高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换第3课时一课一练

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换第3课时一课一练，共7页。试卷主要包含了求下列各式的值等内容，欢迎下载使用。

A组


1.已知x∈-π2,0,cs x=45,则tan 2x等于( )


A.724B.-724


C.247D.-247


2.已知α是第三象限角,cs α=-513,则sin 2α等于( )


A.-1213B.1213C.-120169D.120169


3.若tanα-π4=2,则tan 2α等于( )


A.-3B.34C.-34D.3


4.若f(x)=2tan x-2sin2x2-1sinx2csx2,则fπ12的值为( )


A.-433B.8C.43D.-43


5.已知sin 2α=35π4<α<π2,tan(α-β)=12,则tan(α+β)等于( )


A.-2B.-1C.-1011D.-211


6.已知sin 2α=23,则cs2α+π4= .


7.已知α为第二象限角,sin α=35,则tan 2α= .


8.若csπ4-α=35,则sin 2α= .


9.求下列各式的值:


(1)csπ5·cs2π5;


(2)12-cs2π8;


(3)tanπ12-1tanπ12.























10.已知函数f(x)=cs2x2-sinx2csx2-12.


(1)求函数f(x)的最小正周期和值域;


(2)若f(α)=3210,求sin 2α的值.


























B组


1.已知函数f(x)=cs2x+2sin xcs x-sin2x,若fα2=34,则sin 2α=( )


A.-14B.732C.-716D.78


2.在△ABC中,若3(tan B+tan C)=tan Btan C-1,则sin 2A等于( )


A.-32B.32C.-12D.12


3.已知α为第二象限角,sin α+cs α=33,则cs 2α等于( )


A.-53B.-59C.59D.53


4.已知角α,β均为锐角,且3sin α=2sin β,3cs α+2cs β=3,则α+2β的值为( )


A.π3B.π2C.2π3D.π


5.已知sin α+cs β=32,则cs 2α+cs 2β的取值范围是 .


6.已知tanθ2=2,则1-csθ+sinθ1+csθ+sinθ= .


7.已知3sin β=sin(2α+β),且α≠kπ2,α+β≠π2+kπ(k∈Z),求证:tan(α+β)=2tan α.





























8.已知cs α=-34,sin β=23,α是第三象限角,β∈π2,π.


(1)求sin 2α的值;


(2)求cs(2α+β)的值.


参考答案


A组


1.已知x∈-π2,0,cs x=45,则tan 2x等于( )


A.724B.-724


C.247D.-247


解析:因为cs x=45,x∈-π2,0,


所以sin x=-35.所以tan x=-34.


所以tan 2x=2tanx1-tan2x=2×-341--342=-247,故选D.


答案:D


2.已知α是第三象限角,cs α=-513,则sin 2α等于( )


A.-1213B.1213C.-120169D.120169


解析:因为α是第三象限角,且cs α=-513,


所以sin α=-1213.


所以sin 2α=2sin αcs α


=2×-1213×-513=120169.


答案:D


3.若tanα-π4=2,则tan 2α等于( )


A.-3B.34C.-34D.3


解析:因为tanα-π4=tanα-11+tanα=2,


所以tan α=-3.


所以tan 2α=2tanα1-tan2α=2×(-3)1-(-3)2=34.


答案:B


4.若f(x)=2tan x-2sin2x2-1sinx2csx2,则fπ12的值为( )


A.-433B.8C.43D.-43


解析:因为f(x)=2sinxcsx+2csxsinx=2·sin2x+cs2xsinxcsx=4sin2x,


所以fπ12=4sinπ6=8.


答案:B


5.已知sin 2α=35π4<α<π2,tan(α-β)=12,则tan(α+β)等于( )


A.-2B.-1C.-1011D.-211


解析:因为π4<α<π2,所以π2<2α<π.


因为sin 2α=35,所以cs 2α=-45,


所以tan 2α=-34.


所以tan(α+β)=tan[2α-(α-β)]=tan2α-tan(α-β)1+tan2αtan(α-β)=-34-121-34×12=-2.


答案:A


6.已知sin 2α=23,则cs2α+π4= .


解析:cs2α+π4=1+cs2α+π22=1-sin2α2=1-232=16.


答案:16


7.已知α为第二象限角,sin α=35,则tan 2α= .


解析:因为sin α=35,且α为第二象限角,


所以cs α=-1-sin2α=-45.


所以tan α=sinαcsα=-34.


所以tan 2α=2tanα1-tan2α=-247.


答案:-247


8.若csπ4-α=35,则sin 2α= .


解析:因为sin 2α=csπ2-2α=2cs2π4-α-1,


又csπ4-α=35,所以sin 2α=2×925-1=-725.


答案:-725


9.求下列各式的值:


(1)csπ5·cs2π5;


(2)12-cs2π8;


(3)tanπ12-1tanπ12.


解:(1)csπ5·cs2π5=2sinπ5csπ5·cs2π52sinπ5=2sin2π5·cs2π52×2sinπ5=sin4π54sinπ5=14.


(2)12-cs2π8=121-2cs2π8=-12csπ4=-24.


(3)tanπ12-1tanπ12=sinπ12csπ12-csπ12sinπ12=sin2π12-cs2π12sinπ12csπ12=-2csπ6sinπ6=-2×3212=-23.


10.已知函数f(x)=cs2x2-sinx2csx2-12.


(1)求函数f(x)的最小正周期和值域;


(2)若f(α)=3210,求sin 2α的值.


解:(1)因为f(x)=cs2x2-sinx2csx2-12=12(1+cs x)-12sin x-12=22csx+π4,


所以函数f(x)的最小正周期为2π,值域为-22,22.


(2)由(1)知f(α)=22csα+π4=3210,


所以csα+π4=35.


所以sin 2α=-csπ2+2α=-cs2α+π4=1-2cs2α+π4=1-1825=725.


B组


1.已知函数f(x)=cs2x+2sin xcs x-sin2x,若fα2=34,则sin 2α=( )


A.-14B.732C.-716D.78


解析:因为f(x)=cs2x+2sin xcs x-sin2x=cs 2x+sin 2x,


所以fα2=sin α+cs α=34.


所以两边平方得1+sin 2α=916,


所以sin 2α=-716,故选C.


答案:C


2.在△ABC中,若3(tan B+tan C)=tan Btan C-1,则sin 2A等于( )


A.-32B.32C.-12D.12


解析:在△ABC中,因为3(tan B+tan C)=tan Btan C-1,


所以tan(B+C)=tanB+tanC1-tanBtanC=-33,


所以B+C=150°.所以A=30°.


所以sin 2A=sin 60°=32.


答案:B


3.已知α为第二象限角,sin α+cs α=33,则cs 2α等于( )


A.-53B.-59C.59D.53


解析:∵sin α+cs α=33,∴(sin α+cs α)2=13.


∴1+sin 2α=13.


∴sin 2α=-23.


∵α为第二象限角,∴cs α-sin α<0.


又sin α+cs α>0,


∴cs α<0,sin α>0,且|cs α|<|sin α|,


∴cs 2α=cs2α-sin2α<0,


∴cs 2α=-1-sin22α=-1--232=-1-49=-53.


答案:A


4.已知角α,β均为锐角,且3sin α=2sin β,3cs α+2cs β=3,则α+2β的值为( )


A.π3B.π2C.2π3D.π


解析:由题意得sinα=23sinβ, ①csα=1-23csβ,②


①2+②2得cs β=13,代入②式,得cs α=79.


由α,β均为锐角,知sin β=223,sin α=429.


所以tan β=22,tan α=427,


tan 2β=2tanβ1-tan2β=-427,


tan(α+2β)=tanα+tan2β1-tanαtan2β=0.


又α+2β∈0,3π2,故α+2β=π.


答案:D


5.已知sin α+cs β=32,则cs 2α+cs 2β的取值范围是 .


解析:因为sin α+cs β=32,


所以cs 2α+cs 2β=1-2sin2α+2cs2β-1=2(sin α+cs β)(cs β-sin α)=3(cs β-sin α).


由sin α+cs β=32,得cs β=32-sin α.


所以sin α∈12,1.


所以cs β-sin α=32-2sin α∈-12,12.


所以cs 2α+cs 2β∈-32,32.


答案:-32,32


6.已知tanθ2=2,则1-csθ+sinθ1+csθ+sinθ= .


解析:∵tanθ2=2,


∴1-csθ+sinθ1+csθ+sinθ=2sin2θ2+2sinθ2csθ22cs2θ2+2sinθ2csθ2=2sinθ2sinθ2+csθ22csθ2csθ2+sinθ2=tanθ2=2.


答案:2


7.已知3sin β=sin(2α+β),且α≠kπ2,α+β≠π2+kπ(k∈Z),求证:tan(α+β)=2tan α.


证明:因为sin β=sin[(α+β)-α]


=sin(α+β)cs α-cs(α+β)sin α;


sin(2α+β)=sin[(α+β)+α]


=sin(α+β)cs α+cs(α+β)sin α,


所以3sin(α+β)cs α-3cs(α+β)sin α


=sin(α+β)cs α+cs(α+β)sin α,


即sin(α+β)cs α=2cs(α+β)sin α.


又因为α≠kπ2,α+β≠π2+kπ(k∈Z),


所以cs α≠0,cs(α+β)≠0.


所以等式的两边同除以cs(α+β)cs α,


得tan(α+β)=2tan α.


8.已知cs α=-34,sin β=23,α是第三象限角,β∈π2,π.


(1)求sin 2α的值;


(2)求cs(2α+β)的值.


解:(1)因为α是第三象限角,cs α=-34,


所以sin α=-1-cs2α=-74.


所以sin 2α=2sin αcs α


=2×-74×-34=378.


(2)因为β∈π2,π,sin β=23,


所以cs β=-1-sin2β=-53.


因为cs α=-34,


所以cs 2α=2cs2α-1=2×916-1=18.


所以cs(2α+β)=cs 2αcs β-sin 2αsin β


=18×-53-378×23=-5+6724