【精品奥数】三年级上册数学思维训练讲义-第12讲 配对求和 人教版（含答案）

第十二讲    配对求和第一部分：趣味数学 数学王子—高斯的故事 高斯是德国著名数学家(1777~1855)，出生于一个比较贫困的家庭，父母均没有受过正规教育，父亲安于现状，只希望高斯将来长大后能有一份简单的养家糊口的工作，而母亲虽是个没有文化的家庭主妇，但目光长远，对高斯要求严格。并尊重孩子的兴趣，希望高斯能有所成就。高斯在很小的时候就有过人的才华，在他还不到三岁的时候，有一天他观看父亲在计算受他管辖的工人们的周薪。父亲在喃喃的计数，最后长叹的一声表示总算把钱算出来。父亲念出钱数，准备写下时，身边传来微小的声音:“爸爸!算错了，钱应该是这样”。父亲惊异地再算一次，果然小高斯讲的数是正确的，奇特的地方是没有人教过高斯怎么样计算，而小高斯平日靠观察，在大人不知不觉时，他自己学会了计算。高斯在7岁时进了小学，有一天，算术老师要求全班同学算出以下的算式:1+2+3+4+……+98+99+100=?在老师把问题讲完不久，高斯就在他的小石板上端端正正地写下答案5050，而其它孩子算到头昏脑胀，还是算不出来。最后只有高斯的答案是正确无误。原来:1+100=101，2+99=101，3+98=101……50+51=101前后两项两两相加，就成了50对和都是101的配对了即101×50=5050。   第二部分：奥数小练                               巧算要点上面故事中的主人公就是被人称为“数学王子”的高斯，他在年仅8岁时，就以这种非常巧妙的方法又快又好地算出了1+2+3+4+……+99+100的结果。小高斯是用什么办法算得这么快呢？原来，他用了一种简便的方法：先配对再求和。数列的第一个数（第一项）叫首项，最后一个数（最后一项）叫末项，如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差是一个不变的数，这样的数列叫做等差数列，这个不变的数则称为这个数列的公差。计算等差数列的和，可以用以下关系式：等差数列的和＝（首项＋末项）×项数÷2末项＝首项＋公差×（项数－1）项数＝（末项－首项）÷公差＋1 【例题1】你有好办法算一算吗？1+2+3+4+5+6+7+8+9+10＝（　55　　　）思路导航：等差数列的和＝（首项＋末项）×项数÷2上面的数列首项是1，末项是10，项数是10，利用公式计算就行解答：=（1+10）×10÷2     =55练习一：速算。(1)    1+2+3+4+5+……+20                     (2) 1+2+3+4+……+99+100(3) 21+22+23+24+……+100 【例题2】计算。思路导航：数列从第二项起，每一项与前一项的差都是2或是3，像这样的数列就是等差数列，求和就用公式----等差数列的和＝（首项＋末项）×项数÷221+23+25+27+29+31                     (2) 312+315+318+321+324  =（21+31）×6÷2                          =（312+324）×5÷2  =156                                      =1590练习二：计算。(1)    48+50+52+54+56+58+60+62              (2)    108+128+148+168+188 【例题3】有一堆木材叠堆在一起，一共是10层，第1层有16根，第2层有17根，……下面每层比上层多一根，这堆木材共有多少根？思路导航：这堆木材一层比一层多一根，可以看成是等差数列，因为第1层有16根，第2层有17根，……一共是10层，所以先根据公式求出末项：末项＝首项＋公差×（项数－1）求出末项是25根，也就是最多一层是25根，所以，在这个等差数列中首项是16，末项是25，项数是10，求总根数就是求等差数列的和，运用公式求16、17、18、19、20、21、22、23、24、25的和。解答：（16+25）×10÷2     =205（根）练习三：(1)             体育馆的东区共有30排座位，呈梯形，第1排有10个座位，第2排有11个座位，……这个体育馆东区共有多少个座位？ (2)有一串数，第1个数是10，以后每个数比前一个数大4,最后一个数是90，这串数连加的和是多少？（3） 有一个钟，一点钟敲1下，两点钟敲2下，……十二点钟敲12下，分钟指向6敲1下，这个钟一昼夜敲多少下？  【例题4】计算992+993+994+995+996+997+998+999。思路导航：可以用多种简便计算方法第一种：992+993+994+995+996+997+998+999 =（992+999）+（993+998）+（994+997）+（995+996）首尾配对求和=1991×4 =7964      第二种：992+993+994+995+996+997+998+999 =992+992+1+992+2+992+3+992+4+992+5+992+6+992+7 =8×992+(1+2+3+4+5+6+7)等差数列求和=8×(1000-8)+28=8000-64+28=7964第三种：992+993+994+995+996+997+998+999=1000+1000+1000+1000+1000+1000+1000+1000-36=8000-36=7964练习四：计算。(1) 95+96+97+98+99                 (2) 2006+2007+2008+2009(3) 9997+9998+9999                (4) 100-1-3-5-7-9-11-13-15-17-19 【例题5】计算1000-11-89-12-88-13-87-14-86-15-85-16-84-17-83-18-82-19-81思路导航：可以把所有减数配对求和=1000-（81+19）-（11+89）-（82+18）-（12+88）-（83+17）-（13+87）- （84+16）-（14+86）-（85+15）=1000—900=100练习五：计算。(1) 1000-1-9-2-8-3-7-4-6-5-5-6-4-7-3-8-2-9-1(2) 1000-81-11-82-12-83-13-84-14-85-15-86-16-87-17-88-18-89-19(3) 2001-1+2-3+4-5+6-7+8-9+10-11+12-13+14-15+16   第三部分：数学史话分马的故事同学们，进入三年级后，我们学习了一种新的数：分数。关于分数，有好多有趣的故事，下面就讲一个有关分马的故事。有一位老人，他有三个儿子和十七匹马。他在临终前对他的儿子们说：“我已经写好了遗嘱，我把马留给你们，你们一定要按我的要求去分。”  老人去世后，三兄弟看到了遗嘱。遗嘱上写着：“我把十七匹马全都留给我的三个儿子。长子得一半，次子得三分之一，给幼子九分之一。不许流血，不许杀马。你们必须遵从父亲的遗愿！”  这三个兄弟迷惑不解。尽管他们在学校里学习成绩都不错，可是他们还是不会用17除以2、用17除以3、用17除以9，又不让马流血。于是他们就去请教当地一位公认的智者。这位智者看了遗嘱以后说：“我借给你们一匹马，去按你们父亲的遗愿分吧！”  老人原有17匹马，加上智者借给的一匹，一共18匹。于是三兄弟按照18匹马的一半、三分之一和九分之一，分别得到了九匹、六匹和两匹。9+6+2=17（匹）。还剩下一匹，是智者借给的那匹，还给智者。  到这儿，这个故事就结束了。  不同意这种结果的同学的意见在于：遗嘱所说的一半、三分之一和九分之一，都是相对于17匹马来说的，并不是对18匹马来说的，因而智者把自己的一匹马借给三兄弟再按一半、三分之一和九分之一去分，不符合遗嘱原意。  我认为，这部分同学之所以不同意故事的结局，是由于对遗嘱的要求掌握得不够全面造成的。笔者要说明，智者的办法确实是个好办法。遗嘱没有错；智者的办法也不光是一个智力游戏，在数学上也是完全合理的。  为此，我们先指出一个事实，即： 1/2+1/3+1/9=17/18<1  这就是说：假设姑且不考虑老人关于不许流血、不许杀马的要求，硬把17匹马的一半、三分之一和九分之一分给三个兄弟，那么，并没有把17匹马全部分完，还剩下17匹马的1/18没有分。  于是我们要考虑一个问题：老人的遗嘱是只把17匹马的一半、三分之一和九分之一分给三个儿子吗？如果是，那么剩下的17/18匹给谁呢？  按遗嘱中关于把17匹马全部留给三个儿子的要求，剩下的这些马还应继续分给三兄弟，而且还应该给老大一半，给老二三分之一，给老三九分之一，而且任何有限次总也无法把17匹马全部分完。 仔细研究老人的遗嘱可以发现，老人的遗嘱实际上包含三点要求：第一，把17匹马全部都分给三个儿子；第二，每给老大一半，就要给老二三分之一、给老三九分之一，所以实际上是要按照1/2∶1/3∶1/9这样的比例进行分配，而不是只把17匹马的1/2，1/3，1/9分给三个儿子；第三，不许让马流血。  一个分配方案，只要满足上述条件，就是符合遗嘱要求的方案。  老人自己家有17匹马，加上智者借给的一匹，一共十八匹马。按18匹马的1/2， 1/3，1/9分给三个兄弟，三个兄弟所得的马的匹数当然符合1/2∶1/3∶1/9的比例（符合上述第二条要求），而三个兄弟分别得到的9匹、6匹和2匹之和，恰好是17匹（符合上述第一条要求），又没让马流血（符合上述第三条要求），所以智者的办法是完全符合老人遗嘱要求的。  不借用智者的一匹马也可以执行老人的遗嘱。为此，把1/2∶1/3∶1/9化简可得9∶6∶2，恰好有9+6+2=17。可见，分给长子9匹、次子6匹、幼子2匹，既恰好把17匹马全都分完，又符合1/2∶1/3∶1/9的比例，又没有让马流血，所以完全合乎老人遗嘱的要求。           参考答案：练习一：(1) 1+2+3+4+5+……+20                     (2) 1+2+3+4+……+99+100=（1+20）×20÷2                             =（1+100）×100÷2=210                                         =5050 (3) 21+22+23+24+……+100  =（21+100）×80÷2  =4840练习二：(1) 48+50+52+54+56+58+60+62               (2) 108+128+148+168+188=（48+62）×8÷2                            =（108+188）×5÷2=440                                        =740练习三：（1） 先求末项数=10+1×（30-1）=39（个）再求总座位数：（10+39）×30÷2=49×30÷2=735（个） (2)先求项数：项数＝（末项－首项）÷公差＋1（90-10）÷4+1=21（个）再求总和：等差数列的和＝（首项＋末项）×项数÷2（10+90）×21÷2=1050（3）这个钟一昼夜共敲：（1+2+3+....+12）×2+12×2=(1+12)×12÷2×2+24等差数列的和=13×12+24=156+24=180（下） 练习四：(1) 95+96+97+98+99  =（100-5）+（100-4）+（100-3）+（400-2）+（100-1）=500-（1+2+3+4+5）=500-15=485                   (2) 2006+2007+2008+2009=2000×4+（6+7+8+9）=8000+30=8030(3) 9997+9998+9999     =10000×3-（3+2+1） =  30000-6=29994                (4) 100-1-3-5-7-9-11-13-15-17-19=100-（1+3+5+7+9+11+13+15+17+19）=100-（1+19）×10÷2=100-100=0 练习五：(1) 1000-1-9-2-8-3-7-4-6-5-5-6-4-7-3-8-2-9-1=1000-（1+9）-（2+8）-（3+7）-（4+6）-（5+5）-（6+4）-（7+3）-（8+2）-（9+1）  =1000-90  =910(2) 1000-81-11-82-12-83-13-84-14-85-15-86-16-87-17-88-18-89-19  =1000-（81+19）-（11+89）-（82+18）-（12+88）-（83+17）-（13+87）-（84+16）-（14+86）-（85+15）  =1000-900  =100 (3) 2001-1+2-3+4-5+6-7+8-9+10-11+12-13+14-15+16=2001+（2-1）+（4-3）+（6-5）+（8-7）+（10-9）+（12-11）+(14-13)+(16-15)   =2001+8   =2009