九年级上册第四章 图形的相似综合与测试综合训练题
展开一.选择题
1.若4x=7y+5z,2x+y=z,那么x:y:z的值为( )
A.2:1:(﹣3)B.2:1:3C.2:(﹣1):3D.3:2:1
2.如图,AB∥CD,AE∥FD,AE、FD分别交BC于点G、H,则下列结论中错误的是( )
A.B.C.D.
3.如果a:b=3:2,且b是a、c的比例中项,那么b:c等于( )
A.4:3B.3:4C.2:3D.3:2
4.如图,△ABC中,A(2,4)以原点为位似中心,将△ABC缩小后得到△DEF,若D(1,2),△DEF的面积为4,则△ABC的面积为( )
A.2B.4C.8D.16
5.如图,直线l1∥l2∥l3,直线AC和DF被l1,l2,l3所截,AB=5,BC=6,EF=4,则DE的长为( )
A.2B.3C.4D.
6.如图,已知∠ACD=∠B,若AC=6,AD=4,BC=10,则CD长为( )
A.B.7C.8D.9
7.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC交BC于点D,点E在AD上,如果∠ABE=∠C,AE=2ED,那么△ABE与△ADC的周长比为( )
A.1:2B.2:3C.1:4D.4:9
8.如图,在平面直角坐标系中,已知点A(﹣3,6)、B(﹣9,﹣3),以原点O为位似中心,相似比为,把△ABO缩小,则点B的对应点B′的坐标是( )
A.(﹣3,﹣1)B.(﹣1,2)
C.(﹣9,1)或(9,﹣1)D.(﹣3,﹣1)或(3,1)
9.如图,在△ABC中,DE∥AB,且=,则的值为( )
A.B.C.D.
10.如图,点A在线段BD上,在BD的同侧作等边△ABC和等边△ADE,CD分别与BE、AE交于点P、M.对于下列结论:
①△CAM∽△DEM②AC2=CP•CD.③AB•AD=DM•BP,其中正确的是( )
A.①B.①②C.①③D.①②③
二.填空题
11.如图,在△ABC中,AB=9,AC=6,BC=12,点M在AB边上,且AM=3,过点M作直线MN与AC边交于点N,使截得的三角形与原三角形相似,则MN= .
12.如图,在▱ABCD中,F是AD延长线上一点,连接BF交DC于点E,则图中的位似三角形共有 对.
13.如图,已知△ADE∽△ABC,且AD=3,DC=4,AE=2,则BE= .
14.如图,在△ABC中,DE∥BC,若AD=1,DB=2,则的值为 .
15.如图,平行四边形ABCD中,E为AD的中点,已知△DEF的面积为1,则平行四边形ABCD的面积为 .
16.如图,在正方形ABCD中,△BPC是等边三角形,BP、CP的延长线分别交AD于点E、F,连结BD、DP,BD与CF相交于点H.给出下列结论:①△ABE≌△DCF;②=;③DP2=PH•PB;④=.其中正确的是 .(写出所有正确结论的序号)
三.解答题
17.如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6cm,BC=8cm,动点P从点B出发,在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动,同时动点Q从点C出发,在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动,运动时间为t秒(0<t<2),连接PQ.
(1)若△BPQ与△ABC相似,求t的值;
(2)连接AQ、CP,若AQ⊥CP,求t的值.
18.已知:△ABC中,D为BC的中点,E为AB上一点,且BE=AB.F为AC上一点,且CF=AC,EF交AD于P.
(1)求EP:PF的值.
(2)求AP:PD的值.
19.如图,在平面直角坐标系中,△OAB的顶点坐标分别为O(0,0)、A(2,1)、B(1,﹣2).
(1)以原点O为位似中心,在y轴的右侧画出△OAB的一个位似△OA1B1,使它与△OAB的相似比为2:1,并分别写出点A、B的对应点A1、B1的坐标.
(2)画出将△OAB向左平移2个单位,再向上平移1个单位后的△O2A2B2,并写出点A、B的对应点A2、B2的坐标.
(3)判断△OA1B1与△O2A2B2,能否是关于某一点M为位似中心的位似图形?若是,请在图中标出位似中心M,并写出点M的坐标.
20.如图,在△ABC中,D和E分别是BC和AB上的点,BE=EC,联结DE,EC交AD于点F,且AB•DC=BC•FC.
(1)求证:△FCD∽△ABC;
(2)若AF=FD,求证:DE⊥BC.
21.如图,△ABC中,CD是边AB上的高,且=
(1)求证:△ADC∽△CDB;
(2)求∠ACB的大小.
22.在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示,其中木竿AB=2米,它的影子BC=1.6米,木竿PQ的影子有一部分落在墙上,PM=1.2米,MN=0.8米,求木竿PQ的长度.
23.阅读下面材料:小昊遇到这样一个问题:如图1,在△ABC中,BE是AC边上的中线,点D在BC边上,=,AD与BE相交于点P,求的值.
小昊发现,过点C作CF∥AD,交BE的延长线于点F,通过构造△CEF,经过推理和计算能够使问题得到解决(如图2).
请回答:的值为 .
参考小昊思考问题的方法,解决问题:
(1)如图3,在△ABC中,点D在BC的延长线上,,点E在AC上,且.求的值;
(2)如图4,在△ABC中,点D在BC的延长线上,,点E在AC上,且,直接写出的值为 .
参考答案
一.选择题
1.解:∵2x+y=z,
∴2x=z﹣y,
∴4x=2(z﹣y)=7y+5z,
得出y:z=﹣1:3,
∵4x=7y+5z,2x+y=z,
∴6x=6y+6z,
则x=y+z=3﹣1=2,
∴x:y:z=2:﹣1:3.
故选:C.
2.解:A、∵AB∥CD,
∴=,故本选项不符合题目要求;
B、∵AE∥DF,
∴△CEG∞△CDH,
∴=,
∴=,
∵AB∥CD,
∴=,
∴=,
∴=,
∴=,故本选项不符合题目要求;
∵AB∥CD,AE∥DF,
∴四边形AEDF是平行四边形,
∴AF=DE,
∵AE∥DF,
∴,
∴=,故本选项不符合题目要求;
D、∵AE∥DF,
∴△BFH∞△BAG,
∴,故本选项符合题目要求;
故选:D.
3.解:∵a:b=3:2,b是a和c的比例中项,
即a:b=b:c,
∴b:c=3:2.
故选:D.
4.解:∵A(2,4)以原点为位似中心,将△ABC缩小后得到△DEF,D(1,2),
∴位似比为:2:1,
∵△DEF的面积为4,
∴△ABC的面积为:4×4=16.
故选:D.
5.解:∵直线l1∥l2∥l3,
∴=,
∵AB=5,BC=6,EF=4,
∴=,
∴DE=,
故选:D.
6.解:∵∠A=∠A,∠ACD=∠B,
∴△ACD∽△ABC,
∴,
∵AC=6,AD=4,BC=10,
∴,
∴CD=.
故选:A.
7.解:∵AD:ED=3:1,
∴AE:AD=2:3,
∵∠ABE=∠C,∠BAE=∠CAD,
∴△ABE∽△ACD,
∴L△ABE:L△ACD=2:3,
故选:B.
8.解:∵以原点O为位似中心,相似比为,把△ABO缩小,
∴点B(﹣9,﹣3)的对应点B′的坐标是(﹣3,﹣1)或(3,1).
故选:D.
9.解:∵DE∥AB,
∴==,
∴的值为,
故选:A.
10.解:∵△ABC和△ADE都是等边三角形,
∴∠4=∠AED=∠DAE=60°,AB=AC=BC,AD=AE,
∴∠CAE=60°,
∴AC∥DE,
∴△CAM∽△DEM,所以①正确;
在△ABE和△ACD中
,
∴△ABE≌△ACD(SAS),
∴∠1=∠2,
∵∠1+∠6=60°,∠2+∠5=60°,
∴∠6=∠5,
而∠BCP=∠DCB,
∴△CBP∽△CDB,
∴CB:CP=CD:CB,
即CB2=CP•CD,
∴AC2=CP•CD,所以②正确;
∵∠DMA=∠2+∠CAE=∠2+60°,
而∠BCP=∠2+∠3=∠2+60°,
∴∠BCP=∠DMA
而∠6=∠5,
∴△CBP∽△MDA,
∴BC:DM=BP:AD
即BC•AD=DM•BP,
∴AB•AD=DM•BP,所以③正确.
故选:D.
二.填空题(共6小题)
11.解:如图1,当MN∥BC时,
则△AMN∽△ABC,
故==,
则=,
解得:MN=4,
如图2所示:当∠ANM=∠B时,
又∵∠A=∠A,
∴△ANM∽△ABC,
∴=,
即=,
解得:MN=6,
故答案为:4或6.
12.解:位似的三角形是△FDE与△FAB,△FDE与△BCE,△ECB与△BAF
所以位似三角形共有3对.
13.解:∵AD=3,DC=4,
∴AC=AD+DC=3+4=7,
∵△ADE∽△ABC,
∴=,
即=,
解得AB=10.5,
∴DE=AB﹣AE=10.5﹣2=8.5.
故答案为:8.5.
14.解:∵DE∥BC,
∴=,
∵AD=1,BD=2,
∴AB=3,
∴=,
故答案为:.
15.解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AD=BC,
∴△DEF∽△BCF,
∴S△DEF:S△BCF=()2,
又∵E是AD中点,
∴DE=AD=BC,
∴DE:BC=DF:BF=1:2,
∴S△DEF:S△BCF=1:4,
∴S△BCF=4,
又∵DF:BF=1:2,
∴S△DCF=2,
∴S▱ABCD=2(S△DCF+S△BCF)=12.
故答案为:12.
16.解:∵△BPC是等边三角形,
∴BP=PC=BC,∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°,
在正方形ABCD中,
∵AB=BC=CD,∠A=∠ADC=∠BCD=90°
∴∠ABE=∠DCF=30°,
在△ABE与△CDF中,,
∴△ABE≌△DCF(AAS),故①正确;
∵PC=BC=CD,∠PCD=90°﹣60°=30°,
∴∠PDC=75°,
∴∠FDP=15°,
∵∠DBA=45°,
∴∠PBD=15°,
∴∠FDP=∠PBD,
∵∠DFP=∠BPC=60°,
∴△DFP∽△BPH,
∴===,故②正确;
∵∠PDH=∠PCD=30°,
∵∠DPH=∠DPC,
∴△DPH∽△CDP,
∴=,
∴PD2=PH•CD,
∵PB=CD,
∴PD2=PH•PB,故③正确;
如图,过P作PM⊥CD,PN⊥BC,
设正方形ABCD的边长是4,
∵△BPC为正三角形,
∴∠PBC=∠PCB=60°,PB=PC=BC=CD=4,
∴∠PCD=30°
∴PN=PB•sin60°=4×=2,PM=PC•sin30°=2,
S△BPD=S四边形PBCD﹣S△BCD=S△PBC+S△PDC﹣S△BCD=×4×2+×2×4﹣×4×4=4+4﹣8=4﹣4,
∴=,故④不正确;
故答案为:①②③.
三.解答题(共7小题)
17.解:根据勾股定理得:BA=;
(1)分两种情况讨论:
①当△BPQ∽△BAC时,,
∵BP=5t,QC=4t,AB=10,BC=8,
∴,解得,t=1,
②当△BPQ∽△BCA时,,
∴,解得,t=;
∴t=1或时,△BPQ∽△BCA;
(2)过P作PM⊥BC于点M,AQ,CP交于点N,如图所示:
则PB=5t,PM=3t,MC=8﹣4t,
∵∠NAC+∠NCA=90°,∠PCM+∠NCA=90°,
∴∠NAC=∠PCM,
∵∠ACQ=∠PMC,
∴△ACQ∽△CMP,
∴,
∴,解得t=.
18.解:(1)分别作EE1,FF1平行于BC且与AD交于E1、F1两点.
则==,==,
又BD=CD,
∴=∴==;
(2)设AF1=y,F1P=4x,PE1=5x,E1D=z,
则=,=,
解得y=36x,z=15x,
∴===.
19.解:(1)如图所示,A1(4,2),B1(2,﹣4).
(2)如图所示,A2(0,2),B 2(﹣1,﹣1).
(3)△OA1B1与△O2A2B2是关于点M(﹣4,2)为位似中心的位似图形.
20.(1)证明:∵BE=EC,
∴∠ECB=∠B,
∵AB•DC=BC•FC,
∴=,
∴△FCD∽△ABC.
(2)证明:∵△FCD∽△ABC,
∴=,∠ADC=∠ACB,
∴AD=AC,
∵AF=FD,
∴==,
∴=,
∴BD=DC,
∵BE=EC,
∴DE⊥BC.
21.(1)证明:∵CD⊥AB,
∴∠ADC=∠BDC=90°,
∵=,
∴△ADC∽△CDB;
(2)解:∵△ADC∽△CDB,
∴∠A=∠BCD,∠ACD=∠B,
∵∠A+∠ACD=90°,
∴∠ACD+∠BCD=90°,
则∠ACB=90°.
22.解:过N点作ND⊥PQ于D,
可得△ABC∽△QDN,
∴,
又∵AB=2,BC=1.6,PM=1.2,NM=0.8,
∴,
∴PQ=QD+DP=QD+NM=1.5+0.8=2.3(米).
答:木竿PQ的长度为2.3米.
23.解:如图2,过点C作CF∥AD,交BE的延长线于点F,
∴∠F=∠APF,∠FCE=∠EAP,
∵BE为AC边的中线,
∴AE=CE,
∴△AEP≌△CEF,
∴AP=FC,
∵PD∥FC,
∴△BPD≌△BFC,
∴=,
∴=,
故答案为:;
(1)如图3,过A作AF∥BC,交BP延长线于点F,
∴△AFE∽△CBE,
∴,
∵,
∴,
设AF=3x,BC=2x,
∵,
∴BD=3x,
∴AF=BD=3x,
∵AF∥BD,
∴△AFP∽△DBP,
∴==1;
(2)如图4,过C作CF∥AP交PB于F,
∴△BCF∽△BDP,
∴,
设CF=2x,PD=3x,
∵CF∥AP,
∴△ECF∽△EAP,
∴,
∴AP=7x,AD=4x,
∴.
故答案为:.
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