北师大版七年级上册3.4 整式的加减教案设计

这是一份北师大版七年级上册3.4 整式的加减教案设计，共25页。教案主要包含了教学建议，知识导图，总结与反思等内容，欢迎下载使用。

第11讲


讲























整式的加减及探索和表达规律
































.

















概 述














【教学建议】


整式的加减是对有理数运算的复习巩固，这一部分要让学生多练习，达到熟能生巧。


.


【知识导图】











教学过程








一、导入








【教学建议】


整式的加减是对有理数运算的复习巩固，这一部分要让学生多练习，达到熟能生巧。





二、知识讲解








考点1 同类项








同类项的概念：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项.


同类项的理解：“两个相同”：①所含字母相同；②相同字母的指数也相同.


“两个无关”：①同类项只与项中的字母有关，与系数无关；②同类项与项中字母的排列顺序无关.


“一个特别”：特别地，几个常数项也是同类项.如5与－8是同类项.


为便于记忆，我们将其总结为：“同类项、同类项，两个条件不能忘，字母要相同，指数要一样.”


把同类型合并成一项叫做合并同类项，合并同类项时，把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变.


考点2 探索表达规律











1.数字型规律：①找数字之间的差；②特殊数字，例如平方数或立方数；③周期规律型，例如日历中的数字.


2.图形类规律：①周期变化型；②图形的增减变化.








三 、例题精析








类型一 同类项的定义





例题1








与a2b是同类项的是（ ）


A．2ab B．﹣ab2 C．a2b2 D．a2b


【解析】D


【总结与反思】此题只要掌握了同类项的定义即可解决.





类型二 合并同类项





例题1








下列合并同类项正确的有


A．2a+4a=8a2 B．3x+2y=5xy


C．7x2－3x2=4 D．9a2b－9ba2＝0


【解析】D


【总结与反思】 合并同类项是代数运算的基础，遵循合并的规则运算即可.


类型三 去括号化简





例题1








下列各式运算(1)－(－a－b)＝a－b； (2)5x－(2x－1)－x2＝5x－2x－1＋x2；


(3)3xy－（xy－y2)＝3xy－xy＋y2； (4)(a3＋b3)－3(2a3－3b3)＝a3＋b3－6a3＋9b3


其中去括号不正确的有（ ）


A．(1)(2) B．(1)(2)(3) C．(2)(3)(4) D．(1)(2)(3)(4)


【解析】B


（2）


（3）


【总结与反思】本题考查整式去括号的法则


.





例题1





例题1


类型四 利用多项式的特征确定字母的值








要使多项式不含的项，则的值是 （ ）


A． B． C． D．


【解析】D


不含有的值，即带有的项消掉了，.


【总结与反思】 根据合并同类项的性质，即可消去目标项.





类型五 整式的加减综合





例题1








已知一个多项式与2x2＋5x的和等于2x2－x＋2，则这个多项式为（ ）


A．4x2＋6x＋2 B．－4x＋2 C．－6x＋2 D．4x＋2


【解析】C


2x2－x＋2-（2x2＋5x）=－6x＋2


【总结与反思】 根据合并同类项的性质，即可消去目标项.





类型六 条件求值（整体带入求值）





例题1








已知m-n=5，mn=-3，求-（m+4n-mn）-（2mn-2m-3n）+（2n-2m-3mn）的值


【解析】合并得：-m+n-4mn=-（m-n）-4mn；


代入m-n=5，mn=-3得，


-（m-n）-4mn=7


【总结与反思】 此类题型根据题中所给条件，利用整式加减，代入计算即可.








类型七 图形类规律探索





例题1








探索规律：根据下图中箭头指向的规律，从2009到2010再到2011，箭头的方向是 （ ）





【解析】D


依题意得：周期为4


2009÷4=502余1


因此箭头表示的是由1开始的箭头，则从2009到2011的箭头方向依次是


选D．


【总结与反思】 在题中寻找规律来求解..





例题1


类型八 数字类规律探索








观察下列运算过程：S=1+3+32+33+…+32012+32013 ①，


①×3得3S=3+32+33+…+32013+32014 ②，





②﹣①得2S=32014﹣1，S=．


运用上面计算方法计算：1+5+52+53+…+52013= ．


【解析】首先根据已知设S=1+5+52+53+…+524+525 ①，再将其两边同乘5得到关系式②，②﹣①即可求得答案．


解：设S=1+5+52+53+…+52013 ①，


则5S=5+52+53+54…+52014②，


②﹣①得：4S=52014﹣1，


所以S=．


故答案为．


【总结与反思】此题对综合能力要求比较高，在此类题型时，要注意细心寻找规律.








例题1


类型九 日历中的规律探索








下表为某月的月历。























（1）在此月历上用一个矩形任意圈出23个数，如果圈出的6个数之和为51，这6天分别是几号？


（2）观察此月历，你还能提出其他的问题吗？


【解析】（1）4，5，6，11，12，13；


（1）设这6个数为x-1，x，x+1，x+6，x+7，x+8，由题意得


x-1+x+x+1+x+6+x+7+x+8=51，


解得x=5


答：这6天分别为4，5，6，11，12，13；


（2）可提问如：若一个竖列上相邻3个数之和为55，能求出这三个数吗?


【总结与反思】日历类的题型要注意观察总结，找到适合题目的规律，进而求解.























四 、课堂运用








基础








1.已知单项式3xa+1y4与-2yb-2x3是同类项，则下列单项式，与它们属于同类项的是（ ）


A．-5xb-3y4 B．3xby4 C．xay4 D．-xayb+1


2.下列各组两项中，是同类项的是（ ）


A．xy与﹣xy B．与 C．﹣2xy与﹣3ab D．3x2y与3xy2


3.下列各组的两个代数式中，是同类项的是（ ）


A．m与 B．0与 C．2a与3b D．x与


4.下列各组数中，不是同类项的是（ ）


A．与 B．与 C．与 D．与


5.如果单项式－x2ym+2与xny与的和仍然是一个单项式，则m、n的值是（ ）


A、m=2，n=2 B、m=-2，n=2； C、m=-1，n=2 D、m=2，n=-1。


6.从标有、、、的四张卡片中抽出两张卡片，使其能合并同类项，则抽出的卡片分别标有 、 ．


7.（1）4a+a+3a （2）4xy-3y²+xy-2y²


8.先化简，再求值．


（1）,其中x=-3．


（2）2x－y－（2y2－x2）-5x+y+（x2+2y2）, x=-1,y=1．


答案与解析


1.【答案】A


【解析】


根据a与b的关系计算各选项次数即可解答.


2.【答案】A


【解析】根据同类项的定义即可解答.


3.【答案】B


【解析】根据同类项的定义即可解答.


4.【答案】D


【解析】根据同类项的定义即可解答.


5.【答案】C


【解析】和是单项式，说明两数是同类项.所以2=n，m+2=1.


6.【答案】、；


【解析】根据同类项的定义即可解答.


7.【答案】（1）8a；（2） 5xy-5 y²


【解析】合并同类项


8.【答案】（1）-10 （2）5


【解析】（1）原式=


（2）原式=





巩固








1.一个多项式加上3+x-2x2，得到x2-1，则这个多项式是 ．


2.若多项式x2＋kx－2x＋3中不含有x的一次项，则k＝_______．


3.若关于a，b的多项式不含ab项，则m= ．


4..已知代数式．


（1）试说明这个代数式的值与的取值无关；


若，求这个代数式的值．


5.已知xy=-2，x+y=3，求整式（3xy+10y）+[5x-(2xy+2y-3x)]的值


6.如图a是一个三角形，分别连接这个三角形三变的中点得到图b，在分别连接图b中间的小三角形三边中点，得到图c，按此方法继续下去，请你根据每个图中三角形个数的规律，完成下列问题：





（1）将下表填写完整


（2）在第n个图形中有多少个三角形（用含n的式子表示）？


7.探索规律


用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放图形：





（1）第5个图形有多少颗黑色棋子？


（2）第n个图形有多少颗黑色棋子（用含有n的代数式表示）？


（3）第几个图形有2403颗黑色棋子？请写出解答过程。





答案与解析


1.【答案】3x2-x-4


【解析】x2-1-（3+x-2x2）=3x2-x-4.


2.【答案】2


【解析】


3.【答案】-6


【解析】


4.【答案】见解析


【解析】（1）原式=，不含有a，所以与a的取值无关.


（2）=


5.【答案】22


【解析】合并得：xy+8x+8y=xy+8（x+y）=-2+8×3=22.


6.【答案】（1）13，17；（2）4n－3


仔细分析图形的变化即可发现：每一个图形中的三角形的数目均比上一个图形中的三角形数目多4个，根据这个规律即可解决问题.


（1）表格中依次填13，17；


（2）在第n个图形中有1＋4（n－1）＝4n－3个三角形.


7.【答案】（1）18（2）3n+3（3）2403


【解析】（1）答：第5个图形有18颗黑色棋子。


（2）第n个图形有棋子（3n＋3）颗[或6＋3（n－1）等]。


（3）设第n个图形有2403颗黑色棋子，


根据（2）得：3n＋3=2403


解得n=800，


所以第800个图形有2403颗黑色棋子。





拔高








1.先化简，再求值


已知, 求 的值．


2.若2x| 2a＋1 |y与xy| b |是同类项，其中a、b互为倒数，求2（a－2b2）－（3b2－a）的值．


3．观察1＋2＝，1＋2＋3＝


（1）验算一下1＋2＋3＋4是否等于，1＋2＋3＋4＋5是否等于；


（2）对于任意自然数n（n>1），猜想1＋2＋3＋4＋……＋n＝_________________.


4.观察探索：……


（1）按规律请写出：（4分）


=





（2）用上述规律计算：（2分）


……





答案与解析


1.【答案】-16


【解析】


原式=.


2.【答案】


【解析】


因为a、b互为倒数，因此.


原式=.


3.【答案】（1）等于，等于；（2）


【解析】（1）分别计算所给算式，根据计算结果即可判断；


（2）根据（1）中的规律即可得到结果.


（1）∵1＋2＋3＋4=10，，1＋2＋3＋4＋5=15，，


∴1＋2＋3＋4，1＋2＋3＋4＋5=；


（2）由（1）得1＋2＋3＋4＋……＋n＝


4.【答案】（1），；（2）．


【解析】（1）





（2）……


=……


=


=．





五 、课堂小结











本节讲了2个重要内容：


同类项：


同类项的概念：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项.


同类项的理解：“两个相同”：①所含字母相同；②相同字母的指数也相同.


“两个无关”：①同类项只与项中的字母有关，与系数无关；②同类项与项中字母的排列顺序无关.


“一个特别”：特别地，几个常数项也是同类项.如5与－8是同类项.


为便于记忆，我们将其总结为：“同类项、同类项，两个条件不能忘，字母要相同，指数要一样.”


把同类型合并成一项叫做合并同类项，合并同类项时，把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变.


探索表达规律：


数字型规律：①找数字之间的差；②特殊数字，例如平方数或立方数；③周期规律型，例如日历中的数字.


图形类规律：①周期变化型；②图形的增减变化.











六 、课后作业











基础








1.如果2x2y3与x2yn+1是同类项，那么n的值是 （ ）


A．1 B．2 C．3 D．4


2.若单项式与是同类项，则式子=（ ）


A．0 B．1 C．－1 D．1 或 －1


3.如果和是同类项，那么m，n的值是( )


A、， B、， C、， D、，


4.如果单项式﹣a2x﹣3yb﹣2与是同类项，那么3x+4y的值为 ．


5.写出一个与是同类项的单项式 ．


6.如果单项式与的差仍然是一个单项式，则= ．


7.先化简，后求值：


（1）5（3x2y－xy2）－3（－xy2＋4x2y），其中x＝1，y＝－．


（2）, 其中=2014．





答案与解析


1.【答案】B


【解析】根据同类项的定义可得：


2.【答案】A


【解析】根据同类项的定义可得：


3.【答案】C


【解析】根据同类项的定义可得：


4.【答案】16


【解析】根据同类项的定义可得：





5.【答案】


【解析】根据同类项的定义即可解答.


6.【答案】-1


【解析】根据同类项的定义可得：





7.【答案】（1）2y² （2）7 x²y；


【解析】（1）原式=


将x＝1，y＝－带入得：


（2）原式=


将=2014带入得：.





巩固








1.若A、B都是五次多项式，则A-B一定是（ ）


A．四次多项式 B．五次多项式 C．十次多项式 D．不高于五次的多项式


2.一个纸环链，纸环按红黄绿蓝紫的顺序重复排列，截去其中的一部分，剩下部分如图所示，则被截去部分纸环的个数可能是（ ）





… …


红 黄 绿 蓝 紫 红 黄 绿 黄 绿 蓝 紫





A. 2010B. 2011C. 2012D .2013








3.若多项式3x³-2x²+3x+1与多项式x²-2mx³+2x+3的和为二次三项式，则m=


4.长方形的一边长为3a﹣b，另一边比它小a﹣2b，那么长方形的周长为 ．


5.若|m－2|＋（－1）2＝0，问单项式和 x2m－n＋1y4是同类项吗？


6.化简求值：3y﹣[2y﹣3（2xy﹣y）﹣xy]，其中x=﹣1，y=﹣2．


7.先化简，再求值：，其中x=﹣1，y=2．


8.已知|m+n-2|+（mn+3）²=0，求3（m+n）-2[mn+(m+n)]-3[2(m+n)-3mn]的值.


9.探索规律:将连续的偶数2，4，6，8， ，排成下表，如图：





(1)十字框中的五个数的和与中间的数18有什么关系？


(2)设中间的数为x ，用代数式表示十字框中的五个数的和；


(3)若将十字框上下左右移动，可框住另外的五位数，其它五位数的和能等于2050吗？如能，写出这五位数，如不能，说明理由.


10.如图，在下列n×n的正方形网格中，请按图形的规律，探索以下问题：


（1）第④个图形中阴影部分小正方形的个数为 ；





（2）是否存在阴影部分小正方形的个数是整个图形中小正方形个数的？如果存在，是第几个图形；如果不存在，请说明理由．





答案与解析


1.【答案】D


【解析】根据合并同类项的规则可得：只改变系数，不改变项.


2.【答案】B


【解析】本题的循环节为5个一循环，而剩下部分是黄绿蓝紫，恰好是后4个。所以截去的应为整循环+1，所以为B。


3.【答案】


【解析】根据合并同类项的规则可得：.


4.【答案】B


【解析】另一边的长度为


周长为


5.【答案】是


【解析】由题意得：








6.【答案】-10


【解析】原式=


将x=﹣1，y=﹣2带入：


7.【答案】8


【解析】


将x=﹣1，y=2带入：


8.【答案】-31


【解析】


|m+n-2|+（mn+3）²=0得到m+n=2，mn=-3，


化简3（m+n）-2[mn+(m+n)]-3[2(m+n)-3mn]=-5m-5n+7mn=-5（m+n）+7mn


代入m+n=2，mn=-3得-31


9.【答案】见解析


【解析】(1)是18的5倍(2) 5 x(3)不能


（1）十字框中的五个数的和为8+16+18+20+28=90=18×5，即是18的5倍；


（2）设中间的数为x ，则十字框中的五个数的和为：


(x-10)+(x+10)+(x-2)+(x+2)+x=5x，所以五个数的和为 5 x ；


(3) 假设能够框出满足条件的五个数，设中间的数为x，由（2）得


5 x =2050 ，所以x=410，但410位于第41行的第五个数，在这个数的右边没有数，所以不能框住五个数，使它们的和等于2050．


10.【答案】(1) 当n=4时，4×（4+1）+2=22个；（2）存在，第十个


【解析】（1）观察图形，得到规律，利用规律求得第四个图形的阴影部分的小正方形的个数；


（2）根据得到的规律列出一元二次方程求解，若能求得正整数即可，否则不可．


试题解析：（1）第一个图形阴影部分小正方形的个数为1×2+2=4个；


第二个图形阴影部分小正方形的个数为2×3+2=8个；


第三个图形阴影部分小正方形的个数为3×4+2=14个；


…


第n个图形阴影部分小正方形的个数为n（n+1）+2=n2+n+2；


当n=4时，4×（4+1）+2=22个；


（2）存在，理由是：


根据题意得n2+n+2＝ (n+2)2，


整理得2n2-19n-10=0，


解得：n1＝（舍去），n2=10．


所以，第十个图形阴影部分小正方形的个数是整个图形中小正方形的个数的．





拔高








1.当式子（2x+4）²+5取得最小值时，求式子5x-[-2x²-（-5x+2）]的值


2.如图，将一个正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，再将其中的一个按同样的方法剪成四个更小的正三角形，……如此继续下去，结果如下表：











则an=________________（用含n的代数式表示）.





3.探索规律：货物箱按如图方式堆放（自下而上依次为第1层、第2层、…），受堆放条件限制，堆放时应符合下列条件：每层堆放货物箱的个数与层数n之间满足关系式，n为正整数.





例如，当n=1时，，当n=2时，，则：





⑵ 第n层比第（n＋1）层多堆放 个货物箱.（用含n的代数式表示）


4.（2011广东，20，9分）如下数表是由从1 开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答.





（1）表中第8行的最后一个数是 ，它是自然数 的平方，第8行共有 个数；


（2）用含n的代数式表示：第n行的第一个数是 ，最后一个数是 ，第n行共有 个数；


（3）求第n行各数之和．


5.（7分）如图是2010年1月的日历，现用一个灰色的2×3的长方形圈出六天，请根据你所学知识解决如下问题：


（1）若这六天中的第三天日期用字母a表示，则用字母a表示所圈部分后三天的日期和应为______。


（2）若用这个灰色的长方形按同样的方法圈出的六天的日期和是69，请你求出这六天分别是几号？





























答案与解析


1.【答案】10


【解析】当x=-2时，（2x+4）²+5取得最小值5.


原式=


2.【答案】3n+1


【解析】由图可知没剪的时候，有一个三角形，以后每剪一次就多出三个，所以总的个数3n+1．


故答案为：3n+1．


3.【答案】（1）157, 135 （2）31－2n


【解析】依据题意可以推理得到：


,


同时依据上述推理，可知：


故


4.【答案】见解析


【解析】（1）64，8，15；


（2）


（3）第2行各数之和等于3×3；第3行各数之和等于5×7；第4行各数之和等于7×7－13；类似的，第n行各数之和等于.


5.【答案】见解析


【解析】先利用排除相邻面的方法找到相对面，再求出底面花朵总数.


（1）6a+15


（2）6a+15=69，则a=9，这六天分别是7、8、9、14、15、16日





七 、教学反思











适用学科
初中数学
适用年级
初一
适用区域
北师版区域
课时时长（分钟）
120
知识点
1、同类项的定义 6、条件求值（整体带入求值）


2、合并同类项 7、图形类规律探索


3、去括号化简 8、数字类规律探索


4、利用多项式的特征确定字母的值 9、日历中的规律探索


5、整式的加减综合 10、幻方
教学目标
1、能说出同类项的定义，能识别同类项，找出同类项的次数、系数.


2、在具体情境中了解合并同类项的法则，能进行同类项的合并.


3、能利用字母表示及其代数式运算解释具体问题中蕴含的一般规律或现象.


4、在解决问题的过程中体验归纳、分析、猜想、抽象还有类比、转化等思维方法，发展学生抽象思维能力，培养学生良好的思维品质.
教学重点
1、对项、同类项、合并同类项的概念的理解.


2、探索实际问题中蕴涵的关系和规律.
教学难点
1、对项、系数、合并同类项、同类项的概念的理解和应用.


2、用字母、符号表示一般规律.
日
一
二
三
四
五
六
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
图形编号
1
2
3
4
5
……
三角形个数
1
5
9
所剪次数
1
2
3
4
…
n
正三角形个数
4
7
10
13
…
an
日
一
二
三
四
五
六
a