本p（元）
7.5
8.5
10
12
甲
乙
丙
单价（元/棵）
14
16
28
合理用地（m2/棵）
0.4
1
0.4
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