初中北师大版第六章 频率初步综合与测试教案设计

这是一份初中北师大版第六章 频率初步综合与测试教案设计，共22页。教案主要包含了教学建议，知识导图等内容，欢迎下载使用。










第17讲


讲














概率初步


























概述





【教学建议】


本节的教学重点是使学生能通过具体的事例明白什么是确定事件和随机事件，理解频率与概率的区别和联系，并能利用统计的数据估算概率发生的大小。


学生学习本节时可能会在以下三个方面感到困难：


1.事件发生可能性大小的判定；


2.频率与概率；


3.等可能事件概率的计算、应用。


【知识导图】











教学过程








一、导入





【教学建议】


教师要通过具体的问题让学生切实感受到各种不同的事件发生的可能性，并可通过分组实验，让学生通过具体的游戏过程感受频率的计算方法。


在引入概率的概念时，要让学生注意与频率的区分和联系，并要让学生掌握等可能事件发生的概率的计算方法。





二、知识讲解








知识点1 事件发生的可能性





1、必然事件、不可能事件、确定事件：


有些事情我们事先能肯定它一定发生，这些事情称为必然事件.


有些事情我们事先能肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件.


必然事件与不可能事件统称为确定事件.


2、随机事件：


有许多事情我们事先无法肯定它会不会发生，这些事情称为不确定事件，也称为随机事件.


一般地，不确定事件发生的可能性是有大有小的.





知识点2 频率与概率





1. 在次重复试验中，不确定事件A发生了次，则比值称为事件A发生的频率.


在试验次数很大时，事件发生的频率都会在一个常数附近摆动，这就是频率的稳定性.


2. 我们把刻画事件A发生的可能性大小的数值，称为事件A发生的概率，记为.


一般地，大量重复的试验中，我们常用不确定事件A发生的频率来估计事件A发生的概率.


3.必然事件发生的概率为1,；不可能事件发生的概率为0；不确定事件A发生的概率是0与1之间的一个常数.


4.设一个试验的所有可能的结果有种，每次试验有且只有其中的一种结果出现.如果每种结果出现的可能性相同，那么我们就称这个试验的结果是等可能的.


一般地，如果有一个试验有种等可能的结果，事件A包含其中的种结果，那么事件A发生的概率为：





三、例题精析








例题1





【题干】下列事件是不可能事件是（ ）


A.明天会下雨 B.小明数学成绩是99分


C.一个数与它的相反数的和是0 D.明年一年共有367天


【答案】D


【解析】明天会下雨，可能发生也可能不发生，故A是随机事件；


小明数学成绩是99分，B为随机事件；


一个数与它的相反数的和是0，正确，所以C为必然事件；


明年一年共有367天，一定不会发生，为不可能事件.


故选D





例题2





【题干】初一(8)班共有学生54人，其中男生有30人，女生24人，若在此班上任意找一名学生，找到男生的可能性比找到女生的可能性____(填“大”或“小”).


【答案】大


【解析】男生有30人，女生24人，男生所占的比例较大，因而若在此班上任意找一名学生，找到男生的可能性比找到女生的可能性大.





例题3





【题干】如果甲邀请乙玩一个同时抛掷两枚硬币的游戏，游戏的规则如下：同时抛出两个正面，乙得1分；抛出其他结果，甲得1分.谁先累积到10分，谁就获胜.你认为________获胜的可能性更大.


【答案】甲


【解析】同时抛掷两枚硬币有以下情况：(1)同时抛出两个正面；(2)一正一反；(3)一反一正；(4)同时掷出两个反面.乙得1分的可能性为；甲得1分的可能性为.故甲获胜的可能性更大.





例题4





【题干】色盲是伴X染色体隐性先天遗传病，患者中男性远多于女性，从男性体检信息库中随机抽取体检表，统计结果如下表：





根据上表，估计在男性中，男性患色盲的频率为 ．（结果精确到0.01）


【答案】0.07


【解析】观察表格发现，随着实验人数的增多，男性患色盲的频率逐渐稳定在常数0.07左右，


故男性中，男性患色盲的概率为0.07





例题5





【题干】在一个不透明的布袋中，装有红、黑、白三种只有颜色不同的小球，其中红色小球4个，黑、白色小球的数目相同．小明从布袋中随机摸出一球，记下颜色后放回布袋中，摇匀后随机摸出一球，记下颜色；…如此大量摸球实验后，小明发现其中摸出的红球的频率稳定于20%，由此可以估计布袋中的黑色小球有 个．


【答案】3


【解析】设黑色的数目为x，则黑、白色小球一共有2x个，∵多次试验发现摸到红球的频率是20%，


则得出摸到红球的概率为20%，


∴=40%，解得：x=3，


∴黑色小球的数目是3个．


故答案为：3．





四 、课堂运用





【教学建议】


在讲解过程中，教师可以从实际事例着手，让学生对各种事件发生的可能性大小有所了解，并且通过具体的实验感受事件发生的频率大小，掌握频率与概率的联系及等可能事件发生的概率大小的计算方法。





1. 指出下列事件中，哪些是必然事件， 哪些是不可能事件，哪些是随机事件？


（1）两直线平行，内错角相等；


（2）将油滴入水中，油会浮在水面上；


（3）任意买一张电影票，座位号是2的倍数比座位号是5的倍数可能性大；


（4）任意投掷一枚均匀的骰子，掷出的点数是奇数；


（5）13个人中，至少有两个人出生的月份相同；


（6）经过有信号灯的十字路口，遇见红灯；


（7）在装有3个球的布袋里摸出4个球


（8）抛出的篮球会下落。


（9）打开电视机，它正在播放动画。


【答案】随机事件：(4)(6)(9)；


必然事件：(1)(2)(3)(5)(8)；


不可能事件： (7)；


【解析】根据事件发生的可能性大小判断。


2. 不确定事件发生的可能性未必是50％，可能大些，也可能小些，试按发生的可能性由大到小的顺序，把下列事件排列起来.


事件一：我的书包里共有12本书，我随便把手往里一伸，恰好摸到数学书(假设书都同样厚).


事件二：我花2元钱买了一张彩票，中了大奖，得500万元奖金.


事件三：我抛了两次硬币，每次都是正面向上.


事件四：这天早晨，我第一个来到教室.


【答案】事件三，事件一，事件四，事件二


【解析】这几个事件发生的可能性都可以用数表示出来或估计其大小.


(1)摸到数学书这一事件发生的可能性为.


(2)事件二发生的可能性非常小，是发生的可能性最小的.


(3)两次抛硬币，有“正正、正反、反正、反反”四种可能，每一种情况发生的可能性均为.


(4)最早到教室的可能性等于班级人数的倒数.


答：事件可能性由大到小的顺序为：事件三，事件一，事件四，事件二.


3. 一个不透明的袋子里有若干个小球，它们除了颜色外，其它都相同，甲同学从袋子里随机摸出一个球，记下颜色后放回袋子里，摇匀后再次随机摸出一个球，记下颜色，…，甲同学反复大量实验后，根据白球出现的频率绘制了如图所示的统计图，则下列说法正确的是（ ）





A.袋子一定有三个白球


B.袋子中白球占小球总数的十分之三


C.再摸三次球，一定有一次是白球


D.再摸1000次，摸出白球的次数会接近330次


【答案】D


【解析】∵观察折线统计图发现随着摸球次数的增多白球出现的频率逐渐稳定在某一33%附近，


∴白球出现的概率为33%，


∴再摸1000次，摸出白球的次数会接近330次，正确，其他错误，


故选D．


4.王老师对本班40名学生的血型作了统计，列出如下的统计表，则本班A型血的人数是（ ）


A.16人 B.14人 C.4人 D.6人


【答案】A


【解析】本班A型血的人数为：40×0.4=16．


故选A．





巩固基础





1. 在一个不透明的布袋中装有50个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3左右，则布袋中白球可能有（ ）


A.15个 B.20个 C.30个 D.35个


【答案】D


【解析】设袋中有黄球x个，由题意得=0.3，


解得x=15，则白球可能有50﹣15=35个．


故选D．


2. 研究“掷一枚图钉，钉尖朝上”的概率，两个小组用同一个图钉做试验进行比较，他们的统计数据如下：





(1)请你估计第一小组和第二小组所得的概率分别是多少？


(2)你认为哪一个小组的结果更准确？为什么？


【答案】见解析。


【解析】(1)根据题意，因为次数越多，就越精确，


所以选取试验次数最多的进行计算可得：第一小组所得的概率是≈0.4；


第二小组所得的概率是≈0.41.


(2)不知道哪一个更准确.因为试验数据可能有误差，不能准确说明偏向


3.在不透明的袋子中有黑棋子10枚和白棋子若干（它们除颜色外都相同），现随机从中摸出10枚记下颜色后放回，这样连续做了10次，记录了如下的数据：


根据以上数据，估算袋中的白棋子数量为（ ）


A.60枚 B.50枚 C.40枚 D.30枚


【答案】C


【解析】根据试验提供的数据得出：


黑棋子的比例为：（1+3+0+2+3+4+2+1+1+3）÷100=20%，


所以白棋子比例为：1﹣20%=80%，


设白棋子有x枚，由题意，


得=80%，


所以x=40，


即袋中的白棋子数量约40颗．


故选C．


4. 端午节吃粽子时，吃到包有红枣的粽子就象征吉祥如意，今年外婆、外公、舅舅来我家与爸爸妈妈、我一起过端午节，外婆在12个粽子中的一个里包了红枣。


（1）我吃了一个粽子能吃到红枣的概率是______；


（2）吃粽子时妈妈给每人各分2个，如果把这2个粽子都吃掉，我能吃到红枣的概率是______，那天他们都没有吃到红枣，因为外婆和妈妈做了手脚，使我吃到了，在此前提下，我吃第一个粽子就有红枣的概率是______。


【答案】（1） （2） ，


【解析】根据概率公式计算即可。





拔高





1. 在一个不透明的口袋里，装有仅颜色不同的黑球、白球若干只，某小组做摸球实验：将球搅匀后从中随机摸出一个，记下颜色，再放入袋中，不断重复，右表是活动中的一组数据，则摸到白球的概率约是（ ）





A.0.4 B.0.5 C.0.6 D.0.7


【答案】C


【解析】观察表格得：通过多次摸球实验后发现其中摸到白球的频率稳定在0.6左右，


则P白球=0.6．


故选：C


2. 某超市为了促销一批新品牌的商品,设立了一个不透明的纸箱,装有1个红球、2个白球和12个黄球。并规定:顾客每购买50元的新品牌商品,就能获得一次摸球的机会,如果摸到红球、白球或黄球,顾客就可以分别获得一把雨伞、一个文具盒、一支铅笔。甲顾客购此新商品80元。


他获得奖品的概率是 ;他得到一把雨伞概率是 ;


得到一个文具盒概率是 ;得到一支铅笔的概率分别是 。


【答案】1；；；；


【解析】根据等可能事件发生的概率大小进行计算。


3. 如图，有一个均匀的正二十面体形状的骰子，其中的1个面标有“1”，2个面标有“2”，3个面标有“3”， 4个面标有“4”， 5个面标有“5”，其余的面标有“6”。将这个骰子掷出后，


（1）“6”朝上的概率是 。


（2）数字 朝上的概率最大。


2


2


6


1


3


3


4


4


3


5





【答案】（1）（2）5或6


【解析】观察图形计算即可。


4. 一个不透明的袋中装有红、黄、白三种颜色球共100个，它们除颜色外都相同，其中黄球个数是白球个数的2倍少5个.已知从袋中摸出一个球是红球的概率是.


（1）求袋中红球的个数；


（2）求从袋中摸出一个球是白球的概率；


（3）取走10个球（其中没有红球）后，求从剩余的球中摸出一个球是红球的概率.


【答案】见解析


【解析】（1）根据题意得：100×＝30，则红球有30个.


（2）设白球有x个，则黄球有（2x－5）个，


根据题意得x＋2x－5＝100－30，解得x＝25.


所以摸出一个球是白球的概率P＝＝；


（3）因为取走10个球后，还剩90个球，其中红球的个数没有变化，所以从剩余的球中摸出一个球是红球的概率＝.








课堂小结





确定事件与随机事件；


事件发生的可能性大小；


频率的计算；


概率的计算








扩展延伸








基础





1. 桌上倒扣着背面相同的5张扑克牌，其中3张黑桃、2张红桃．从中随机抽取一张，则（ ）


A.能够事先确定抽取的扑克牌的花色


B.抽到黑桃的可能性更大


C.抽到黑桃和抽到红桃的可能性一样大


D.抽到红桃的可能性更大


【答案】B


【解析】A、因为袋中扑克牌的花色不同，所以无法确定抽取的扑克牌的花色，故本选项错误；


B、因为黑桃的数量最多，所以抽到黑桃的可能性更大，故本选项正确；


C、因为黑桃和红桃的数量不同，所以抽到黑桃和抽到红桃的可能性不一样大，故本选项错误；


D、因为红桃的数量小于黑桃，所以抽到红桃的可能性小，故本选项错误．


故选B．


2. 一个不透明的袋子里有若干个小球，它们除了颜色外，其它都相同，甲同学从袋子里随机摸出一个球，记下颜色后放回袋子里，摇匀后再次随机摸出一个球，记下颜色，…，甲同学反复大量实验后，根据白球出现的频率绘制了如图所示的统计图，则下列说法正确的是（ ）





A.袋子一定有三个白球


B.袋子中白球占小球总数的十分之三


C.再摸三次球，一定有一次是白球


D.再摸1000次，摸出白球的次数会接近330次


【答案】D


【解析】∵观察折线统计图发现随着摸球次数的增多白球出现的频率逐渐稳定在某一33%附近，


∴白球出现的概率为33%，


∴再摸1000次，摸出白球的次数会接近330次，正确，其他错误，


故选D．


3. 绿豆在相同条件下的发芽试验，结果如下表所示：





则绿豆发芽的概率估计值是( )


(A)0.96(B)0.95(C)0.94(D)0.90


【答案】B


【解析】=(0.960+0.940+0.955+0.950+0.948+0.956+0.950)÷7≈0.95，


当n足够大时，发芽的频率逐渐稳定于0.95，


故用频率估计概率，绿豆发芽的概率估计值是0.95.


4. 任意掷一枚均匀的骰子。


①P(掷出的点数小于4）= 。


②P(掷出的点数是奇数）= 。


③P(掷出的点数是7）= 。


④P(掷出的点数小于7）= 。


【答案】①②③0④1


【解析】根据概率公式计算即可。


5. 一只小猫在如图所示的地板砖上随意跑动（每个小正方形除颜色外完全相同），那么小猫停在黑色砖上的概率是_______。





【答案】


【解析】由图可知，共有25块地砖，其中黑色的有7块。


故P（小猫停在黑色砖上）=





巩固





1. 某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了右边的折线图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（ ）





A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”


B．袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球


C．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”


D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6


【答案】D


【解析】解：A、应该在0．16附近波动，故错误；


B、黄球的概率是≈0．667，故错误；


C、应该在0．5附近，故错误


D、正确；


故选D．


2. 一个不透明的盒子里有n个除颜色外其它完全相同的小球，其中有6个黄球．每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后在放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么可以推算出n大约是（ ）


A.6 B.10 C.18 D.20


【答案】见解析


【解析】解：由题意可得，6n×100%=30%，


解得，n=20（个）．


故估计n大约有20个．


故选：D．


3. 将表示下列事件发生的概率的字母标在下图中：





（1）投掷一枚骰子，掷出7点的概率；


（2）在数学测验中做一道四个选项的选择题（单选题），由于不知道那个是正确选项，现任选一个，做对的概率；


（3）袋子中有两个红球，一个黄球，从袋子中任取一球是红球的概率；


（4）太阳每天东升西落；


（5）在1---100之间，随机抽出一个整数是偶数的概率.


【答案】见解析


【解析】(1）根据骰子没有7点，所以这种情况不可能发生，可知概率为0；


（2）选择题的答案是4选1，因此其概率为；


（3）袋子中摸到红球的概率为；


（4）太阳的东升西落是必然事件，因此其概率为1；


（5）由1---100之间有50个偶数可知随机抽取一个数为偶数的概率为.


试题解析：








拔高





1. 在一个不透明的袋子里装有3个黑球和若干白球，它们除颜色外都相同．在不允许将球倒出来数的前提下，小明为估计其中白球数，采用如下办法：随机从中摸出一球，记下颜色后放回袋中，充分摇匀后，再随机摸出一球，记下颜色，…不断重复上述过程．小明共摸100次，其中20次摸到黑球．根据上述数据，小明估计口袋中白球大约有（ ）


A.10个 B.12 个 C.15 个 D.18个


【答案】B


【解析】∵小明共摸了100次，其中20次摸到黑球，


∴有80次摸到白球，


∴摸到黑球与摸到白球的次数之比为1：4，


∴口袋中黑球和白球个数之比为1：4，


3÷=12（个）．


故选B．


2.下图是甲、乙两个可以自由旋转的转盘，转盘被等分成若干个扇形，并将其涂成红、白两种颜色，转动转盘.





（1）分别计算指针指向红色区域的机会;


（2）若要使它们的机会相等，则应如何改变涂色方案?


【答案】见解析


【解析】（1）甲为，乙为;


（2）答案不唯一，只要使红色区域和白色区域的面积之和相等即可．


3. 如图是两个全等的含30°角的直角三角形．


（1）将其相等边拼在一起，组成一个没有重叠部分的平面图形，请你画出所有不同的拼接平面图形的示意图；


（2）若将（1）中平面图形分别印制在质地、形状、大小完全相同的卡片上，洗匀后从中随机抽取一张，求抽取的卡片上平面图形为轴对称图形的概率．





【答案】见解析


【解析】解： （1）如图所示：





（2）由题意得：轴对称图形有（2），（3），（5），


∴抽取的卡片上平面图形为轴对称图形的概率为：35


4.小明和妹妹做游戏：在一个不透明的箱子里放入20张纸条（除所标字母外其余相同），其中12张纸条上字母为A，8张纸条上的字母为B，将纸条摇匀后任意摸出一张，如果摸到纸条上的字母为A，则小明胜；如果摸到纸条上的字母为B，则妹妹胜。


（1）这个游戏公平吗？请说明理由；


（2）若妹妹在箱子中再放入3张与前面相同的纸条，所标字母为B，此时这个游戏对谁有利？


【答案】(1）不公平；


（2）这个游戏对小明有利．


【解析】解：（1）游戏不公平，理由如下：


∵P（小明胜）= ＝，P（妹妹胜）=＝


∴P（小明胜）＞P（妹妹）


∴这个游戏不公平；


（2）这个游戏对小明有利．理由如下：


∵P（小明胜）= ，P（妹妹胜）=


∴P（小明胜）＞P（妹妹胜）


∴这个游戏对小明有利.


5. 用10个球设计一个摸球游戏，使得：


（1）摸到红球的机会是。


（2）摸到红球的机会是，摸到黄球的机会是。


（3）你还能设计一个符合下列条件的游戏吗？为什么？


摸到红球的机会是，摸到黄球的机会是，摸到绿球的机会是。


【答案】见解析。


【解析】（1）红球的个数为：10×=5，


故设计的摸球游戏为：5个红球，5个其他颜色的球；


（2）红球的个数为：10×=5，黄球的个数为：10×=4，其他颜色的球的个数为：10-5-4=1，


故设计的摸球游戏为：5个红球，4个黄球，1个其他颜色的球；


（3）∵++＞1，


∴不能设计．











教学反思





适用学科
初中数学
适用年级
初中一年级
适用区域
北师版区域
课时时长（分钟）
120
知识点
1、确定事件与随机事件


2、事件发生的可能性大小


3、频率的稳定性


4、频率与概率


5、等可能事件概率的定义


6、等可能事件概率的应用
教学目标
1、通过具体问题，感受什么是不可能事件、必然事件、确定事件与不确定事件，知道事件发生的可能性是有大小的；


2、学会根据问题的特点，用统计来估计事件发生的概率，培养分析问题，解决问题的能力；


3、通过对问题的分析，理解用频率来估计概率的方法.


4、了解计算一类事件发生可能性的方法，会求等可能事件的概率，体会概率的意义；
教学重点
1、体会事件发生的确定性与不确定性.


2、通过试验让学生理解当试验次数较大时，实验的频率具有稳定性，并据此能初步估计出某一事件发生的可能性大小.


3、应用P（A）=解决一些实际问题.
教学难点
1、理解生活中不确定现象的特点，不确定事件发生的可能性大小，树立一定的随机观念.


2、大量重复试验得到频率的稳定值的分析.


3、应用P（A）=解决一些实际问题.
抽取的体检表数n
50
100
200
400
500
800
1000
1200
1500
2000
色盲患者的频数m
3
7
13
29
37
55
69
85
105
138
色盲患者的频率m/n
0.060
0.070
0.065
0.073
0.074
0.069
0.069
0.071
0.070
0.069
组别
A型
B型
AB型
O型
频率
0.4
0.35
0.1
0.15
次数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
黑棋数
1
3
0
2
3
4
2
1
1
3
摸球的次数n
100
150
200
500
800
1000
摸到白球的次数m
58
96
116
295
484
601
摸到白球的概率
0.58
0.64
0.58
0.59
0.605
0.601