新课改专用2020版高考数学一轮跟踪检测46《系统知识-圆的方程直线与圆的位置关系圆与圆的位置关系》(含解析)

课时跟踪检测（四十六） 系统知识——圆的方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系

1．(2019·广西陆川中学期末)圆C1：x2＋y2＋2x＋8y－8＝0与圆C2：x2＋y2－4x－4y－1＝0的位置关系是(　　)

A．内含　　　　　　　　　 　B．外离

C．外切   D．相交

解析：选D　圆C1的标准方程为(x＋1)2＋(y＋4)2＝25，圆C2的标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝9，两圆的圆心距为＝3，两圆的半径为r1＝5，r2＝3，满足r1＋r2＝8＞3＞2＝r1－r2，故两圆相交．故选D.

2．(2019·闽侯第八中学期末)若圆Ω过点(0，－1)，(0,5)，且被直线x－y＝0截得的弦长为2，则圆Ω的方程为(　　)

A．x2＋(y－2)2＝9或(x＋4)2＋(y－2)2＝25

B．x2＋(y－2)2＝9或(x－1)2＋(y－2)2＝10

C．(x＋4)2＋(y－2)2＝25或(x＋4)2＋(y－2)2＝17

D．(x＋4)2＋(y－2)2＝25或(x－4)2＋(y－1)2＝16

解析：选A　由于圆过点(0，－1)，(0,5)，故圆心在直线y＝2上，设圆心坐标为(a,2)，由弦长公式得＝，解得a＝0或a＝－4.故圆心为(0,2)，半径为3或圆心为(－4,2)，半径为5，故选A.

3．(2019·北京海淀期末)已知直线x－y＋m＝0与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，且△OAB为正三角形，则实数m的值为(　　)

A.   B.

C.或－   D.或－

解析：选D　由题意得圆O：x2＋y2＝1的圆心坐标为(0,0)，半径r＝1.

因为△OAB为正三角形，则圆心O到直线x－y＋m＝0的距离为r＝，即d＝＝，解得m＝或m＝－，故选D.

4．(2019·南宁、梧州联考)直线y＝kx＋3被圆(x－2)2＋(y－3)2＝4截得的弦长为2，则直线的倾斜角为(　　)

A.或 B.－或

C．－或   D.

解析：选A　由题知，圆心(2,3)，半径为2，所以圆心到直线的距离为d＝＝1.即d＝＝1，所以k＝±，由k＝tan α，得α＝或.故选A.

5．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是(　　)

A．(x－2)2＋(y－1)2＝1

B．(x－2)2＋(y＋1)2＝1

C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1

D．(x－3)2＋(y－1)2＝1

解析：选A　由于圆心在第一象限且与x轴相切，故设圆心为(a,1)(a＞0)，又由圆与直线4x－3y＝0相切可得＝1，解得a＝2，故圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.

6．(2019·西安联考)直线y－1＝k(x－3)被圆(x－2)2＋(y－2)2＝4所截得的最短弦长等于(　　)

A. B．2

C．2   D.

解析：选C　圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的圆心C(2,2)，半径为2，直线y－1＝k(x－3)，∴此直线恒过定点P(3,1)，当圆被直线截得的弦最短时，圆心C(2,2)与定点P(3,1)的连线垂直于弦，弦心距为＝，所截得的最短弦长为2＝2，故选C.

7．(2019·山西晋中模拟)半径为2的圆C的圆心在第四象限，且与直线x＝0和x＋y＝2均相切，则该圆的标准方程为(　　)

A．(x－1)2＋(y＋2)2＝4

B．(x－2)2＋(y＋2)2＝2

C．(x－2)2＋(y＋2)2＝4

D．(x－2)2＋(y＋2)2＝4

解析：选C　设圆心坐标为(2，－a)(a＞0)，则圆心到直线x＋y＝2的距离d＝＝2，∴a＝2，∴该圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝4，故选C.

8．(2018·唐山二模)圆E经过A(0,1)，B(2,0)，C(0，－1)三点，且圆心在x轴的正半轴上，则圆E的标准方程为(　　)

A.2＋y2＝   B.2＋y2＝

C.2＋y2＝   D.2＋y2＝

解析：选C　根据题意，设圆E的圆心坐标为(a,0)(a＞0)，半径为r，则有解得a＝，r2＝，则圆E的标准方程为2＋y2＝.故选C.

9．(2018·合肥二模)已知圆C：(x－6)2＋(y－8)2＝4，O为坐标原点，则以OC为直径的圆的方程为(　　)

A．(x－3)2＋(y＋4)2＝100   B．(x＋3)2＋(y－4)2＝100

C．(x－3)2＋(y－4)2＝25   D．(x＋3)2＋(y－4)2＝25

解析：选C　因为圆C的圆心的坐标C(6,8)，

所以OC的中点坐标为E(3,4)，

所求圆的半径|OE|＝＝5，

故以OC为直径的圆的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25.故选C.

10．(2018·荆州二模)圆(x－1)2＋(y－1)2＝2关于直线y＝kx＋3对称，则k的值是(　　)

A．2   B．－2

C．1   D．－1

解析：选B　∵圆(x－1)2＋(y－1)2＝2关于直线y＝kx＋3对称，∴直线y＝kx＋3过圆心(1,1)，即1＝k＋3，解得k＝－2.故选B.

11．(2019·厦门质检)圆C与x轴相切于T(1,0)，与y轴正半轴交于两点A，B，且|AB|＝2，则圆C的标准方程为(　　)

A．(x－1)2＋(y－)2＝2   B．(x－1)2＋(y－2)2＝2

C．(x＋1)2＋(y＋)2＝4   D．(x－1)2＋(y－)2＝4

解析：选A　由题意得，圆C的半径为＝，圆心坐标为(1，)，∴圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－)2＝2，故选A.

12．(2019·孝义一模)已知P为直线x＋y－2＝0上的点，过点P作圆O：x2＋y2＝1的切线，切点为M，N，若∠MPN＝90°，则这样的点P有(　　)

A．0个   B．1个

C．2个   D．无数个

解析：选B　连接OM，ON，则OM＝ON，∠MPN＝∠ONP＝∠OMP＝90°，

∴四边形OMPN为正方形，

∵圆O的半径为1，∴|OP|＝，

∵原点(圆心)O到直线x＋y－2＝0的距离为，

∴符合条件的点P只有一个，故选B.

13．(2019·北京东城联考)直线l：y＝kx＋1与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，则“k＝1”是“|AB|＝”的(　　)

A．充分不必要条件   B．必要不充分条件

C．充要条件   D．既不充分也不必要条件

解析：选A　直线l：y＝kx＋1与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，∴圆心到直线的距离d＝，则|AB|＝2＝2＝2，当k＝1时，|AB|＝2 ＝，即充分性成立；若|AB|＝，则2＝，即k2＝1，解得k＝1或k＝－1，即必要性不成立，故“k＝1”是“|AB|＝”的充分不必要条件，故选A.

14．已知圆C：(x＋1)2＋(y－1)2＝1与x轴切于A点，与y轴切于B点，设劣弧的中点为M，则过点M的圆C的切线方程是________________．

解析：因为圆C与两轴相切，且M是劣弧的中点，所以直线CM是第二、四象限的角平分线，所以斜率为－1，所以过M的切线的斜率为1.因为圆心到原点的距离为，所以|OM|＝－1，所以M，所以切线方程为y－1＋＝x－＋1，整理得x－y＋2－＝0.

答案：x－y＋2－＝0

15．(2018·枣庄二模)已知圆M与直线x－y＝0及x－y＋4＝0都相切，且圆心在直线y＝－x＋2上，则圆M的标准方程为________________．

解析：∵圆M的圆心在y＝－x＋2上，

∴设圆心为(a,2－a)，

∵圆M与直线x－y＝0及x－y＋4＝0都相切，

∴圆心到直线x－y＝0的距离等于圆心到直线x－y＋4＝0的距离，

即＝，解得a＝0，

∴圆心坐标为(0,2)，圆M的半径为＝，

∴圆M的标准方程为x2＋(y－2)2＝2.

答案：x2＋(y－2)2＝2

16．(2019·天津联考)以点(0，b)为圆心的圆与直线y＝2x＋1相切于点(1,3)，则该圆的方程为____________________．

解析：由题意设圆的方程为x2＋(y－b)2＝r2(r＞0)．根据条件得

解得∴该圆的方程为x2＋2＝.

答案：x2＋2＝

17．(2019·丹东联考)经过三点A(1,3)，B(4,2)，C(1，－7)的圆的半径是________．

解析：易知圆心在线段AC的垂直平分线y＝－2上，所以设圆心坐标为(a，－2)，由(a－1)2＋(－2－3)2＝(a－4)2＋(－2－2)2，得a＝1，即圆心坐标为(1，－2)，∴半径为r＝＝5.

答案：5

18．(2019·镇江联考)已知圆C与圆x2＋y2＋10x＋10y＝0相切于原点，且过点A(0，－6)，则圆C的标准方程为____________________．

解析：设圆C的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，其圆心为C(a，b)，半径为r(r＞0)．

∵x2＋y2＋10x＋10y＝0可化简为(x＋5)2＋(y＋5)2＝50，

∴其圆心为(－5，－5)，半径为5.

∵两圆相切于原点O，且圆C过点(0，－6)，点(0，－6)在圆(x＋5)2＋(y＋5)2＝50内，

∴两圆内切，∴

解得a＝－3，b＝－3，r＝3，

∴圆C的标准方程为(x＋3)2＋(y＋3)2＝18.

答案：(x＋3)2＋(y＋3)2＝18