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    九年级上册第四章 图形的相似综合与测试综合训练题

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    这是一份九年级上册第四章 图形的相似综合与测试综合训练题,共19页。试卷主要包含了如果a,如图,△ABC中,A等内容,欢迎下载使用。




    一.选择题


    1.若4x=7y+5z,2x+y=z,那么x:y:z的值为( )


    A.2:1:(﹣3)B.2:1:3C.2:(﹣1):3D.3:2:1


    2.如图,AB∥CD,AE∥FD,AE、FD分别交BC于点G、H,则下列结论中错误的是( )





    A.B.C.D.


    3.如果a:b=3:2,且b是a、c的比例中项,那么b:c等于( )


    A.4:3B.3:4C.2:3D.3:2


    4.如图,△ABC中,A(2,4)以原点为位似中心,将△ABC缩小后得到△DEF,若D(1,2),△DEF的面积为4,则△ABC的面积为( )





    A.2B.4C.8D.16


    5.如图,直线l1∥l2∥l3,直线AC和DF被l1,l2,l3所截,AB=5,BC=6,EF=4,则DE的长为( )





    A.2B.3C.4D.





    6.如图,已知∠ACD=∠B,若AC=6,AD=4,BC=10,则CD长为( )





    A.B.7C.8D.9


    7.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC交BC于点D,点E在AD上,如果∠ABE=∠C,AE=2ED,那么△ABE与△ADC的周长比为( )





    A.1:2B.2:3C.1:4D.4:9


    8.如图,在平面直角坐标系中,已知点A(﹣3,6)、B(﹣9,﹣3),以原点O为位似中心,相似比为,把△ABO缩小,则点B的对应点B′的坐标是( )





    A.(﹣3,﹣1)B.(﹣1,2)


    C.(﹣9,1)或(9,﹣1)D.(﹣3,﹣1)或(3,1)


    9.如图,在△ABC中,DE∥AB,且=,则的值为( )





    A.B.C.D.


    10.如图,点A在线段BD上,在BD的同侧作等边△ABC和等边△ADE,CD分别与BE、AE交于点P、M.对于下列结论:


    ①△CAM∽△DEM②AC2=CP•CD.③AB•AD=DM•BP,其中正确的是( )





    A.①B.①②C.①③D.①②③





    二.填空题


    11.如图,在△ABC中,AB=9,AC=6,BC=12,点M在AB边上,且AM=3,过点M作直线MN与AC边交于点N,使截得的三角形与原三角形相似,则MN= .





    12.如图,在▱ABCD中,F是AD延长线上一点,连接BF交DC于点E,则图中的位似三角形共有 对.





    13.如图,已知△ADE∽△ABC,且AD=3,DC=4,AE=2,则BE= .





    14.如图,在△ABC中,DE∥BC,若AD=1,DB=2,则的值为 .





    15.如图,平行四边形ABCD中,E为AD的中点,已知△DEF的面积为1,则平行四边形ABCD的面积为 .





    16.如图,在正方形ABCD中,△BPC是等边三角形,BP、CP的延长线分别交AD于点E、F,连结BD、DP,BD与CF相交于点H.给出下列结论:①△ABE≌△DCF;②=;③DP2=PH•PB;④=.其中正确的是 .(写出所有正确结论的序号)








    三.解答题


    17.如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6cm,BC=8cm,动点P从点B出发,在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动,同时动点Q从点C出发,在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动,运动时间为t秒(0<t<2),连接PQ.


    (1)若△BPQ与△ABC相似,求t的值;


    (2)连接AQ、CP,若AQ⊥CP,求t的值.








    18.已知:△ABC中,D为BC的中点,E为AB上一点,且BE=AB.F为AC上一点,且CF=AC,EF交AD于P.


    (1)求EP:PF的值.


    (2)求AP:PD的值.











    19.如图,在平面直角坐标系中,△OAB的顶点坐标分别为O(0,0)、A(2,1)、B(1,﹣2).


    (1)以原点O为位似中心,在y轴的右侧画出△OAB的一个位似△OA1B1,使它与△OAB的相似比为2:1,并分别写出点A、B的对应点A1、B1的坐标.


    (2)画出将△OAB向左平移2个单位,再向上平移1个单位后的△O2A2B2,并写出点A、B的对应点A2、B2的坐标.


    (3)判断△OA1B1与△O2A2B2,能否是关于某一点M为位似中心的位似图形?若是,请在图中标出位似中心M,并写出点M的坐标.














    20.如图,在△ABC中,D和E分别是BC和AB上的点,BE=EC,联结DE,EC交AD于点F,且AB•DC=BC•FC.


    (1)求证:△FCD∽△ABC;


    (2)若AF=FD,求证:DE⊥BC.











    21.如图,△ABC中,CD是边AB上的高,且=


    (1)求证:△ADC∽△CDB;


    (2)求∠ACB的大小.














    22.在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示,其中木竿AB=2米,它的影子BC=1.6米,木竿PQ的影子有一部分落在墙上,PM=1.2米,MN=0.8米,求木竿PQ的长度.

















    23.阅读下面材料:小昊遇到这样一个问题:如图1,在△ABC中,BE是AC边上的中线,点D在BC边上,=,AD与BE相交于点P,求的值.


    小昊发现,过点C作CF∥AD,交BE的延长线于点F,通过构造△CEF,经过推理和计算能够使问题得到解决(如图2).


    请回答:的值为 .


    参考小昊思考问题的方法,解决问题:


    (1)如图3,在△ABC中,点D在BC的延长线上,,点E在AC上,且.求的值;


    (2)如图4,在△ABC中,点D在BC的延长线上,,点E在AC上,且,直接写出的值为 .








    参考答案


    一.选择题


    1.解:∵2x+y=z,


    ∴2x=z﹣y,


    ∴4x=2(z﹣y)=7y+5z,


    得出y:z=﹣1:3,


    ∵4x=7y+5z,2x+y=z,


    ∴6x=6y+6z,


    则x=y+z=3﹣1=2,


    ∴x:y:z=2:﹣1:3.


    故选:C.


    2.解:A、∵AB∥CD,


    ∴=,故本选项不符合题目要求;


    B、∵AE∥DF,


    ∴△CEG∞△CDH,


    ∴=,


    ∴=,


    ∵AB∥CD,


    ∴=,


    ∴=,


    ∴=,


    ∴=,故本选项不符合题目要求;


    ∵AB∥CD,AE∥DF,


    ∴四边形AEDF是平行四边形,


    ∴AF=DE,


    ∵AE∥DF,


    ∴,


    ∴=,故本选项不符合题目要求;


    D、∵AE∥DF,


    ∴△BFH∞△BAG,


    ∴,故本选项符合题目要求;


    故选:D.


    3.解:∵a:b=3:2,b是a和c的比例中项,


    即a:b=b:c,


    ∴b:c=3:2.


    故选:D.


    4.解:∵A(2,4)以原点为位似中心,将△ABC缩小后得到△DEF,D(1,2),


    ∴位似比为:2:1,


    ∵△DEF的面积为4,


    ∴△ABC的面积为:4×4=16.


    故选:D.


    5.解:∵直线l1∥l2∥l3,


    ∴=,


    ∵AB=5,BC=6,EF=4,


    ∴=,


    ∴DE=,


    故选:D.


    6.解:∵∠A=∠A,∠ACD=∠B,


    ∴△ACD∽△ABC,


    ∴,


    ∵AC=6,AD=4,BC=10,


    ∴,


    ∴CD=.


    故选:A.


    7.解:∵AD:ED=3:1,


    ∴AE:AD=2:3,


    ∵∠ABE=∠C,∠BAE=∠CAD,


    ∴△ABE∽△ACD,


    ∴L△ABE:L△ACD=2:3,


    故选:B.


    8.解:∵以原点O为位似中心,相似比为,把△ABO缩小,


    ∴点B(﹣9,﹣3)的对应点B′的坐标是(﹣3,﹣1)或(3,1).


    故选:D.


    9.解:∵DE∥AB,


    ∴==,


    ∴的值为,


    故选:A.


    10.解:∵△ABC和△ADE都是等边三角形,


    ∴∠4=∠AED=∠DAE=60°,AB=AC=BC,AD=AE,


    ∴∠CAE=60°,


    ∴AC∥DE,


    ∴△CAM∽△DEM,所以①正确;


    在△ABE和△ACD中





    ∴△ABE≌△ACD(SAS),


    ∴∠1=∠2,


    ∵∠1+∠6=60°,∠2+∠5=60°,


    ∴∠6=∠5,


    而∠BCP=∠DCB,


    ∴△CBP∽△CDB,


    ∴CB:CP=CD:CB,


    即CB2=CP•CD,


    ∴AC2=CP•CD,所以②正确;


    ∵∠DMA=∠2+∠CAE=∠2+60°,


    而∠BCP=∠2+∠3=∠2+60°,


    ∴∠BCP=∠DMA


    而∠6=∠5,


    ∴△CBP∽△MDA,


    ∴BC:DM=BP:AD


    即BC•AD=DM•BP,


    ∴AB•AD=DM•BP,所以③正确.


    故选:D.





    二.填空题(共6小题)


    11.解:如图1,当MN∥BC时,


    则△AMN∽△ABC,


    故==,


    则=,


    解得:MN=4,


    如图2所示:当∠ANM=∠B时,


    又∵∠A=∠A,


    ∴△ANM∽△ABC,


    ∴=,


    即=,


    解得:MN=6,


    故答案为:4或6.








    12.解:位似的三角形是△FDE与△FAB,△FDE与△BCE,△ECB与△BAF


    所以位似三角形共有3对.


    13.解:∵AD=3,DC=4,


    ∴AC=AD+DC=3+4=7,


    ∵△ADE∽△ABC,


    ∴=,


    即=,


    解得AB=10.5,


    ∴DE=AB﹣AE=10.5﹣2=8.5.


    故答案为:8.5.


    14.解:∵DE∥BC,


    ∴=,


    ∵AD=1,BD=2,


    ∴AB=3,


    ∴=,


    故答案为:.


    15.解:∵四边形ABCD是平行四边形,


    ∴AD∥BC,AD=BC,


    ∴△DEF∽△BCF,


    ∴S△DEF:S△BCF=()2,


    又∵E是AD中点,


    ∴DE=AD=BC,


    ∴DE:BC=DF:BF=1:2,


    ∴S△DEF:S△BCF=1:4,


    ∴S△BCF=4,


    又∵DF:BF=1:2,


    ∴S△DCF=2,


    ∴S▱ABCD=2(S△DCF+S△BCF)=12.


    故答案为:12.


    16.解:∵△BPC是等边三角形,


    ∴BP=PC=BC,∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°,


    在正方形ABCD中,


    ∵AB=BC=CD,∠A=∠ADC=∠BCD=90°


    ∴∠ABE=∠DCF=30°,


    在△ABE与△CDF中,,


    ∴△ABE≌△DCF(AAS),故①正确;


    ∵PC=BC=CD,∠PCD=90°﹣60°=30°,


    ∴∠PDC=75°,


    ∴∠FDP=15°,


    ∵∠DBA=45°,


    ∴∠PBD=15°,


    ∴∠FDP=∠PBD,


    ∵∠DFP=∠BPC=60°,


    ∴△DFP∽△BPH,


    ∴===,故②正确;


    ∵∠PDH=∠PCD=30°,


    ∵∠DPH=∠DPC,


    ∴△DPH∽△CDP,


    ∴=,


    ∴PD2=PH•CD,


    ∵PB=CD,


    ∴PD2=PH•PB,故③正确;


    如图,过P作PM⊥CD,PN⊥BC,


    设正方形ABCD的边长是4,


    ∵△BPC为正三角形,


    ∴∠PBC=∠PCB=60°,PB=PC=BC=CD=4,


    ∴∠PCD=30°


    ∴PN=PB•sin60°=4×=2,PM=PC•sin30°=2,


    S△BPD=S四边形PBCD﹣S△BCD=S△PBC+S△PDC﹣S△BCD=×4×2+×2×4﹣×4×4=4+4﹣8=4﹣4,


    ∴=,故④不正确;


    故答案为:①②③.





    三.解答题(共7小题)


    17.解:根据勾股定理得:BA=;


    (1)分两种情况讨论:


    ①当△BPQ∽△BAC时,,


    ∵BP=5t,QC=4t,AB=10,BC=8,


    ∴,解得,t=1,


    ②当△BPQ∽△BCA时,,


    ∴,解得,t=;


    ∴t=1或时,△BPQ∽△BCA;


    (2)过P作PM⊥BC于点M,AQ,CP交于点N,如图所示:


    则PB=5t,PM=3t,MC=8﹣4t,


    ∵∠NAC+∠NCA=90°,∠PCM+∠NCA=90°,


    ∴∠NAC=∠PCM,


    ∵∠ACQ=∠PMC,


    ∴△ACQ∽△CMP,


    ∴,


    ∴,解得t=.





    18.解:(1)分别作EE1,FF1平行于BC且与AD交于E1、F1两点.


    则==,==,


    又BD=CD,


    ∴=∴==;





    (2)设AF1=y,F1P=4x,PE1=5x,E1D=z,


    则=,=,


    解得y=36x,z=15x,


    ∴===.





    19.解:(1)如图所示,A1(4,2),B1(2,﹣4).








    (2)如图所示,A2(0,2),B 2(﹣1,﹣1).





    (3)△OA1B1与△O2A2B2是关于点M(﹣4,2)为位似中心的位似图形.


    20.(1)证明:∵BE=EC,


    ∴∠ECB=∠B,


    ∵AB•DC=BC•FC,


    ∴=,


    ∴△FCD∽△ABC.





    (2)证明:∵△FCD∽△ABC,


    ∴=,∠ADC=∠ACB,


    ∴AD=AC,


    ∵AF=FD,


    ∴==,


    ∴=,


    ∴BD=DC,


    ∵BE=EC,


    ∴DE⊥BC.


    21.(1)证明:∵CD⊥AB,


    ∴∠ADC=∠BDC=90°,


    ∵=,


    ∴△ADC∽△CDB;


    (2)解:∵△ADC∽△CDB,


    ∴∠A=∠BCD,∠ACD=∠B,


    ∵∠A+∠ACD=90°,


    ∴∠ACD+∠BCD=90°,


    则∠ACB=90°.


    22.解:过N点作ND⊥PQ于D,


    可得△ABC∽△QDN,


    ∴,


    又∵AB=2,BC=1.6,PM=1.2,NM=0.8,


    ∴,


    ∴PQ=QD+DP=QD+NM=1.5+0.8=2.3(米).


    答:木竿PQ的长度为2.3米.





    23.解:如图2,过点C作CF∥AD,交BE的延长线于点F,


    ∴∠F=∠APF,∠FCE=∠EAP,


    ∵BE为AC边的中线,


    ∴AE=CE,


    ∴△AEP≌△CEF,


    ∴AP=FC,


    ∵PD∥FC,


    ∴△BPD≌△BFC,


    ∴=,


    ∴=,


    故答案为:;


    (1)如图3,过A作AF∥BC,交BP延长线于点F,


    ∴△AFE∽△CBE,


    ∴,


    ∵,


    ∴,


    设AF=3x,BC=2x,


    ∵,


    ∴BD=3x,


    ∴AF=BD=3x,


    ∵AF∥BD,


    ∴△AFP∽△DBP,


    ∴==1;


    (2)如图4,过C作CF∥AP交PB于F,


    ∴△BCF∽△BDP,


    ∴,


    设CF=2x,PD=3x,


    ∵CF∥AP,


    ∴△ECF∽△EAP,


    ∴,


    ∴AP=7x,AD=4x,


    ∴.


    故答案为:.














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