初中数学北师大版九年级下册5 确定圆的条件教案

这是一份初中数学北师大版九年级下册5 确定圆的条件教案，共43页。教案主要包含了教学建议，知识导图等内容，欢迎下载使用。










第15讲


讲














确定圆的条件及直线与圆的位置关系


























概述





【教学建议】


本节课的内容在圆这一章中，占有重要的地位，也是中考中的必考内容。教师在教学中要让学生亲自动手去画一画，发现确定圆的条件以及三角形的外心是怎们确定的。对于切线的性质与切线的判定是中考中的热点问题，要以典例引领，帮助学生形成有效的解题策略（解题模型）。


学生学习本节时可能会在以下三个方面感到困难：


1. 确定圆的条件的探索；


2. 切线的性质；


3.切线的判定。


【知识导图】











教学过程








一、导入





【教学建议】


本节内容属于中考数学的必考内容，尤其以切线的性质与切线的判定出现的次数最多。在教学中，教师需要帮助学生理清切线的性质和切线的判定的使用条件和常用的解题模型。如有可能最好给学生补充弦切角定理及其逆定理（使用时须证明），这样可以拓宽学生的解题思路。





二、知识讲解








知识点1 确定圆的条件








1.不在同一条直线上的三个点确定一个圆；


2.一个三角形能画一个外接圆，一个圆中有无数个内接三角形。


3.三角形的外接圆与外心








知识点2 直线与圆的位置关系





1.直线和圆有几种位置关系








如图（a），直线L和圆有两个公共点，这时我们就说这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线．


如图（b），直线和圆有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点．


如图（c），直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离．[





2.切线的判定和性质


1、切线的性质定理圆的切线垂直于过切点的半径


2、推论：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点，经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.





3、切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线





4.弦切角定理及其逆定理








三、例题精析








例题1





【题干】小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了,其中四块碎片如图所示,为配到与原来大小一样的圆形玻璃,） 小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（ ）








A. 第①块 B. 第②块 C. 第③块 D. 第④块


【答案】B


【解析】不在同一条直线上的三个点确定一个圆.





例题2





【题干】如图，有一个三角形池塘，在它的三个顶点A，B，C处均有一棵白杨树，现设想把三角形池塘扩建成圆形的养鱼池，但必须保持白杨树不动，请问能否实现这一设想？若能，请设计并画出图形；若不能，请说明理由．








【答案】白杨树保持不变，则A，B，C三点必须在圆上，因此，就是作△ABC的外接圆


【解析】白杨树保持不变，则A，B，C三点必须在圆上，因此，就是作△ABC的外接圆．


解：能．作法如下：


(1)分别作BC，AC的垂直平分线，设这两条垂直平分线的交点为O；


(2)以O为圆心，OA长为半径作圆．


如图中的⊙O即为所求的圆形养鱼池．








例题3





【题干】如图，AD为△ABC外接圆的直径，AD⊥BC，垂足为F，∠ABC的平分线交AD于点E，连接BD，CD.


(1) 求证：BD＝CD;


(2) 请判断B，E，C三点是否在以点D为圆心，DB长为半径的圆上，并说明理由．





【答案】见解析


【解析】(1)证明：∵AD为直径，AD⊥BC，


∴BF＝CF，∴BD＝CD.


(2)B，E，C三点在以点D为圆心，DB长为半径的圆上．理由如下：


由(1)知＝，


∴∠BAD＝∠CBD.


∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠ABE.


∵∠DBE＝∠CBD＋∠CBE，∠DEB＝∠BAD＋∠ABE，


∴∠DBE＝∠DEB，∴DB＝DE.


由(1)知BD＝CD，


∴DB＝DE＝DC.


∴B，E，C三点在以点D为圆心，DB长为半径的圆上．





例题4





【题干】如图，为⊙O的弦，为劣弧的中点，





（1）若⊙O的半径为5，AB=8，求；


（2）若，且点在⊙O的外部，判断与⊙O的位置关系，并说明理由．





【答案】见解析


【解析】（1）如图，∵AB为⊙O的弦，C为劣弧AB的中点，AB=8，∴OC⊥AB于E，∴AE＝AB＝4，又∵AO=5，∴OE＝＝3，∴CE=OC-OE=2，在Rt△AEC中，tan∠BAC＝；


（2）AD与⊙O相切．理由如下：∵OA=OC，∴∠C=∠OAC，∵由（1）知OC⊥AB，∴∠C+∠BAC=90°．又∵∠BAC=∠DAC，∴∠OAC+∠DAC=90°，∴AD与⊙O相切．








例题5





【题干】如图，AC是⊙O的直径，PB切⊙O于点D，交AC的延长线于点B，且∠DAB＝∠B．


O


A


B


C


D


P





（1）求∠B的度数；


（2）若BD＝9，求BC的长．


【答案】见解析


【解析】证明：（1）连结OD∵PB切⊙O于点D，∴OD⊥PB ∵OA=OD，∴∠COD=2∠A，而∠A=∠B，


∴∠COD=2∠B ∴在Rt△BOD中，B=30°


（2）∵在Rt△BOD中，BD=9，∴OD=OC=3，OB=6 ∴BC=3.








例题6





【题干】如图，AB是⊙O的直径，点F，C是⊙O上两点，且AF=FC=BC，连接AC，AF，过点C作CD⊥AF交AF延长线于点D，垂足为D．





求证：CD是⊙O的切线；





【答案】见解析


【解析】证明：连结OC，如图，





∵FC=BC，∴∠FAC=∠BAC，


∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠FAC=∠OCA，∴OC∥AF，


∵CD⊥AF，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线；








四 、课堂运用





【教学建议】


在讲解过程中，教师可以以中考真题入手，先把例题讲解清晰，再给学生做针对性的练习。





基础





1.下列四个命题正确的有( )


①经过三角形顶点的圆是三角形的外接圆；②任何一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；③任何一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；④三角形的外心到该三角形三个顶点的距离相等．


A．1个 B．2个 C．3个 D．4个





【答案】B


【解析】根据相关结论易得。





2.直角三角形的两边长分别为16和12，则此三角形的外接圆半径是________．


【答案】10或8


【解析】提示：因为斜边未知，所以分两种情况，然后根据直角三角形的外心是斜边的中点，等于斜边的一半即可得。





3.已知：⊙O的半径为2cm，圆心到直线l的距离为1cm，将直线l沿垂直于l的方向平移，使l与⊙O相切，则平移的距离是（ ）


A．1cm B．3cm或2cm C．3cm D．1cm或3cm





【答案】D


【解析】提示：注意分两种情况。


4.如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是（ ）





A．点（0，3） B．点（2，3） C．点（5，1） D．点（6，1）


【答案】C


【解析】提示：先找圆心，然后连接过B点的半径，最后过B点作垂线即可得。





5.下列四个命题：①与圆有公共点的直线是该圆的切线；②到圆心的距离等于该圆半径的直线是该圆的切线；③垂直于圆的半径的直线是该圆的切线；④过圆直径的端点，垂直于此直径的直线是该圆的切线．其中正确的是( )


A．①② B．①④ C．②④ D．③④


【答案】C


【解析】根据切线的判定即可得。





6.如图，△ABC中，CA=CB，以BC为直径的半圆O交于AB于D，DE⊥AC于E．求证：DE是半圆O的切线．








【答案】见解析


【解析】连接OD，如图所示，





∵AC=BC，∴∠A=∠ABC，


∵OD=OB，∴∠OBD=∠ODB，∴∠ODB=∠A，∴OD∥AC，


又∵DE⊥AC，∴∠CED=90°，∴∠ODG=90°，∴OD⊥EG，


∴DE是⊙O的切线．








巩固





1.△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC＝160°，则∠ABC的度数是( )


A．80° B．160°


C．100° D．80°或100°





【答案】D


【解析】注意分类讨论





2.已知⊙O的半径r=3，设圆心O到一条直线的距离为d，圆上到这条直线的距离为2的点的个数为m，给出下列命题：


①若d＞5，则m=0；②若d=5，则m=1；③若1＜d＜5，则m=3；④若d=1，则m=2；⑤若d＜1，则m=4．


其中正确命题的个数是（ ）


A．1 B．2 C．4 D．5


【答案】C


【解析】根据直线与圆的位置关系即可得。





3.如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AO与⊙O交于点C，若∠BCA=115°，则∠A的度数为（ ）





A．40° B．45° C．50° D．55°


【答案】A


【解析】根据切线的性质和三角形内角和定理即可得。





4.如图，△ABC为等腰三角形，AB=AC，O是底边BC的中点，⊙O与腰AB相切于点D，求证：AC与⊙O相切．








【答案】见解析


【解析】连接OD，过点O作OE⊥AC于E点，





则∠OEC=90°，


∵AB切⊙O于D，∴OD⊥AB，∴∠ODB=90°，∴∠ODB=∠OEC；


又∵O是BC的中点，∴OB=OC，


∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴△OBD≌△OCE，


∴OE=OD，即OE是⊙O的半径，


∴AC与⊙O相切．





5.如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，∠CDA=∠CBD．





求证：CD是⊙O的切线。


【答案】见解析


【解析】证明：连OD，OE，∵AB为直径，∴∠ADB=90°，即∠ADO+∠1=90°，又∵∠CDA=∠CBD，而∠CBD=∠1，∴∠1=∠CDA，∴∠CDA+∠ADO=90°，即∠CDO=90°，∴CD是⊙O的切线；


6.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F





（1）求证：四边形ODCE是正方形；


（2）若BC=5、AC=12，⊙O的半径为R，求R的值．





【答案】见解析


【解析】（1）证明：∵△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，


∴OE⊥AC，OD⊥BC，OF⊥AB，


∴∠OED=∠ODE=90°，OE=OD，


∵∠C=90°，


∴四边形ODCE是正方形；


（2）解：BC=5，AC=12，由勾股定理得：AB=13，


连接OA、OB、OC、OF，


∵S△ABC=S△AOB+S△AOC+S△BOC，


∴AC×BC=×AB×OF+AC×OE+BC×OD，


∴5×12=13R+12R+5R，


∴R=2．


答：R的值是2．











拔高





1.如图，⊙O的直径AB为6，弦AC的长为2，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求四边形ADBC的面积．








【答案】见解析


【解析】∵AB是直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°.


在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝2，


∴BC＝eq \r(AB2－AC2)＝eq \r(62－22)＝4eq \r(2).


∵∠ACB的平分线交⊙O于点D，


∴∠DCA＝∠BCD，


∴＝，∴AD＝BD.


在Rt△ABD中，AD＝BD＝eq \f(\r(2),2)AB＝3eq \r(2)，


∴四边形ADBC的面积＝S△ABC＋S△ABD＝eq \f(1,2)AC·BC＋eq \f(1,2)AD·BD＝eq \f(1,2)×2×4eq \r(2)＋eq \f(1,2)×(3eq \r(2))2＝9＋4eq \r(2).





2.已知圆心O到直线m的距离为d，⊙O的半径为r


（1）当d、r是方程x2-9x+20=0的两根时，判断直线m与⊙O的位置关系?


（2）当d、r是方程 x2-4x+p=0的两根时，直线m与⊙O相切，求p的值





【答案】见解析


【解析】 解：（1）解方程x2-9x+20=0得 d=5 r=4或d=4 r=5


当d=5 r=4时 ，d﹥r ，此时直线m与⊙相离


当d=4 r=5时 ，d﹤r ，此时直线m与⊙相交


（2）当直线m与⊙相切时，d=r





∴ p=4





3.已知AB是半圆O的直径，点C是半圆O上的动点，点D是线段AB延长线上的动点，在运动过程中，保持CD=OA．


（1）当直线CD与半圆O相切时（如图①），求∠ODC的度数；


（2）当直线CD与半圆O相交时（如图②），设另一交点为E，连接AE，若AE∥OC，


①AE与OD的大小有什么关系？为什么？


②求∠ODC的度数．





【答案】见解析


【解析】（1）如图①，连接OC，





∵OC=OA，CD=OA，


∴OC=CD，∴∠ODC=∠COD，


∵CD是⊙O的切线，


∴∠OCD=90°，∴∠ODC=45°；


（2）如图②，连接OE．





∵CD=OA，∴CD=OC=OE=OA，


∴∠1=∠2，∠3=∠4．


∵AE∥OC，


∴∠2=∠3．


设∠ODC=∠1=x，则∠2=∠3=∠4=x．


∴∠AOE=∠OCD=180°-2x．


①AE=OD．理由如下：


在△AOE与△OCD中，





∴△AOE≌△OCD（SAS），


∴AE=OD．


②∠6=∠1+∠2=2x．


∵OE=OC，∴∠5=∠6=2x．


∵AE∥OC，∴∠4+∠5+∠6=180°，即：x+2x+2x=180°，


∴x=36°．∴∠ODC=36°．





4.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，O是AB上一点，以OA为半径的⊙O经过点D。





（1）求证：BC是⊙O切线；


（2）若BD=5，DC=3，求AC的长。


【答案】见解析


【解析】（1）证明:连接OD． ∵ OA=OD AD平分∠BAC ∴ ∠ODA=∠OAD ∠OAD=∠CAD


∴∠ODA=∠CAD ∴ OD//AC ∴ ∠ODB=∠C=90° ∴ BC是⊙O的切线．


（2）过D点作AB的垂线段DE ∴DE=DC=3，BD=5， 则BE=4，


又∵AE=AC，在直角△ABC中运用勾股定理，设AC=x，则x²+8²=(x+4)²解得：x=6，∴ AC=6





5.如图，AB是⊙O的弦，OP⊥OA交AB于点P，过点B的直线交OP的延长线于点C，且CP=CB．





（1）求证：BC是⊙O的切线；


（2）若⊙O的半径为，OP=1，求BC的长．


【答案】见解析


【解析】（1）连接OB，如图，





∵OP⊥OA，


∴∠AOP=90°，


∴∠A+∠APO=90°，


∵CP=CB，


∴∠CBP=∠CPB，


而∠CPB=∠APO，


∴∠APO=∠CBP，


∵OA=OB，


∴∠A=∠OBA，


∴∠OBC=∠CBP+∠OBA=∠APO+∠A=90°，


∴OB⊥BC，


∴BC是⊙O的切线；


（2）设BC=x，则PC=x，


在Rt△OBC中，OB=，OC=CP+OP=x+1，


∵OB2+BC2=OC2，


∴（）2+x2=（x+1）2，


解得x=2，


即BC的长为2．








6.已知：如图，⊿ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点P，PD⊥AC于点D．





（1）求证：PD是⊙O的切线．


（2）若∠CAB=120°，AB=2，求BC的长．





【答案】见解析


【解析】（1）连接AP，因为AB为直径，所以∠APB=90º，AP⊥BC，因为AB=AC，所以BP=CP，又因为AO=BO，所以OP∥AC，因为PD⊥AC，所以PD⊥OP．又因为OP是半径，所以PD是⊙O的切线．


（2）因为AP⊥BC，AB=AC，∠CAB=120°，所以∠PAB=∠PAC=60º，所以∠B=30º，在Rt△APB中，因为AB=2，所以AP=1，PB=，所以BC=2BP=2．即BC的长是2．














课堂小结





确定圆的条件


确定圆的条件；


三角形的外接圆。


直线与圆的位置关系


切线的性质；


切线的判定；


三角形的内切圆和内心。








拓展延伸








基础





1. 如图，若锐角三角形ABC内接于⊙O，点D在⊙O外(与点C在AB同侧), 则下列三个结论：①sinC>sinD；②csC>csD；③tanC>tanD，其中正确的结论为( )





A．①② B．②③ C．②③ D．①③





【答案】D


【解析】根据相关结论易得。





2. 如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，且OC⊥OA，OC交AB于点P，已知∠OAB＝22°，则∠OCB＝________°．





【答案】44


【解析】连接OB，∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠A＝22°，∴∠AOB＝180°－2×22°＝136°；又∵OC⊥OA，∴∠BOC＝136°－90°＝46°；∵BC切⊙O于点B，∴OB⊥BC，∴∠OCB＝90°－∠BOC＝90°－46°＝44°．








3.如图，点 A，B，D 在⊙O 上，∠A＝20°，BC 是⊙O的切线，B为切点，OD的延长线交BC于点C，∠OCB＝ 度.





【答案】50°


【解析】∵∠B0D＝2∠A，∠A＝20°，


∴∠BOD＝40°


又∵BC与⊙O相切


∴BC⊥OB，∠OBC＝90°


∴∠OCB＝50°





4.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O与AC边交于点D，过点D的直线交BC边于点E，∠BDE=∠A．





（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由．


（2）若⊙O的半径R=5，若BC:AB=3：4，求线段CD的长．





【答案】见解析


【解析】（1）直线DE与⊙O相切．


理由如下：连接OD．


∵OA=OD


∴∠ODA=∠A


又∵∠BDE=∠A


∴∠ODA=∠BDE


∵AB是⊙O直径


∴∠ADB=90°


即∠ODA+∠ODB=90°


∴∠BDE+∠ODB=90°


∴∠ODE=90°


∴OD⊥DE


∴DE与⊙O相切；


（2）∵R=5，


∴AB=10，


在Rt△ABC中


∵BC:AB=3：4


∴BC =10×=，


∴AC=


∵AB．BC=AC．BD


∴．CD=4．5





5.如图，四边形OABC是平行四边形，以O为圆心，OA为半径的圆交AB于D，延长 AO交⊙O于E，连接CD，CE，若CE是⊙O的切线，解答下列问题：





（1）求证：CD是⊙O的切线；


（2）若平行四边形OABC的两边长是方程的两根，求平行四边形OABC的面积．





【答案】见解析


【解析】证明：（1）连OD，∵CE是⊙O的切线， ∠OEC=90O ，∵OD=OA，∴∠ODA=∠OAD，又∵OC//AD


∴∠OAD =∠EOC，∠DOC=∠ODA，∴∠EOC=∠DOC， 又∵OD=OE，OC=OC， ∴△ODC≌△OEC（SAS）


∴∠ODC=∠OEC=90 O， ∴CD是⊙O的切线。


（2），，即OC=10，OA=6 在Rt△ODC， CD=8 ∵△ODC≌△OEC ，CE=CD=8


∴平行四边形OABC的面积S=OA×CE=6×8=48





6.如图，在△ABC中，∠CAB=90°，∠CBA=50°，以AB为直径作⊙O交BC于点D，点E在边AC上，且满足ED=EA．





（1）求∠DOA的度数；


（2）求证：直线ED与⊙O相切．





【答案】见解析


【解析】证明：（1）∵∠DBA=50°，∴∠DOA=2∠DBA=100°；


（2）证明：连接OE，





在△EAO和△EDO中，


AO=DO，EA=ED，EO=EO，


∴△EAO≌△EDO，


得到∠EDO=∠EAO=90°，


∴直线ED与⊙O相切．








巩固





1.如图，在圆O中，AB为直径，AD为弦，过点B的切线与AD的延长线交于点C,AD=DC,则∠C= 度.





【答案】450


【解析】∵AB为直径，∴∠ADB=900,∵AD=DC,∴AB=BC,∵BC为圆O的切线,∴AB⊥BC,∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠C=450.





2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D，连接CD．





（1）求证：∠A=∠BCD；


（2）若M为线段BC上一点，试问当点M在什么位置时，直线DM与⊙O相切？并说明理由．





【答案】见解析


【解析】（1）证明：∵AC为直径，


∴∠ADC=90°，


∴∠A+∠DCA=90°，


∵∠ACB=90°，


∴∠DCB+∠ACD=90°，


∴∠DCB=∠A；


（2）当MC=MD（或点M是BC的中点）时，直线DM与⊙O相切；


解：连接DO，


∵DO=CO，∴∠1=∠2，


∵DM=CM，∴∠4=∠3，


∵∠2+∠4=90°，∴∠1+∠3=90°，∴直线DM与⊙O相切，


故当MC=MD（或点M是BC的中点）时，直线DM与⊙O相切．








3.图，正方形的边长为8，是的中点，是边上的动点，连结，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P.当⊙P与正方形ABCD的边相切时，BP的长为 ．





【答案】3或


【解析】由题意知，BM=4，分两种情况，（1）与CD相切时，设PM=PC=x，由勾股定理得，x2=42＋(8－x)2,解得x=5,所以BP=3；（2）与AD相切时，PM=8，由勾股定理得，BP2=82－42，即BP=。





4.已知：如图△ABC中，AC=BC，以BC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作DE⊥AC于E，交BC的延长线于点F．





求证：（1）AD=BD；


（2）DF是⊙O的切线．


【答案】见解析


【解析】证明：（1）连接CD，





∵BC为⊙O的直径，


∴CD⊥AB．


∵AC=BC，


∴AD=BD．


（2）连接OD；


∵AD=BD，OB=OC，


∴OD是△BCA的中位线，∴OD∥AC．


∵DE⊥AC，∴DF⊥OD．


∵OD为半径，∴DF是⊙O的切线．





5.如图，PA是⊙O的切线，A是切点，AC是直径，AB是弦，连接PB、PC，PC交AB于点E，且PA＝PB.


（1）求证：PB是⊙O的切线；


（2）若∠APC＝3∠BPC，求的值.








【答案】见解析


【解析】（1）证明：方法一:分别连接OB，OP，在△OAP和△OBP中，，∴△OAP≌△OBP(SSS)，∴∠OBP＝∠OAP，∵PA是⊙O的切线，∴∠OBP＝∠OAP＝90°，∴PB是⊙O的切线.





方法二：连接OB.


∵PA是⊙O的切线，∴∠PAO＝90°.


∵OA＝OB，PA＝PB，


∴∠OAB＝∠OBA， ∠PAB＝∠PBA.


∴∠PBO＝∠PAO＝90°，


∴PB是⊙O的切线.


⑵连接BC，设AB与OP交于点F，


∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，


∵PA，PB是⊙O的切线，


∴PO垂直平分AB， PO平分∠APB .


∴OP∥BC， ∴∠OPC＝∠PCB.


∵∠APC＝3∠BPC， ∴∠OPC＝∠CPB， ∴∠PCB＝∠CPB.


∴CB＝BP．


设OF＝t，则CB＝BP＝2t，


由△PBF∽△POB，得PB2＝PF·PO.


即(2t)2＝ PF·(PF＋t).


解得PF＝.(取正值)


∵△PFE∽△CBE，


∴，


∴ ＝＝.


6.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，且交⊙O于点E．连接OC，BE，相交于点F．


（1）求证：EF＝BF．


（2）若DC＝4，DE＝2，求直径AB的长．





【答案】见解析


【解析】（1）∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB＝90°．∴∠DEF＝90°．


∵DC与⊙O相切于点C，∴∠DCO＝90°．∵AD⊥CD，∴∠D＝90°＝∠DEF＝∠DCO．


∴四边形CDEF是矩形．∴∠EFC＝90°．∴OC⊥BE．∴EF＝BF．


（2）∵四边形CDEF是矩形．∴EF＝CD＝4，CF＝DE＝2 ．由（1），EF＝BF．∴BF＝4．


设⊙O的半径为r，则OB＝r，OF＝r－2．


在Rt△OBF中，根据勾股定理可得，OF2＋BF2＝OB2．


∴(r－2)2＋42＝r2．r＝5．∴AB＝10．








拔高





1.如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D，过点A作⊙O的切线与OD的延长线交于点P，PC、AB的延长线交于点F．


（1）求证：PC是⊙O的切线；


（2）若∠ABC＝60°，AB＝10，求线段CF的长．





【答案】见解析


【解析】（1）证明：连接OC，


∵OD⊥AC，OD经过圆心O，


∴AD＝CD，


∴PA＝PC，


在△OAP和△OCP中，


，


∴△OAP≌△OCP（SSS），


∴∠OCP＝∠OAP


∵PA是半⊙O的切线，


∴∠OAP＝90°．


∴∠OCP＝90°，


即OC⊥PC


∴PC是⊙O的切线．


（2）解：∵AB是直径，


∴∠ACB＝90°，


∵∠ABC＝60°，


∴∠COF＝60°，


∵PC是半⊙O的切线，AB＝10，


∴OC⊥PF，OC＝OB＝AB＝5，


∴OF＝＝＝10，


∴CF＝．





2.如图，在以线段AB为直径的⊙O上取一点C，连接AC、BC．将△ABC沿AB翻折后得到△ABD．


（1）试说明点D在⊙O上；


（2）在线段AD的延长线上取一点E，使AB2＝AC·AE．求证：BE为⊙O的切线；


（3）在（2）的条件下，分别延长线段AE、CB相交于点F，若BC＝2，AC＝4，求线段EF的长．


A


D


C


F


E


B


O


▪





【答案】见解析


【解析】（1）∵点C在以线段AB为直径的⊙O上，∴∠ACB＝90°，


∵将△ABC沿AB翻折后得到△ABD，∴∠ADB＝∠ACB＝90°，


∴点D在⊙O上．


（2）由轴对称性质得：∠DAB＝∠CAB，


又∵AB2＝AC·AE，∴，


在△ABC和△AEB中，，∠DAB＝∠CAB，∴△ABC∽△AEB，


∴∠ABE＝∠ACB＝90°，


∴BE为⊙O的切线．


（3）设EF＝x，


∵BC＝2，AC＝4，∴由轴对称的性质得BD＝BC＝2，AD＝AC＝4，


在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB＝＝＝，


∵AB2＝AC·AE，∴AE＝5，DE＝AE－AD＝5－4＝1，


在Rt△ABE中，由勾股定理得：BE＝＝＝，


∵∠ABE＝∠ACB＝90°，∴∠FBE＋∠ABC＝90°，∠CAB＋∠ABC＝90°，∴∠FBE＝∠CAB，


又∵∠DAB＝∠CAB，∴∠FBE＝∠DAB，


在△EBF和△BAF中，∠FBE＝∠DAB，∠BFE＝∠AFB，∴△EBF∽△BAF，


∴，即BF＝2EF＝2x，


在Rt△BDF中，由勾股定理得：BD2＋DF2＝EF2，即4＋（1＋x）2＝4x2解得x1＝，x2＝－（舍），


答：线段EF的长为．





3.如图，在△ABC中，O为AC上一点，以点O为圆心，OC为半径作圆，与BC相切于点C，过点A作AD⊥BO的延长线于点D，且∠AOD＝∠BAD．


（1）求证：AB为⊙O的切线；


（2）若BC＝6，tan∠ABC＝eq \f(4,3)，求AD的长．





【答案】见解析


【解析】如图，作OE⊥AB于E．


因为⊙O与相切于点，所以AC⊥BC，


因为，所以∠OAD＝∠ABD，


因为∠OAD＝∠OBC，所以∠ABD＝∠OBC，所以OE＝OC，


所以点E在⊙O上，即为⊙O的切线．


（2）由，得BE＝6，AC＝8，AB＝10，AE＝4．


令OE ＝OC＝x，则在Rt△AEO中，（8－x）2＝42＋x2，x＝3，所以BO＝．


因为AB×OE＝OB×AD，10×3＝×AD，所以AD＝．


（或：AO×BC＝OB×AD，5×6＝×AD， AD＝）








4.如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠BAC＝36°，过点A作AD∥BC，与∠ABC的平分线交于点D，BD与AC交于点E，与⊙O交于点F．


（1）求∠DAF的度数；


（2）求证：AE2＝EF·ED；


（3）求证：AD是⊙O的切线．


A


D


O


B


C


E


F





【答案】见解析


【解析】（1）解：∵AB＝AC，∠BAC＝36°，BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝36°，∠C＝72°．


∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠C＝72°．∵∠FAC＝∠FBC＝36°，∴∠DAF＝36°．


（2）证明：∵AD∥BC，∴∠D＝∠DBC．∵∠DBC＝∠FAE，∴∠D＝∠FAE．


在△DAE和△AFE中，∴△DAE∽△AFE，∴，∴AE2＝EF·ED．


（3）证明：连接AO、OB、OC，延长AO交BC于点P．


∵∴△OAB≌△OAC (SSS)，∴∠BAO＝∠CAO，∴AP⊥BC．


∵AD∥BC，∴OA⊥AD，∴AD是⊙O的切线．


P


A


D





B


C


E


F


O








5.如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，BE平分∠ABC交AC 于点E，作ED⊥EB交AB 于点 D，⊙O是△BED的外接圆．


（1）求证：AC是⊙O的切线；


（2）已知⊙O的半径为2.5，BE＝4，求 BC，AD 的长．








【答案】见解析


【解析】 (1)连接OE，∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB．


∵BE 平分∠ABC，∠OBE＝∠EBC． ∴∠OEB＝∠EBC． ∴OE∥BC．


又∵∠C＝90°，∴∠OEA＝90°，即AC⊥OE．


又∵OE 是⊙O 的半径，∴AC 是⊙O 的切线．


(２)在△BCE 与△BED 中，


∵∠C＝∠BED＝90°，∠EBC＝∠DBE，


∴△BCE∽△BED．


∴，


∵BE＝4，BD 是⊙O 的直径， BD＝5，


∴，BC=，


又∵OE∥BC，∴，


∵AO=AD+2.5，AB=AD+5，


∴，解得AD=.








6.如图，已知D、E分别为△ABC的边AB、BC上两点，点A、C、E在⊙D上，点B、D在⊙E上，点F为上一点，连接EF并延长交AC的延长线于点N，交AB于点M．


（1）若∠EBD为，请将∠CAD用含的代数式表示；


（2）若EM=MB，请说明当∠CAD为多少度时，直线EF为⊙D的切线；


（3）在（2）的条件下，若AD=，求的值．





【答案】见解析


【解析】（1）连接CD、DE． ∵DE=EB，∴∠EDB=∠EBD．∴∠CED=∠EDB+∠EBD=2．


同理，∠CDB=2∠CAD．∵DC=DE，∴∠DCE=∠CED =2．


∵∠DCE+∠CED+∠CDE=180°，即2∠CAD﹣α+2α+2α=180°，


∴∠CAD=．





（2）当EM=MB时，∠MEB=∠MBE=α．∴∠EMD=2α．


当EDM+∠EMD=90°，即3α=90°，α=30°时，直线EF为⊙D的切线．


此时∠CAD==45°．


（3）在（2）的条件下，∠DCE=∠CED =2=60°，∴CE=DE．


∠NCE=∠A+∠ABC=45°+30°=75°．


又∠CEN=∠MEB=30°，∴∠N=75°．∴NE=CE=DE=AD=．


∵∠EDB=30°，∠DEM=90°，∴EM=DE·tan30°=1． ∴DM=2．


∴MF=EF-EM=-1．∴．








教学反思





适用学科
初中数学
适用年级
初中三年级
适用区域
北师版区域
课时时长（分钟）
120
知识点
确定圆的条件


直线与圆的位置关系
教学目标
1、掌握确定圆的条件


2、掌握直线与圆的位置关系
教学重点
能熟练掌握确定圆的条件及直线与圆的位置关系
教学难点
能熟练掌握确定圆的条件及直线与圆的位置关系
示意图
点和圆的位置关系
经过三角形的三个顶点可以作一个圆,这个圆叫做三角形的外接圆,外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点,叫做这个三角形的外心．从三角形外心的定义知:三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等．


如图,分别作出线段AB的垂直平分线l1和线段BC的垂直平分线l2,设它们的交点为O,则OA＝OB＝OC．于是以点O为圆心,OA(或OB、OC)为半径,便可作出经过A、B、C三点的圆．因为过A、B、C三点的圆的圆心只能是点O,半径等等于OA,所以这样的圆只有一个．
过一点可以作 圆；过两点可以作 圆；并且这些圆的在以这两点为端点的 上；过三点可以作 圆． 的三个确定一个圆．
弦切角定理(需证明)
弦切角的定义
顶点在圆上,并且一边和圆相交,另一边和圆相切的角叫做弦切角
弦切角定理
弦切角的度数等于它所夹得弧所对得圆心角得一半,等于它所交得弧所对得圆周角得度数．
如图所示,线段PT所在的直线切圆O于点C,BC、AC为圆O的弦,∠TCB、∠TCA、∠PCA、∠PCB都为弦切角．


证明过程略.
弦切角定理逆定理(需证明)
弦切角定理逆定理
如右图,在△ABC的形外作∠PAB=∠BCA,则PA是△ABC的外接圆的切线.
证明:只要用切线的定义,要证AP垂直于过切点的半径,先作过A点的直径,连接DB,则∠DBA=90°,∠D=∠C=∠PAB,所以∠PAD=∠DAB+∠PAB=∠DAB+∠D=90°.


所以PA是圆O的切线.