新课改专用2020版高考数学一轮跟踪检测37《数列的综合应用》(含解析)

课时跟踪检测（三十七）  数列的综合应用

1．(2019·深圳模拟)设函数f(x)＝xm＋ax的导函数f′(x)＝2x＋1，则数列(n∈N*)的前n项和是(　　)

A.　　　　　　　　 B．

C.  D．

解析：选A　∵f′(x)＝mxm－1＋a＝2x＋1，∴a＝1，m＝2，

∴f(x)＝x(x＋1)，则＝＝－，用裂项法求和得Sn＝1－＋－＋…＋－＝.

2．已知函数f(n)＝且an＝f(n)＋f(n＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a2 018＝(　　)

A．－2 017  B．－2 018

C．2 017  D．2 018

解析：选D　当n为奇数时，n＋1为偶数，则an＝n2－(n＋1)2＝－2n－1，所以a1＋a3＋a5＋…＋a2 017＝－(3＋7＋11＋…＋4 035)．当n为偶数时，n＋1为奇数，则an＝－n2＋(n＋1)2＝2n＋1，所以a2＋a4＋a6＋…＋a2 018＝5＋9＋13＋…＋4 037.所以a1＋a2＋a3＋…＋a2 018＝(5－3)＋(9－7)＋(13－11)＋…＋(4 037－4 035)＝2×1 009＝2 018，故选D.

3．(2017·四川乐山模拟)对于数列{an}，定义H0＝为{an}的“优值”．现已知某数列的“优值”H0＝2n＋1，记数列{an－20}的前n项和为Sn，则Sn的最小值为(　　)

A．－64　　　　　　　　 B．－68

C．－70  D．－72

解析：选D　由题意可知：H0＝＝2n＋1，

则a1＋2a2＋…＋2n－1·an＝n·2n＋1.

当n≥2时，a1＋2a2＋…＋2n－2·an－1＝(n－1)·2n，

两式相减得2n－1·an＝n·2n＋1－(n－1)·2n，an＝2(n＋1)，

当n＝1时成立，∴an－20＝2n－18，显然{an－20}为等差数列．

令an－20≤0，解得n≤9，

故当n＝8或9时，{an－20}的前n项和Sn取最小值，

最小值为S8＝S9＝＝－72，故选D.

4．(2019·湖北襄阳联考)已知函数f为奇函数，g(x)＝f(x)＋1，若an＝g，则数列{an}的前2 018项和为(　　)

A．2 017  B．2 018

C．2 019  D．2 020

解析：选B　∵函数f为奇函数，∴其图象关于原点对称，∴函数f(x)的图象关于点对称，∴函数g(x)＝f(x)＋1的图象关于点对称，∴g(x)＋g(1－x)＝2，∵an＝g，∴数列的前2 018项之和为g＋g＋g＋…＋g＋g＝2 018.故选B.

5．(2019·林州一中调研)已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝5，an＋1＝－an＋6，若对任意的n∈N*,1≤p(Sn－4n)≤3恒成立，则实数p的取值范围为(　　)

A．(2,3]  B．[2,3]

C．(2,4]  D．[2,4]

解析：选B　由数列的递推关系式可得an＋1－4＝－(an－4)，则数列{an－4}是首项为a1－4＝1，公比为－的等比数列，∴an－4＝1×n－1，∴an＝n－1＋4，∴Sn＝＋4n，∴不等式1≤p(Sn－4n)≤3恒成立，即1≤p×≤3恒成立．当n为偶数时，可得1≤p×≤3，可得2≤p≤，当n为奇数时，可得1≤p×≤3，可得≤p≤3，故实数p的取值范围为[2,3]．

6．(2019·昆明适应性检测)已知数列{an}的前n项和为Sn，且an＝4n，若不等式Sn＋8≥λn对任意的n∈N*都成立，则实数λ的取值范围为________．

解析：因为an＝4n，所以Sn＝2n2＋2n，不等式Sn＋8≥λn对任意的n∈N*恒成立，即λ≤，又＝2n＋＋2≥10(当且仅当n＝2时取等号)，所以实数λ的取值范围为(－∞，10]．

答案：(－∞，10]

7．(2019·济宁模拟)若数列{an}满足：只要ap＝aq(p，q∈N*)，必有ap＋1＝aq＋1，那么就称数列{an}具有性质P.已知数列{an}具有性质P，且a1＝1，a2＝2，a3＝3，a5＝2，a6＋a7＋a8＝21，则a2 020＝____________.

解析：根据题意，数列{an}具有性质P，且a2＝a5＝2，

则有a3＝a6＝3，a4＝a7，a5＝a8＝2.

由a6＋a7＋a8＝21，可得a3＋a4＋a5＝21，

则a4＝21－3－2＝16，

进而分析可得a3＝a6＝a9＝…＝a3n＝3，a4＝a7＝a10＝…＝a3n＋1＝16，a5＝a8＝…＝a3n＋2＝2(n≥1)，

则a2 020＝a3×673＋1＝16.

答案：16

8．我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺．莞生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？”意思是：“今有蒲草第一天长高3尺，莞草第一天长高1尺．以后，蒲草每天长高前一天的一半，莞草每天长高前一天的2倍．问第几天蒲草和莞草的高度相同？”根据上述的已知条件，可求得第________天时，蒲草和莞草的高度相同(结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：lg 3≈0.477 1，lg 2≈0.301 0)．

解析：由题意得，蒲草的高度组成首项为a1＝3，公比为的等比数列{an}，设其前n项和为An；莞草的高度组成首项为b1＝1，公比为2的等比数列{bn}，设其前n项和为Bn.则An＝，Bn＝，令＝，化简得2n＋＝7(n∈N*)，解得2n＝6，所以n＝＝1＋≈3，即第3天时蒲草和莞草高度相同．

答案：3

9．(2019·安阳模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn)在函数f(x)＝x2＋Bx＋C－1(B，C∈R)的图象上，且a1＝C.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)记数列bn＝an(a2n－1＋1)，求数列{bn}的前n项和Tn.

解：(1)设等差数列{an}的公差为d，

则Sn＝na1＋d＝n2＋n.

又Sn＝n2＋Bn＋C－1，

两式比较得＝1，B＝a1－，C－1＝0.又a1＝C，

解得d＝2，C＝1＝a1，B＝0，

∴an＝1＋2(n－1)＝2n－1.

(2)∵bn＝an(a2n－1＋1)＝(2n－1)(2×2n－1－1＋1)＝(2n－1)×2n，

∴数列{bn}的前n项和Tn＝2＋3×22＋5×23＋…＋(2n－1)×2n，

∴2Tn＝22＋3×23＋…＋(2n－3)×2n＋(2n－1)×2n＋1，

∴－Tn＝2＋2×(22＋23＋…＋2n)－(2n－1)×2n＋1

＝2＋2×－(2n－1)×2n＋1＝(3－2n)×2n＋1－6，

故Tn＝(2n－3)×2n＋1＋6.

10．2017年12月4日0时起某市实施机动车单双号限行，新能源汽车不在限行范围内，某人为了出行方便，准备购买某新能源汽车．假设购车费用为14.4万元，每年应交付保险费、充电费等其他费用共0.9万元，汽车的保养维修费为：第一年0.2万元，第二年0.4万元，第三年0.6万元，…，依等差数列逐年递增．

(1)设使用n年该车的总费用(包括购车费用)为f(n)，试写出f(n)的表达式；

(2)问这种新能源汽车使用多少年报废最合算(即该车使用多少年平均费用最少)，年平均费用的最小值是多少？

解：(1)由题意得f(n)＝14.4＋(0.2＋0.4＋0.6＋…＋0.2n)＋0.9n＝14.4＋＋0.9n＝0.1n2＋n＋14.4.

(2)设该车的年平均费用为S万元，则有

S＝f(n)＝(0.1n2＋n＋14.4)＝＋＋1≥2＋1＝3.4.

当且仅当＝，即n＝12时，等号成立，即S取最小值3.4万元．所以这种新能源汽车使用12年报废最合算，年平均费用的最小值是3.4万元．

11．(2018·淮南一模)若数列{an}的前n项和为Sn，点(an，Sn)在y＝－x的图象上(n∈N*)．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若c1＝0，且对任意正整数n都有cn＋1－cn＝logan.求证：对任意正整数n≥2，总有≤＋＋＋…＋<.

解：(1)∵Sn＝－an，

∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an－1－an，

∴an＝an－1.

又∵S1＝－a1，∴a1＝，

∴an＝×n－1＝2n＋1.

(2)证明：由cn＋1－cn＝logan＝2n＋1，得当n≥2时，cn＝c1＋(c2－c1)＋(c3－c2)＋…＋(cn－cn－1)＝0＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2－1＝(n＋1)(n－1)．

∴＋＋＋…＋

＝＋＋＋…＋

＝×＋＋＋…＋

＝

＝－<.

又∵＋＋＋…＋≥＝，∴原式得证．