新课改专用2020版高考数学一轮跟踪检测45《直线与方程》(含解析)
展开课时跟踪检测(四十五) 直线与方程
[A级 基础题——基稳才能楼高]
1.(2019·合肥模拟)直线l:xsin 30°+ycos 150°+1=0的斜率是( )
A. B.
C.- D.-
解析:选A 设直线l的斜率为k,则k=-=.
2.(2019·永州模拟)已知直线l1:x+y+1=0,l2:x+y-1=0,则直线l1与直线l2之间的距离为( )
A.1 B.
C. D.2
解析:选B 由平行线间的距离公式可知,直线l1与直线l2之间的距离为=.
3.(2019·成都月考)当点P(3,2)到直线mx-y+1-2m=0的距离最大时,m的值为( )
A. B.0
C.-1 D.1
解析:选C 直线mx-y+1-2m=0过定点Q(2,1),所以点P(3,2)到直线mx-y+1-2m=0的距离最大时,PQ垂直直线,即m·=-1,∴m=-1,故选C.
4.(2019·济宁模拟)过点(-10,10)且在x轴上的截距是在y轴上截距的4倍的直线的方程为( )
A.x-y=0
B.x+4y-30=0
C.x+y=0或x+4y-30=0
D.x+y=0或x-4y-30=0
解析:选C 当直线经过原点时,此时直线的方程为x+y=0,满足题意.当直线不经过原点时,设直线方程为+=1,把点(-10,10)代入可得a=,故直线方程为+=1,即x+4y-30=0.综上所述,可知选C.
5.(2019·深圳月考)若两直线kx-y+1=0和x-ky=0相交且交点在第二象限,则k的取值范围是( )
A.(-1,0) B.(0,1]
C.(0,1) D.(1,+∞)
解析:选A 由题意知k≠±1.联立解得∴∴-1<k<0.故选A.
6.(2019·银川月考)点P(2,5)关于x+y+1=0对称的点的坐标为( )
A.(6,3) B.(3,-6)
C.(-6,-3) D.(-6,3)
解析:选C 设点P(2,5)关于x+y+1=0的对称点为Q(a,b),则解得即P(2,5)关于x+y+1=0对称的点的坐标为(-6,-3).故选C.
[B级 保分题——准做快做达标]
1.(2019·广州月考)已知点A(1,),B(-1,3),则直线AB的倾斜角是( )
A.60° B.30°
C.120° D.150°
解析:选C 设直线AB的倾斜角为α.
∵A(1,),B(-1,3),
∴kAB==-,∴tan α=-,
∵0°≤α<180°,∴α=120°.故选C.
2.(2019·惠阳月考)点A(2,5)到直线l:x-2y+3=0的距离为( )
A.2 B.
C. D.
解析:选C 点A(2,5)到直线l:x-2y+3=0的距离为d==.故选C.
3.(2019·安庆模拟)若直线l1:x+3y+m=0(m>0)与直线l2:2x+6y-3=0的距离为,则m=( )
A.7 B.
C.14 D.17
解析:选B 直线l1:x+3y+m=0(m>0),即2x+6y+2m=0,因为它与直线l2:2x+6y-3=0的距离为,所以=,求得m=.
4.已知点P(x,y)在直线x+y-4=0上,则x2+y2的最小值是( )
A.8 B.2
C. D.16
解析:选A 因为点P(x,y)在直线x+y-4=0上,所以x2+y2的最小值即为原点到直线x+y-4=0距离的平方,d==2,d2=8.
5.(2019·重庆第一中学月考)光线从点A(-3,5)射到x轴上,经x轴反射后经过点B(2,10),则光线从A到B的距离为( )
A.5 B.2
C.5 D.10
解析:选C 点B(2,10)关于x轴的对称点为B′(2,-10),由对称性可得光线从A到B的距离为|AB′|==5.故选C.
6.(2019·黄陵期中)不论m为何值,直线(m-1)x+(2m-1)y=m-5恒过定点( )
A. B.(-2,0)
C.(2,3) D.(9,-4)
解析:选D ∵直线方程为(m-1)x+(2m-1)y=m-5,
∴直线方程可化为(x+2y-1)m+(-x-y+5)=0.
∵不论m为何值,直线(m-1)x+(2m-1)y=m-5恒过定点,∴∴故选D.
7.(2018·成都五校联考)已知A,B是x轴上的两点,点P的横坐标为2,且|PA|=|PB|,若直线PA的方程为x-y+1=0,则直线PB的方程是( )
A.2x+y-7=0 B.x+y-5=0
C.2y-x-4=0 D.2x-y-1=0
解析:选B 由|PA|=|PB|得点P一定在线段AB的垂直平分线上,根据直线PA的方程为x-y+1=0,可得A(-1,0),将x=2代入直线x-y+1=0,得y=3,所以P(2,3),所以B(5,0),所以直线PB的方程是x+y-5=0,选B.
8.(2019·大庆一中期末)设点A(-2,3),B(3,2),若直线ax+y+2=0与线段AB没有交点,则a的取值范围是( )
A.∪
B.
C.
D.∪
解析:选B 直线ax+y+2=0过定点P(0,-2),可得直线PA的斜率kPA=-,直线PB的斜率kPB=.若直线ax+y+2=0与线段AB没有交点,则-<-a<,解得-<a<,故选B.
9.(2019·河南新乡期末)三条直线l1:x-y=0,l2:x+y-2=0,l3:5x-ky-15=0构成一个三角形,则k的取值范围是( )
A.k∈R
B.k∈R且k≠±1,k≠0
C.k∈R且k≠±5,k≠-10
D.k∈R且k≠±5,k≠1
解析:选C 由l1∥l3,得k=5;由l2∥l3,得k=-5;由x-y=0与x+y-2=0,得x=1,y=1,若(1,1)在l3上,则k=-10.若l1,l2,l3能构成一个三角形,则k≠±5且k≠-10,故选C.
10.(2019·淮安期末)若三条直线x+y-2=0,mx-2y+3=0,x-y=0交于一点,则实数m的值为________.
解析:直线x+y-2=0,x-y=0的交点为(1,1),所以m-2+3=0,解得m=-1.
答案:-1
11.与直线l1:3x+2y-6=0和直线l2:6x+4y-3=0等距离的直线方程是________________.
解析:l2:6x+4y-3=0化为3x+2y-=0,所以l1与l2平行,设与l1,l2等距离的直线l的方程为3x+2y+c=0,则|c+6|=,解得c=-,所以l的方程为12x+8y-15=0.
答案:12x+8y-15=0
12.直线l:xcos α+y+2=0的倾斜角的取值范围是________________.
解析:设直线l的倾斜角为θ,依题意知,θ≠,直线l的斜率k=-cos α,∵cos α∈[-1,1],∴k∈,即tan θ∈.又θ∈[0,π),∴θ∈∪.
答案:∪
13.已知直线l:x-my+m=0上存在点M满足与两点A(-1,0),B(1,0)连线的斜率kMA与kMB之积为3,则实数m的取值范围是________________.
解析:设M(x,y),由kMA·kMB=3,
得·=3,即y2=3x2-3.
联立得x2+x+6=0.
要使直线l:x-my+m=0上存在点M满足与两点A(-1,0),B(1,0)连线的斜率kMA与kMB之积为3,
则Δ=2-24≥0,即m2≥.
所以实数m的取值范围是∪.
答案:∪
14.(2019·江苏如皋联考)“m=3”是“两直线l1:mx+3y+2=0和l2:x+(m-2)y+m-1=0平行”的________条件.(在“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选一个填空)
解析:若l1∥l2,则m(m-2)-3=0,解得m=3或m=-1(此时两直线重合,舍去),所以m=3,必要性成立;若m=3,k1=k2,l1∥l2,充分性成立,所以“m=3”是“两直线l1:mx+3y+2=0和l2:x+(m-2)y+m-1=0平行”的充要条件.
答案:充要
15.(2019·四川达州月考)已知直线l过点(1,2)且在x,y轴上的截距相等.
(1)求直线l的一般方程;
(2)若直线l在x,y轴上的截距不为0,点P(a,b)在直线l上,求3a+3b的最小值.
解:(1)①截距为0时,l:y=2x;②截距不为0时,k=-1,l:y-2=-(x-1),∴y=-x+3.
综上,l的一般方程为2x-y=0或x+y-3=0.
(2)由题意得l:x+y-3=0,∴a+b=3,∴3a+3b≥2=2=6,当且仅当a=b=时,等号成立,∴3a+3b的最小值为6.
16.已知点P(2,-1).
(1)求过点P且与原点的距离为2的直线l的方程;
(2)求过点P且与原点的距离最大的直线l的方程,最大距离是多少?
解:(1)过点P的直线l与原点的距离为2,而点P的坐标为(2,-1),显然,过P(2,-1)且垂直于x轴的直线满足条件,此时l的斜率不存在,其方程为x=2.
若斜率存在,设l的方程为y+1=k(x-2),
即kx-y-2k-1=0.
由已知得=2,解得k=.
此时l的方程为3x-4y-10=0.
综上,可得直线l的方程为x=2或3x-4y-10=0.
(2)作图可得过点P与原点O的距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线,如图.
由l⊥OP,得klkOP=-1,
所以kl=-=2.
由直线方程的点斜式得y+1=2(x-2),即2x-y-5=0.
所以直线2x-y-5=0是过点P且与原点O的距离最大的直线,
最大距离为=.