数学必修 第一册第一章 集合与常用逻辑用语1.5 全称量词与存在量词精练

这是一份数学必修 第一册第一章 集合与常用逻辑用语1.5 全称量词与存在量词精练，共3页。试卷主要包含了给出下列四个命题，已知命题p等内容，欢迎下载使用。

1.下列命题是全称量词命题的个数是( )


①任意两个有理数之间都有另一个有理数;


②有些无理数的平方也是无理数;


③对顶角相等.


A.0B.1C.2D.3


2.将a2+b2+2ab=(a+b)2改写成全称量词命题是( )


A.∃a,b∈R,a2+b2+2ab=(a+b)2


B.∃a<0,b>0,a2+b2+2ab=(a+b)2


C.∀a>0,b>0,a2+b2+2ab=(a+b)2


D.∀a,b∈R,a2+b2+2ab=(a+b)2


3.下列命题不是“∃x∈R,x2>3”的表述方法的是( )


A.有一个x∈R,使得x2>3成立


B.对有些x∈R,x2>3成立


C.任选一个x∈R,都有x2>3成立


D.至少有一个x∈R,使得x2>3成立


4.下列命题中,既是真命题又是存在量词命题的是( )


A.∃x∈R,x2=x


B.存在实数x,使x2+1=0


C.对任意的a,b∈R,都有a2+b2-2a-2b+2<0


D.菱形的两条对角线相等


5.若存在x∈R,使x2+2x+a<0,则实数a的取值范围是( )


A.a<1B.a≤1C.-1

6.命题“有些负数满足不等式(1+x)(1-9x)>0”用“∃”或“∀”可表示为 .


7.给出下列四个命题:


①∀x∈R,x2+2>0;


②∀x∈N,x4≥1;


③∃x∈Z,x3<1;


④∃x∈Q,x2=3.


其中是真命题的是 .(填序号)


8.若命题“∃x∈R,使得x2+2x-3m=0”为真命题,则实数m的取值范围是 .


9.用符号“∀”或“∃”表示下列命题,并判断真假:


(1)实数的平方大于或等于0;


(2)存在一对实数(x,y),使2x-y+1<0成立;


(3)勾股定理.




















10.已知命题p:∀x∈R,x2-2x+a≥0,命题q:∃x∈R,x2+x+2a-1=0,若p为真命题,q为假命题,求实数a的取值范围.


参考答案


1.下列命题是全称量词命题的个数是( )


①任意两个有理数之间都有另一个有理数;


②有些无理数的平方也是无理数;


③对顶角相等.


A.0B.1C.2D.3


解析:命题①含有全称量词,而命题③可以叙述为“所有的对顶角都相等”.故有2个全称量词命题.


答案:C


2.将a2+b2+2ab=(a+b)2改写成全称量词命题是( )


A.∃a,b∈R,a2+b2+2ab=(a+b)2


B.∃a<0,b>0,a2+b2+2ab=(a+b)2


C.∀a>0,b>0,a2+b2+2ab=(a+b)2


D.∀a,b∈R,a2+b2+2ab=(a+b)2


解析:全称量词命题含有量词“∀”,故排除A,B,又等式a2+b2+2ab=(a+b)2对全体实数都成立.故选D.


答案:D


3.下列命题不是“∃x∈R,x2>3”的表述方法的是( )


A.有一个x∈R,使得x2>3成立


B.对有些x∈R,x2>3成立


C.任选一个x∈R,都有x2>3成立


D.至少有一个x∈R,使得x2>3成立


答案:C


4.下列命题中,既是真命题又是存在量词命题的是( )


A.∃x∈R,x2=x


B.存在实数x,使x2+1=0


C.对任意的a,b∈R,都有a2+b2-2a-2b+2<0


D.菱形的两条对角线相等


解析:C,D是全称量词命题,A,B是存在量词命题,由于x2+1=0无解,故B为假命题,对于A,当x=1时,x2=x成立.


答案:A


5.若存在x∈R,使x2+2x+a<0,则实数a的取值范围是( )


A.a<1B.a≤1C.-1

解析:由题意知函数y=x2+2x+a的图象有在x轴下方的部分,即Δ=4-4a>0,解得a<1,故实数a的取值范围是a<1.


答案:A


6.命题“有些负数满足不等式(1+x)(1-9x)>0”用“∃”或“∀”可表示为 .


答案:∃x<0,(1+x)(1-9x)>0


7.给出下列四个命题:


①∀x∈R,x2+2>0;


②∀x∈N,x4≥1;


③∃x∈Z,x3<1;


④∃x∈Q,x2=3.


其中是真命题的是 .(填序号)


解析:①因为∀x∈R,都有x2≥0,


因而有x2+2≥2>0,即x2+2>0.


所以命题“∀x∈R,x2+2>0”是真命题.


②因为0∈N,当x=0时,x4≥1不成立.


所以命题“∀x∈N,x4≥1”是假命题.


③因为-1∈Z,当x=-1时,x3<1成立.


所以命题“∃x∈Z,x3<1”是真命题.


④因为使x2=3成立的数只有±3,


而它们都不是有理数,


因此,没有任何一个有理数的平方等于3.


所以命题“∃x∈Q,x2=3”是假命题.


答案:①③


8.若命题“∃x∈R,使得x2+2x-3m=0”为真命题,则实数m的取值范围是 .


解析:由题意知Δ=4-4×(-3m)=4+12m≥0,解得m≥-13.


答案:m≥-13


9.用符号“∀”或“∃”表示下列命题,并判断真假:


(1)实数的平方大于或等于0;


(2)存在一对实数(x,y),使2x-y+1<0成立;


(3)勾股定理.


解:(1)是全称量词命题,隐藏了全称量词“所有的”.


∀x∈R,x2≥0.是真命题.


(2)∃x∈R,y∈R,2x-y+1<0,是真命题.


如x=0,y=2时,2x-y+1=0-2+1=-1<0成立.


(3)是全称量词命题,所有直角三角形都满足勾股定理,即∀Rt△ABC,a,b为直角边长,c为斜边长,a2+b2=c2,是真命题.


10.已知命题p:∀x∈R,x2-2x+a≥0,命题q:∃x∈R,x2+x+2a-1=0,若p为真命题,q为假命题,求实数a的取值范围.


解:x2-2x+a=(x-1)2+a-1,若p是真命题,则a-1≥0,即a≥1.


若q为假命题,则Δ=1-4×(2a-1)=5-8a<0,


即a>58.故a≥1.所以实数a的取值范围为a≥1.