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初中数学北师大版七年级上册2.5 有理数的减法教案
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这是一份初中数学北师大版七年级上册2.5 有理数的减法教案，共17页。教案主要包含了知识导图等内容，欢迎下载使用。
第5讲
讲
有理数的减法及加减混合运算
.
概 述
【知识导图】
教学过程
一、知识讲解
考点1 有理数加法、减法运算法则
有理数加法运算法则
同号两数相加 ， ；
异号两数相加 ， ；
互为相反数的两数相加 ；
任何数与0相加， 。
有理数减法法则
减法转变为加法，减去一个数，等于 。
考点2 有理数的加减混合运算
有理数的加减混合运算，把减法转化为加法，即统一成加法运算，再按加法的运算法则计算。
加法运算律
加法交换律： ；
加法结合律： .
三 、例题精析
类型一 有理数减法的意义
例题1
填空：
（1）； （2）
（3）； （4）；
（5）
类型二 有理数的减法法则
例题1
在下列括号中填上适当的数.
（1）（ ）；
（2）；
（3）；
（4）.
类型三 利用有理数减法解决生活中的问题
例题1
某自行车厂一周计划生产2100辆电动车，平均每天生产电动车300辆，由于各种原因，实际每天生产量与计划每天生产量相比有出入。下表是某周的生产情况（超产记为正、减产记为负，单位：辆）：
（1）根据记录的数据可知，该厂星期一生产电动车 辆
（2）产量最多的一天比产量最少的一天多生产电动车 辆
（3）该厂实行记件工资制，每生产一辆车可得60元，若超额完成任务，则超额部分每辆车另奖10元，每少生产一辆扣10元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？
例题1
例题1
类型四 有理数减法与绝对值等知识的综合应用
已知有理数所对应的点在数轴上的位置如图所示.
判断下列各式的符号：；
若，试比较之间的大小关系.
类型五 解决数轴上两点间的距离问题
例题1
数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ；
数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是 ；
数轴上表示-2和5的两点之间的距离是 ；
数轴上表示和2的两点M、N之间的距离是 ；
如果M、N之间的距离为3，那么 .
类型六 有理数的加减混合运算
例题1
（2）（+16）+（-25）+（+24）+（-32）
（3） （4）
类型七 利用有理数加减运算解决实际问题
例题1
七年级（1）班的班委会把班费存入银行，使用时再到银行去取，这学期管理情况如下：存入125元，取出97元，存入50元，取出38元，取出12.5元，存入100元，取出78元，取出21元，这学期班费还剩多少钱？
例题1
类型八 有理数的加减与数轴、绝对值的综合
结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
(1)数轴上表示4和1的两点之间的距离是 ；表示－3和2两点之间的距离是 ；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．如果表示数a和－2的两点之间的距离是3，那么a= ；
(2)若数轴上表示数a的点位于－4与2之间,求+的值；
(3)当a取何值时，++的值最小，最小值是多少？请说明理由。
例题1
类型九 利用有理数加减混合运算探求规律
请先阅读下列一组内容，然后解答问题：
因为：
所以：
计算：
四 、课堂运用
基础
1.一个数加上等于，则这个数是（ ）
A． B． C． D．
2.下列说法中，正确的是（ ）
A.减去一个负数等于加上这个 数的相反数； B.两个负数的差，一定是负数；
C.0减去一个负数，仍得这个数； D.两个正数的差，一定是一个正数.
3.与-3的差为0的数是（ ）
A.3 B.-3 C. D.
4.与结果相等的式子是（ ）
A. B. C. D.
5.a,b,c三个数在数轴上的位置如图所示，则下列结论中错误的是（ ）
A.a+b＜0 B.a+c＜0 C.a－b＞0 D.b－c＜0
6.已知，b=1，则a-b=_________．
7.（1） （2） （3）
（4） （5） （6）
8.小虫从某点O出发在一直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正，向左爬行的路程记为负，爬过的路程依次为（单位：cm）：
+5， -3， +10， -8， -6， +12， -10．
问：（1）小虫是否回到原点O？
（2）在爬行过程中，如果每爬行1 cm奖励一粒芝麻，则小虫共可得到多少粒芝麻？
巩固
1.两个有理数的差（ ）
A．小于被减数 B．大于被减数 C．等于被减数 D．上述情况都有可能
2.下列说法正确的是（ ）
A．异号两数相加，取较大的符号，并把绝对值相加
B．同号两数相减，取相同的符号，并把绝对值相减
C．符号相反的两个数相加得0
D．0加上一个数仍得这个数
3.a为有理数，定义运算符号“※”：当a＞－2时，※a＝－a；当a＜－2时，※a＝a；当a＝－2时，※a＝0．根据这种运算，则※[4＋※（2－5）]的值为（ ）
A．1 B．－1 C．7 D．－7
4.甲、乙、丙三地的海拔高度分别为20m、-15m和-10m，那么最高的地方比最低的地方高（ ）
A．5m B．10m C．25m D．35m
5.某超市出售的三种品牌月饼袋上，分别标有质量为（500±5）g，（500±10）g，（500±20）g的字样，从中任意拿出两袋，它们的质量最多相差 g．
6.若，且，求的值.
7.计算下列各题：
（1） （2）
8.计算：
（1）； （2）
； （4）；
（5）； （6）
拔高
1.已知a、b、c三个数在数轴上对应点的位置如图所示，下列几个判断正确的个数有（ ）
①a＜c＜b ②-a＜b ③a+b＞0 ④c-a＜0 ⑤a+c＞0
⑥
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2.设[x）表示大于x的最小整数，如[3）=4，[－1.2）=－1，则下列结论中正确的是．（ ）
A．[0）=0 B、[x）－x的最小值是0
C．[x）－x的最大值是0 D．存在实数x，使[x）－x=0.5成立．
3.我们知道，|a|表示数a到原点的距离，这是绝对值的几何意义，进一步地，数轴上两个点A、B分别用a，b表示，那么AB=|a-b|，利用此结论，回答以下问题：
（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是______，数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是______，数轴上表示1和-3的两点之间的距离是______；
（2）数轴上表示x和-1的两点A．B之间的距离是______，如果|AB|=2，那么x的值为______；
（3）说出|x+1|+|x+2|表示的几何意义______，该式的最小值是：______
4.出租车司机小王某天下午营运全是在东西走向的太湖大道上进行的．如果向东记作“＋”，向西记作“－”．他这天下午行车情况如下：（单位：千米）
－2，＋5，－1，＋10，－3，－2，－5，＋6
请回答：
（1）小王将最后一名乘客送到目的地时，小王在下午出车的出发地的什么方向？距下午出车的出发地多远？
（2）若规定每趟车的起步价是10元，且每趟车3千米以内（含3千米）只收起步价；若超过3千米，除收起步价外，超过的每千米还需收2元钱．那么小王这天下午共收到多少钱？
六 、课后作业
基础
1.在（–5）–（ ）= –7中的括号里应填（ ）
A．–12 B．2 C．–2 D．12
2.若a＜0，b＞0，则b、b+a、b－a中最大的一个数是（ ）
A．a B．b+a C．b－a D．不能确定
3.某日，北京市的最低气温是-10℃，杭州市的最低气温是-1℃，则这一天北京的最低气温比杭州的最低气温低 （ ）
A.-11℃ B.-9℃ C.11℃ D.9℃
4.a是最小的正整数，b是最大的负整数，则a-b的值为（ ）
A．0 B．2 C．-2 D．±2
5.下列句子中，正确的是（ ）．
A．在有理数加法或减法中，和不一定比加数大，被减数不一定比减数大
B．减去一个数等于加上这个数
C．零减去一个数，仍得这个数
D．两个相反数相减得零
6.在数轴上，与表示－3的点相距6个单位长度的点所表示的数是________．
7.已知M是6的相反数，N比M的相反数小2，则M-N= .
8.若，，且，则的值等于 .
巩固
1.有理数、在数轴上的对应点如图所示：则（ ）
A． B． C． D．
2.将写成省略括号的和的形式为（ ）
A. B. C. D.
3.已知＝3，＝4，且x>y，则2x－y的值为（ ）
A．＋2 B．±2 C．＋10 D．－2或＋10
4.数、b在数轴上的位置如图所示，化简= 。
5.某检修小组乘汽车检修公路道路。向东记为正，向西记为负。某天自A地出发。所走路程（单位：千米）为：+22，-3，+4，-2，-8，-17，-2，+12，+7，-5；
问：①，最后他们是否回到出发点？若没有，则在A地的什么地方？距离A地多远？
②，若每千米耗油0.05升，则今天共耗油多少升？
6.某服装公司一周计划生产1000套服装，平均每天生产200套．由于各种原因实际每天生产的服装数量与比计划数量有多有少，下表是某周的生产情况（超产为正，减产为负，单位：套）：
（1）根据记录可知前3天共生产 套．
（2）产量最多的一天比产量最少的一天多生产 套．
（3）公司规定每生产一套服装付工资80元，超额完成任务每套奖20元，少生产一套扣20元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少?
拔高
1.定义新运算“*”为： ，则当时，计算的结果为 ．
2.（1）比较下列各式的大小：（用＞、＜或=连接）
（2）通过（1）的比较，请你分析，归纳当为有理数时，的大小关系；
（3）根据（2）中的结论，求当时，的取值范围.
3.
4.某公路检修队乘车从A地出发，在南北走向的公路上检修道路，规定向南走为正，向北走为负，从出发到收工时所行驶的路程记录如下（单位：千米）：+3，－9，+4，+6，－10，+5，－3，+14.
（1）问收工时，检修队在A地哪边，距A地多远?
（2）问从出发到收工时，汽车共行驶多少千米?
（3）在汽车行驶过程中，若每行驶l千米耗油0.15升.公路检修队检查到第四处的加油站时，刚好油用完，加油时发现比上次加油时油价下跌了0.2元/升.检修队从A地出发到回到A地，共用油费64.98元.问此次加油的油价是每升多少元?
、教学反思
适用学科
初中数学
适用年级
初一
适用区域
北师版区域
课时时长（分钟）
120
知识点
1、有理数减法的意义及法则 6、有理数的加减混合运算
2、利用有理数减法解决生活中的问题 7、利用有理数的加减运算解决实际问题
3、有理数减法与绝对值的综合应用 8、有理数的加减与数轴、绝对值的综合
4、解决数轴上两点间的距离问题 9、规律探究
5、理解代数和的意义
教学目标
1、使学生理解并掌握有理数减法法则，会进行有理数的减法运算.
2、能够依据有理数的加法和减法法则按从左到右顺序进行计算.
3、能初步掌握有关有理数的加减混合运算.
教学重点
1、有理数减法法则.
2、理解有理数的加减法可以互相转化，并了解代数和概念.
教学难点
1、法则本身的推导和理解.
2、理解有理数的加减法可以互相转化，能根据具体问题适当运用运算简化运算.
星期
一
二
三
四
五
六
日
减增
+8
-2
-6
+11
-12
+6
+7
星期
一
二
三
四
五
增减
＋5
－10
－4
－2
＋13
第5讲
讲
有理数的减法及加减混合运算
.
概 述
【知识导图】
教学过程
一、知识讲解
考点1 有理数加法、减法运算法则
有理数加法运算法则
同号两数相加 ， ；
异号两数相加 ， ；
互为相反数的两数相加 ；
任何数与0相加， 。
有理数减法法则
减法转变为加法，减去一个数，等于 。
考点2 有理数的加减混合运算
有理数的加减混合运算，把减法转化为加法，即统一成加法运算，再按加法的运算法则计算。
加法运算律
加法交换律： ；
加法结合律： .
三 、例题精析
类型一 有理数减法的意义
例题1
填空：
（1）； （2）
（3）； （4）；
（5）
类型二 有理数的减法法则
例题1
在下列括号中填上适当的数.
（1）（ ）；
（2）；
（3）；
（4）.
类型三 利用有理数减法解决生活中的问题
例题1
某自行车厂一周计划生产2100辆电动车，平均每天生产电动车300辆，由于各种原因，实际每天生产量与计划每天生产量相比有出入。下表是某周的生产情况（超产记为正、减产记为负，单位：辆）：
（1）根据记录的数据可知，该厂星期一生产电动车 辆
（2）产量最多的一天比产量最少的一天多生产电动车 辆
（3）该厂实行记件工资制，每生产一辆车可得60元，若超额完成任务，则超额部分每辆车另奖10元，每少生产一辆扣10元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？
例题1
例题1
类型四 有理数减法与绝对值等知识的综合应用
已知有理数所对应的点在数轴上的位置如图所示.
判断下列各式的符号：；
若，试比较之间的大小关系.
类型五 解决数轴上两点间的距离问题
例题1
数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ；
数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是 ；
数轴上表示-2和5的两点之间的距离是 ；
数轴上表示和2的两点M、N之间的距离是 ；
如果M、N之间的距离为3，那么 .
类型六 有理数的加减混合运算
例题1
（2）（+16）+（-25）+（+24）+（-32）
（3） （4）
类型七 利用有理数加减运算解决实际问题
例题1
七年级（1）班的班委会把班费存入银行，使用时再到银行去取，这学期管理情况如下：存入125元，取出97元，存入50元，取出38元，取出12.5元，存入100元，取出78元，取出21元，这学期班费还剩多少钱？
例题1
类型八 有理数的加减与数轴、绝对值的综合
结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
(1)数轴上表示4和1的两点之间的距离是 ；表示－3和2两点之间的距离是 ；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．如果表示数a和－2的两点之间的距离是3，那么a= ；
(2)若数轴上表示数a的点位于－4与2之间,求+的值；
(3)当a取何值时，++的值最小，最小值是多少？请说明理由。
例题1
类型九 利用有理数加减混合运算探求规律
请先阅读下列一组内容，然后解答问题：
因为：
所以：
计算：
四 、课堂运用
基础
1.一个数加上等于，则这个数是（ ）
A． B． C． D．
2.下列说法中，正确的是（ ）
A.减去一个负数等于加上这个 数的相反数； B.两个负数的差，一定是负数；
C.0减去一个负数，仍得这个数； D.两个正数的差，一定是一个正数.
3.与-3的差为0的数是（ ）
A.3 B.-3 C. D.
4.与结果相等的式子是（ ）
A. B. C. D.
5.a,b,c三个数在数轴上的位置如图所示，则下列结论中错误的是（ ）
A.a+b＜0 B.a+c＜0 C.a－b＞0 D.b－c＜0
6.已知，b=1，则a-b=_________．
7.（1） （2） （3）
（4） （5） （6）
8.小虫从某点O出发在一直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正，向左爬行的路程记为负，爬过的路程依次为（单位：cm）：
+5， -3， +10， -8， -6， +12， -10．
问：（1）小虫是否回到原点O？
（2）在爬行过程中，如果每爬行1 cm奖励一粒芝麻，则小虫共可得到多少粒芝麻？
巩固
1.两个有理数的差（ ）
A．小于被减数 B．大于被减数 C．等于被减数 D．上述情况都有可能
2.下列说法正确的是（ ）
A．异号两数相加，取较大的符号，并把绝对值相加
B．同号两数相减，取相同的符号，并把绝对值相减
C．符号相反的两个数相加得0
D．0加上一个数仍得这个数
3.a为有理数，定义运算符号“※”：当a＞－2时，※a＝－a；当a＜－2时，※a＝a；当a＝－2时，※a＝0．根据这种运算，则※[4＋※（2－5）]的值为（ ）
A．1 B．－1 C．7 D．－7
4.甲、乙、丙三地的海拔高度分别为20m、-15m和-10m，那么最高的地方比最低的地方高（ ）
A．5m B．10m C．25m D．35m
5.某超市出售的三种品牌月饼袋上，分别标有质量为（500±5）g，（500±10）g，（500±20）g的字样，从中任意拿出两袋，它们的质量最多相差 g．
6.若，且，求的值.
7.计算下列各题：
（1） （2）
8.计算：
（1）； （2）
； （4）；
（5）； （6）
拔高
1.已知a、b、c三个数在数轴上对应点的位置如图所示，下列几个判断正确的个数有（ ）
①a＜c＜b ②-a＜b ③a+b＞0 ④c-a＜0 ⑤a+c＞0
⑥
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2.设[x）表示大于x的最小整数，如[3）=4，[－1.2）=－1，则下列结论中正确的是．（ ）
A．[0）=0 B、[x）－x的最小值是0
C．[x）－x的最大值是0 D．存在实数x，使[x）－x=0.5成立．
3.我们知道，|a|表示数a到原点的距离，这是绝对值的几何意义，进一步地，数轴上两个点A、B分别用a，b表示，那么AB=|a-b|，利用此结论，回答以下问题：
（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是______，数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是______，数轴上表示1和-3的两点之间的距离是______；
（2）数轴上表示x和-1的两点A．B之间的距离是______，如果|AB|=2，那么x的值为______；
（3）说出|x+1|+|x+2|表示的几何意义______，该式的最小值是：______
4.出租车司机小王某天下午营运全是在东西走向的太湖大道上进行的．如果向东记作“＋”，向西记作“－”．他这天下午行车情况如下：（单位：千米）
－2，＋5，－1，＋10，－3，－2，－5，＋6
请回答：
（1）小王将最后一名乘客送到目的地时，小王在下午出车的出发地的什么方向？距下午出车的出发地多远？
（2）若规定每趟车的起步价是10元，且每趟车3千米以内（含3千米）只收起步价；若超过3千米，除收起步价外，超过的每千米还需收2元钱．那么小王这天下午共收到多少钱？
六 、课后作业
基础
1.在（–5）–（ ）= –7中的括号里应填（ ）
A．–12 B．2 C．–2 D．12
2.若a＜0，b＞0，则b、b+a、b－a中最大的一个数是（ ）
A．a B．b+a C．b－a D．不能确定
3.某日，北京市的最低气温是-10℃，杭州市的最低气温是-1℃，则这一天北京的最低气温比杭州的最低气温低 （ ）
A.-11℃ B.-9℃ C.11℃ D.9℃
4.a是最小的正整数，b是最大的负整数，则a-b的值为（ ）
A．0 B．2 C．-2 D．±2
5.下列句子中，正确的是（ ）．
A．在有理数加法或减法中，和不一定比加数大，被减数不一定比减数大
B．减去一个数等于加上这个数
C．零减去一个数，仍得这个数
D．两个相反数相减得零
6.在数轴上，与表示－3的点相距6个单位长度的点所表示的数是________．
7.已知M是6的相反数，N比M的相反数小2，则M-N= .
8.若，，且，则的值等于 .
巩固
1.有理数、在数轴上的对应点如图所示：则（ ）
A． B． C． D．
2.将写成省略括号的和的形式为（ ）
A. B. C. D.
3.已知＝3，＝4，且x>y，则2x－y的值为（ ）
A．＋2 B．±2 C．＋10 D．－2或＋10
4.数、b在数轴上的位置如图所示，化简= 。
5.某检修小组乘汽车检修公路道路。向东记为正，向西记为负。某天自A地出发。所走路程（单位：千米）为：+22，-3，+4，-2，-8，-17，-2，+12，+7，-5；
问：①，最后他们是否回到出发点？若没有，则在A地的什么地方？距离A地多远？
②，若每千米耗油0.05升，则今天共耗油多少升？
6.某服装公司一周计划生产1000套服装，平均每天生产200套．由于各种原因实际每天生产的服装数量与比计划数量有多有少，下表是某周的生产情况（超产为正，减产为负，单位：套）：
（1）根据记录可知前3天共生产 套．
（2）产量最多的一天比产量最少的一天多生产 套．
（3）公司规定每生产一套服装付工资80元，超额完成任务每套奖20元，少生产一套扣20元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少?
拔高
1.定义新运算“*”为： ，则当时，计算的结果为 ．
2.（1）比较下列各式的大小：（用＞、＜或=连接）
（2）通过（1）的比较，请你分析，归纳当为有理数时，的大小关系；
（3）根据（2）中的结论，求当时，的取值范围.
3.
4.某公路检修队乘车从A地出发，在南北走向的公路上检修道路，规定向南走为正，向北走为负，从出发到收工时所行驶的路程记录如下（单位：千米）：+3，－9，+4，+6，－10，+5，－3，+14.
（1）问收工时，检修队在A地哪边，距A地多远?
（2）问从出发到收工时，汽车共行驶多少千米?
（3）在汽车行驶过程中，若每行驶l千米耗油0.15升.公路检修队检查到第四处的加油站时，刚好油用完，加油时发现比上次加油时油价下跌了0.2元/升.检修队从A地出发到回到A地，共用油费64.98元.问此次加油的油价是每升多少元?
、教学反思
适用学科
初中数学
适用年级
初一
适用区域
北师版区域
课时时长（分钟）
120
知识点
1、有理数减法的意义及法则 6、有理数的加减混合运算
2、利用有理数减法解决生活中的问题 7、利用有理数的加减运算解决实际问题
3、有理数减法与绝对值的综合应用 8、有理数的加减与数轴、绝对值的综合
4、解决数轴上两点间的距离问题 9、规律探究
5、理解代数和的意义
教学目标
1、使学生理解并掌握有理数减法法则，会进行有理数的减法运算.
2、能够依据有理数的加法和减法法则按从左到右顺序进行计算.
3、能初步掌握有关有理数的加减混合运算.
教学重点
1、有理数减法法则.
2、理解有理数的加减法可以互相转化，并了解代数和概念.
教学难点
1、法则本身的推导和理解.
2、理解有理数的加减法可以互相转化，能根据具体问题适当运用运算简化运算.
星期
一
二
三
四
五
六
日
减增
+8
-2
-6
+11
-12
+6
+7
星期
一
二
三
四
五
增减
＋5
－10
－4
－2
＋13
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