八年级数学人教版上册【能力培优】13.3等腰三角形 13.4课题学习 最短路径问题专题训（含答案）
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13.4课题学习 最短路径问题
专题一 等腰三角形的性质和判定的综合应用
1．如图在△ABC中，BF、CF是角平分线，DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，DE经过点F．结论：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE=BD+CE； ③△ADE的周长=AB+AC；④BF=CF．其中正确的是___________．(填序号)
2．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在边AB、BC、AC上，且BE=CF，AD+EC=AB．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A=40°时，求∠DEF的度数；
（3）△DEF可能是等腰直角三角形吗？为什么？
（4）请你猜想：当∠A为多少度时，∠EDF+∠EFD=120°，并请说明理由．
3．如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BE是∠ABC的平分线，DE⊥BC，垂足为D．
（1）请你写出图中所有的等腰三角形；
（2）请你判断AD与BE垂直吗？并说明理由．
（3）如果BC=10，求AB+AE的长．
专题二 等边三角形的性质和判定
4．如图，在等边△ABC中，AC=9，点O在AC上，且AO=3，点P是AB上一动点，连接OP，以O为圆心，OP长为半径画弧交BC于点D，连接PD，如果PO=PD，那么AP的长是__________．
5．如图．在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC．
（1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由；
（2）线段BD、DE、EC三者有什么关系？写出你的判断过程．
6．如图，△ABC中，AB=BC=AC=12 cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1 cm/s，点N的速度为2 cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．
（1）点M、N运动几秒后，M、N两点重合？
（2）点M、N运动几秒后，可得到等边三角形△AMN？
（3）当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M、N运动的时间．
专题三 最短路径问题
7．如图，A、B两点分别表示两幢大楼所在的位置，直线a表示输水总管道，直线b表示输煤气总管道．现要在这两根总管道上分别设一个连接点，安装分管道将水和煤气输送到A、B两幢大楼，要求使铺设至两幢大楼的输水分管道和输煤气分管道的用料最短．图中，点A′是点A关于直线b的对称点，A′B分别交b、a于点C、D；点B′是点B关于直线a的对称点，B′A分别交b、a于点E、F．则符合要求的输水和输煤气分管道的连接点依次是（ ）
A．F和C B．F和E C．D和C D．D和E
8．如图，现准备在一条公路旁修建一个仓储基地，分别给、两个超市配货，那么这个基地建在什么位置，能使它到两个超市的距离之和最小? (保留作图痕迹及简要说明)
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状元笔记
【知识要点】
1．等腰三角形的性质
性质1：等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)；
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简写成“三线合一”)．
2．等腰三角形的判定方法
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”)．
3．等边三角形的性质和判定方法
性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°．
判定方法1：三个角都相等的三角形是等边三角形．
判定方法2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
4．直角三角形的性质[来源:www.shulihua.netwww.shulihua.net]
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
【温馨提示】
1．“等边对等角”和“等角对等边”只限于在同一个三角形中，在两个三角形中时，上述结论不一定成立．
2．在应用直角三角形的性质时应注意以下两点：(1)必须是在直角三角形中；(2)必须有一个锐角等于30°．
【方法技巧】
1．等腰三角形的性质是证明两个角相等的重要方法，当要证明同一个三角形的两个内角相等时，可尝试用“等边对等角”．
2．等腰三角形的判定是证明线段相等的一个重要方法，当要证明位于同一个三角形的两条线段相等时，可尝试用“等角对等边”．
3．利用轴对称可以解决几何中的最值问题，本方法的实质是依据轴对称的性质以及两点之间线段最短和三角形两边之和大于第三边．
参考答案:
1．①②③ 解析：∵DE∥BC，∴∠DFB=∠FBC，∠EFC=∠FCB．∵BF是∠ABC的平分线，CF是∠ACB的平分线，∴∠FBC=∠DBF，∠FCE=∠FCB．∴∠DBF=∠DFB，∠EFC=∠ECF，∴△DFB，△FEC都是等腰三角形．∴DF=DB，FE=EC，即有DE=DF+FE=DB+EC．∴△ADE的周长=AD+AE+DE=AD+AE+DB+EC=AB+AC．综上所述，命题①②③正确．
2．解：(1)证明：∵AD+EC=AB，∴BD=CE．
∵AB=AC，∴∠B=∠C．
∵BE=CF，
∴△BDE≌△CEF．
∴DE=EF，即△DEF是等腰三角形．[来源:www.shulihua.net]
(2)∵∠A=40°，∴∠B=∠C=(180°－∠A)=(180°－40°)=70°．
∵△BDE≌△CEF，∴∠BDE=∠CEF．
∴∠DEF=180°－∠BED－∠CEF=180°－∠BED－∠BDE=∠B=70°．
(3)不能．∵∠DEF=∠B≠90°，∴△DEF不可能是等腰直角三角形．
(4)60°．理由：当∠A=60°时，∠B=∠C=60°，由（2）可得∠DEF=60°．
∴∠EDF+∠EFD=120°．
3．解：（1）△ABC，△ABD，△ADE，△EDC．
（2）AD与BE垂直．
证明：∵BE为∠ABC的平分线，
∴∠ABE=∠DBE. 又∵∠BAE=∠BDE=90°，BE=BE，
∴△ABE沿BE折叠，一定与△DBE重合．
∴A、D是对称点．
∴AD⊥BE．
（3）∵BE是∠ABC的平分线，DE⊥BC，EA⊥AB，
∴AE=DE．
在Rt△ABE和Rt△DBE中，
∴Rt△ABE≌Rt△DBE（HL）．
∴AB=BD．
又△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，
∴∠C=45°．
又∵ED⊥BC，
∴△DCE为等腰直角三角形．
∴DE=DC．
即AB+AE=BD+DC=BC=10．
4．6 解析：连接OD，∵PO=PD，∴OP=DP=OD．∴∠DPO=60°．∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=60°，AC=AB=9．∵∠OPA=∠PDB=∠DPA－60°．∴△OPA≌△PDB．∵AO=3，
∴AO=PB=3，∴AP=6．
5．解：（1）△ODE是等边三角形，
其理由是：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°．
∵OD∥AB，OE∥AC，
∴∠ODE=∠ABC=60°，∠OED=∠ACB=60°．
∴△ODE是等边三角形．
（2）BD=DE=EC．
其理由是：∵OB平分∠ABC，且∠ABC=60°，
∴∠ABO=∠OBD=30°．
∵OD∥AB，
∴∠BOD=∠ABO=30°．
∴∠DBO=∠DOB．
∴DB=DO．
同理，EC=EO．
∵DE=OD=OE，
∴BD=DE=EC．
6．解：（1）设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，
x×1+12=2x，
解得：x=12．
（2）设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形△AMN，如图①，
AM=t×1=t，AN=AB－BN=12－2t，
∵三角形△AMN是等边三角形，
∴t=12－2t．
解得t=4．
∴点M、N运动4秒后，可得到等边三角形△AMN．
（3）当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形，
由（1）知12秒时M、N两点重合，恰好在C处，
如图②，假设△AMN是等腰三角形，
∴AN=AM．
∴∠AMN=∠ANM．
∴∠AMC=∠ANB．
∵AB=BC=AC，
∴△ACB是等边三角形．
∴∠C=∠B．
在△ACM和△ABN中，
∴△ACM≌△ABN．
∴CM=BN．
设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时，△AMN是等腰三角形，
∴CM=y－12，NB=36－2y，CM=NB．
y－12=36－2y，
解得：y=16．故假设成立．
∴当点M、N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰三角形AMN，此时M、N运动的时间为16秒．
7．A 解析：由轴对称－－最短路线的要求可知：输水分管道的连接点是点B关于a的对称点B′与A的连线的交点F，煤气分管道的连接点是点A关于b的对称点A′与B的连线的交点C．故选A．
8．解：如图，作点B关于公路的对称点B′，连接AB′，交公路于点C，则这个基地建在C处，才能使它到这两个超市的距离之和最小.
