新课改专用2020版高考数学一轮跟踪检测48《深化提能-与圆有关的综合问题》(含解析)

课时跟踪检测（四十八） 深化提能——与圆有关的综合问题

1．(2019·莆田模拟)已知圆O：x2＋y2＝1，若A，B是圆O上的不同两点，以AB为边作等边△ABC，则|OC|的最大值是(　　)

A.　　　　　　 　　 B.

C．2   D.＋1

解析：选C　如图所示，连接OA，OB和OC.∵OA＝OB，AC＝BC，OC＝OC，∴△OAC≌△OBC，∴∠ACO＝∠BCO＝30°，在△OAC中，由正弦定理得＝，∴OC＝2sin∠OAC≤2，故|OC|的最大值为2，故选C.

2．已知圆C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圆C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0只有一条公切线，若a，b∈R且ab≠0，则＋的最小值为(　　)

A．2   B．4

C．8   D．9

解析：选D　圆C1的标准方程为(x＋2a)2＋y2＝4，其圆心为(－2a,0)，半径为2；圆C2的标准方程为x2＋(y－b)2＝1，其圆心为(0，b)，半径为1.因为圆C1和圆C2只有一条公切线，所以圆C1与圆C2相内切，所以＝2－1，得4a2＋b2＝1，所以＋＝(4a2＋b2)＝5＋＋≥5＋2 ＝9，当且仅当＝，且4a2＋b2＝1，即a2＝，b2＝时等号成立．所以＋的最小值为9.

3．(2017·全国卷Ⅲ)在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若＝λ＋μ，则λ＋μ的最大值为(　　)

A．3   B．2

C.   D．2

解析：选A　以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x轴，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0)，B(1,0)，C(1,2)，D(0,2)，可得直线BD的方程为2x＋y－2＝0，点C到直线BD的距离为＝，所以圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝.

因为P在圆C上，所以P.

又＝(1,0)，＝(0,2)，＝λ＋μ＝(λ，2μ)，

所以λ＋μ＝2＋cos θ＋sin θ＝2＋sin(θ＋φ)≤3(其中tan φ＝2)，当且仅当θ＝＋2kπ－φ，k∈Z时，λ＋μ取得最大值3.

4．(2019·拉萨联考)已知点P在圆C：x2＋y2－4x－2y＋4＝0上运动，则点P到直线l：x－2y－5＝0的距离的最小值是(　　)

A．4   B.

C.＋1   D.－1

解析：选D　圆C：x2＋y2－4x－2y＋4＝0化为(x－2)2＋(y－1)2＝1，圆心C(2,1)，半径为1，圆心到直线l的距离为＝，则圆上一动点P到直线l的距离的最小值是－1.故选D.

5．(2019·赣州模拟)已知动点A(xA，yA)在直线l：y＝6－x上，动点B在圆C：x2＋y2－2x－2y－2＝0上，若∠CAB＝30°，则xA的最大值为(　　)

A．2   B．4

C．5   D．6

解析：选C　由题意可知，当AB是圆的切线时，∠ACB最大，此时|CA|＝4.点A的坐标满足(x－1)2＋(y－1)2＝16，与y＝6－x联立，解得x＝5或x＝1，∴点A的横坐标的最大值为5.故选C.

6．(2018·北京高考)在平面直角坐标系中，记d为点P(cos θ，sin θ)到直线x－my－2＝0的距离．当θ，m变化时，d的最大值为(　　)

A．1   B．2

C．3   D．4

解析：选C　由题知点P(cos θ，sin θ)是单位圆x2＋y2＝1上的动点，所以点P到直线x－my－2＝0的距离可转化为单位圆上的点到直线的距离．又直线x－my－2＝0恒过点(2,0)，所以当m变化时，圆心(0,0)到直线x－my－2＝0的距离d＝的最大值为2，所以点P到直线x－my－2＝0的距离的最大值为3，即d的最大值为3.

7．(2019·安徽皖西联考)已知P是椭圆＋＝1上的一点，Q，R分别是圆(x－3)2＋y2＝和(x＋3)2＋y2＝上的点，则|PQ|＋|PR|的最小值是________．

解析：设两圆圆心分别为M，N，则M，N为椭圆的两个焦点，因此|PQ|＋|PR|≥|PM|－＋|PN|－＝2a－1＝2×4－1＝7，即|PQ|＋|PR|的最小值是7.

答案：7

8．(2019·安阳一模)在平面直角坐标系xOy中，点A(0，－3)，若圆C：(x－a)2＋(y－a＋2)2＝1上存在一点M满足|MA|＝2|MO|，则实数a的取值范围是________．

解析：设满足|MA|＝2|MO|的点的坐标为M(x，y)，由题意得＝2，

整理得x2＋(y－1)2＝4，

即所有满足题意的点M组成的轨迹方程是一个圆，

原问题转化为圆x2＋(y－1)2＝4与圆C：(x－a)2＋(y－a＋2)2＝1有交点，

据此可得关于实数a的不等式组解得0≤a≤3，

综上可得，实数a的取值范围是[0,3]．

答案：[0,3]

9．(2019·唐山调研)已知点A(－3,0)，B(3,0)，动点P满足|PA|＝2|PB|.

(1)若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程；

(2)若点Q在直线l1：x＋y＋3＝0上，直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，求|QM|的最小值．

解：(1)设点P的坐标为(x，y)，则＝2.化简可得(x－5)2＋y2＝16，故此曲线方程为(x－5)2＋y2＝16.

(2)曲线C是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图所示．

由题知直线l2与圆C相切，连接CQ，CM，

则|QM|＝＝，

当CQ⊥l1时，|CQ|取得最小值，|QM|取得最小值，

此时|CQ|＝＝4，

故|QM|的最小值为＝4.

10．(2019·广州一测)已知定点M(1,0)和N(2,0)，动点P满足|PN|＝|PM|.

(1)求动点P的轨迹C的方程；

(2)若A，B为(1)中轨迹C上两个不同的点，O为坐标原点．设直线OA，OB，AB的斜率分别为k1，k2，k.当k1k2＝3时，求k的取值范围．

解：(1)设动点P的坐标为(x，y)，

因为M(1,0)，N(2,0)，|PN|＝|PM|，

所以＝.

整理得，x2＋y2＝2.

所以动点P的轨迹C的方程为x2＋y2＝2.

(2)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝kx＋b.

由消去y，整理得(1＋k2)x2＋2bkx＋b2－2＝0.(*)

由Δ＝(2bk)2－4(1＋k2)(b2－2)＞0，得b2＜2＋2k2.   ①

由根与系数的关系，得x1＋x2＝－，x1x2＝.  ②

由k1·k2＝·＝·＝3，

得(kx1＋b)(kx2＋b)＝3x1x2，

即(k2－3)x1x2＋bk(x1＋x2)＋b2＝0.      ③

将②代入③，整理得b2＝3－k2.④

由④得b2＝3－k2≥0，解得－≤k≤.    ⑤

由①和④，解得k＜－或k＞.      ⑥

要使k1，k2，k有意义，则x1≠0，x2≠0，

所以0不是方程(*)的根，所以b2－2≠0，即k≠1且k≠－1.⑦

由⑤⑥⑦，得k的取值范围为[－，－1)∪∪∪(1,  ]．