新课改专用2020版高考数学一轮跟踪检测20《任意角和蝗制任意角的三角函数》(含解析)

课时跟踪检测（二十）  任意角和弧度制、任意角的三角函数

[A级　基础题——基稳才能楼高]

1．2弧度的角所在的象限是(　　)

A．第一象限　　　　　　 B．第二象限

C．第三象限  D．第四象限

解析：选B　∵<2<π，∴2弧度的角在第二象限．

2．点P(cos 2 019°，sin 2 019°)所在的象限是(　　)

A．第一象限  B．第二象限

C．第三象限  D．第四象限

解析：选C　2 019°＝5×360°＋219°，即角2 019°与角219°的终边相同，219°＝180°＋39°，所以角219°在第三象限，即角2 019°也在第三象限．所以cos 2 019°<0，sin 2 019°<0，所以点P在第三象限．

3．已知角α的终边与单位圆交于点，则sin α的值为(　　)

A．－  B．－

C.   D.

解析：选B　根据三角函数的定义，角α的终边与单位圆交点的纵坐标为角α的正弦值．

4．半径为1 cm，圆心角为150°的角所对的弧长为(　　)

A. cm   B. cm

C. cm   D. cm

解析：选D　∵α＝150°＝π rad，∴l＝α·r＝π cm.

5．(2018·四川石室中学期中)已知角α的终边经过点(3，－4)，则sin α＋＝(　　)

A．－   B.

C.   D.

解析：选D　∵角α的终边经过点(3，－4)，∴sin α＝－，cos α＝，∴sin α＋＝－＋＝.故选D.

[B级　保分题——准做快做达标]

1．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在(　　)

A．第一象限  B．第二象限

C．第三象限  D．第四象限

解析：选B　因为点P(tan α，cos α)在第三象限，所以所以α为第二象限角．

2．(2019·南昌二中模拟)已知角α终边上一点P的坐标是(2sin 2，－2cos 2)，则sin α等于(　　)

A．sin 2  B．－sin 2

C．cos 2  D．－cos 2

解析：选D　因为r＝＝2，由任意角的三角函数的定义，得sin α＝＝－cos 2.

3．已知角α＝2kπ－(k∈Z)，若角θ与角α的终边相同，则y＝＋＋的值为(　　)

A．1  B．－1

C．3  D．－3

解析：选B　由α＝2kπ－(k∈Z)及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限，又角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ＜0，cos θ＞0，tan θ＜0.所以y＝－1＋1－1＝－1.

4．(2019·长春模拟)已知α，β是第一象限角，且sin α>sin β，则(　　)

A．α>β  B．α<β

C．cos α>cos β  D．tan α>tan β

解析：选D　因为α，β是第一象限角，所以sin α>0，sin β>0，又sin α>sin β，所以sin2α>sin2β>0，所以1－cos2α>1－cos2β，所以cos2α<cos2β，所以>>0，所以tan2α>tan2β，因为tan α>0，tan β>0，所以tan α>tan β.故选D.

5．(2019·洛阳阶段性测试)在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边经过点P(3,4)，则sin＝(　　)

A．－  B．－

C.   D.

解析：选C　∵角α的终边经过点P(3,4)，∴sin α＝，cos α＝.∴sin＝sinα－＋＝sinα＋＝cos α＝.故选C.

6．(2018·莆田二十四中月考)一个扇形的弧长与面积的数值都是6，则这个扇形的圆心角的弧度数是(　　)

A．1  B．2

C．3  D．4

解析：选C　设扇形的圆心角的弧度数为θ，半径为R.由题意得解得θ＝3，即扇形的圆心角的弧度数是3.故选C.

7．终边在坐标轴上的角的集合是(　　)

A．{φ|φ＝k·360°，k∈Z}

B．{φ|φ＝k·180°，k∈Z}

C．{φ|φ＝k·90°，k∈Z}

D．{φ|φ＝k·180°＋90°，k∈Z}

解析：选C　令k＝4m，k＝4m＋1，k＝4m＋2，k＝4m＋3，k，m∈Z.

分别代入选项C进行检验：

(1)若k＝4m，则φ＝4m·90°＝m·360°；

(2)若k＝4m＋1，则φ＝(4m＋1)·90°＝m·360°＋90°；

(3)若k＝4m＋2，则φ＝(4m＋2)·90°＝m·360°＋180°；

(4)若k＝4m＋3，则φ＝(4m＋3)·90°＝m·360°＋270°.

综上可得，终边在坐标轴上的角的集合是{φ|φ＝k·90°，k∈Z}．

8．若角α的终边与角的终边关于直线y＝x对称，且α∈(－4π，4π)，则α＝________________________.

解析：如图所示，设角的终边为OA，OA关于直线y＝x对称的射线为OB，则以OB为终边且在0～2π范围内的角为，

故以OB为终边的角的集合为α.

∵α∈(－4π，4π)，∴－4π<2kπ＋<4π，∴－<k<.

∵k∈Z，∴k＝－2，－1,0,1.

∴α＝－，－，，.

答案：－，－，，

9．若角θ的终边过点P(－4a,3a)(a≠0)，则sin θ＋cos θ等于________．

解析：∵角θ的终边过点P(－4a,3a)(a≠0)，

∴x＝－4a，y＝3a，r＝5|a|.

当a>0时，r＝5a，sin θ＋cos θ＝＋＝－.

当a<0时，r＝－5a，sin θ＋cos θ＝＋＝.

故sin θ＋cos θ＝±.

答案：±

10．已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a的取值范围是________．

解析：∵cos α≤0，sin α>0，∴角α的终边落在第二象限或y轴的正半轴上．∴∴－2<a≤3.

答案：(－2,3]

11．(2019·齐齐哈尔八中月考)已知角α的顶点在坐标原点，始边为x轴的非负半轴，终边上有一点P(3a,4a)，其中a≠0，求sin α，cos α，tan α.

解：设r＝|OP|＝＝5|a|.当a>0时，r＝5a，∴sin α＝＝，cos α＝＝，tan α＝＝；当a<0时，r＝－5a，∴sin α＝－，cos α＝－，tan α＝.综上可知，sin α＝，cos α＝，tan α＝或sin α＝－，cos α＝－，tan α＝.

12.如图，在平面直角坐标系xOy中，角α的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A点，它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B，始边不动，终边在运动．

(1)若点B的横坐标为－，求tan α的值；

(2)若△AOB为等边三角形，写出与角α终边相同的角β的集合；

(3)若α∈，请写出弓形AB的面积S与α的函数关系式．

解：(1)由题意可得B，根据三角函数的定义得tan α＝＝－.

(2)若△AOB为等边三角形，则B，可得tan∠AOB＝＝，故∠AOB＝；故与角α终边相同的角β的集合为β|β＝＋2kπ，k∈Z.

(3)若α∈，则S扇形OAB＝αr2＝α，

而S△AOB＝×1×1×sin α＝sin α，

故弓形AB的面积S＝S扇形OAB－S△AOB＝α－sin α，α∈.