2020版高考数学一轮复习课后限时集训5《函数的单调性与最值》文数（含解析）北师大版 试卷

课后限时集训(五)　

(建议用时：40分钟)

A组　基础达标

一、选择题

1．下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是(　　)

A．f(x)=3－x　 B．f(x)=x2－3x

C．f(x)=－ D．f(x)=－|x|

C　[函数f(x)=－的递增区间为(－∞，－1)和(－1，＋∞)，故在(0，＋∞)上是增函数，故选C．]

2．(2019·湖北八校联考)设函数f(x)=在区间[3,4]上的最大值和最小值分别为M，m，则=(　　)

A． B．

C． D．

D　[f(x)===2＋，

则函数f(x)在[3,4]上是减函数，从而

f(x)max=f(3)=2＋=6，

f(x)min=f(4)=2＋=4，

即M=6，m=4，所以==，故选D.]

3．函数f(x)=ln(4＋3x－x2)的递减区间是(　　)

A． B．

C． D．

D　[要使函数有意义需4＋3x－x2＞0，

解得－1＜x＜4，∴定义域为(－1,4)．

令t=4＋3x－x2=－2＋.

则t在上递增，在上递减的，

又y=ln t在上递增的，

∴f(x)=ln(4＋3x－x2)的递减区间为.]

4．已知函数f(x)=log2x＋，若x1∈(1,2)，x2∈(2，＋∞)，则(　　)

A．f(x1)＜0，f(x2)＜0 B．f(x1)＜0，f(x2)＞0

C．f(x1)＞0，f(x2)＜0 D．f(x1)＞0，f(x2)＞0

B　[函数f(x)=log2x＋在区间(1，＋∞)上是增函数，且f(2)=log22＋=0，从而f(x1)＜0，f(x2)＞0，故选B.]

5．(2019·三门峡模拟)设函数f(x)=若f(a＋1)≥f(2a－1)，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－∞，1] B．(－∞，2]

C．[2,6] D．[2，＋∞)

B　[易知f(x)=是定义域R上是增加的．

∵f(a＋1)≥f(2a－1)，∴a＋1≥2a－1，解得a≤2.

故实数a的取值范围是(－∞，2]，故选B.]

二、填空题

6．(2019·上饶模拟)函数f(x)=－x＋在上的最大值是________．

　[法一：易知y=－x，y=在上递减的，∴函数f(x)在上递减的，∴f(x)max=f(－2)=.

法二：函数f(x)=－x＋的导数为f′(x)=－1－.

易知f′(x)＜0，可得f(x)在上递减的，

所以f(x)max=2－=.]

7．(2019·长春模拟)已知函数f(x)=|x＋a|在(－∞，－1)上是单调函数，则a的取值范围是________．

(－∞，1]　[因为函数f(x)在(－∞，－1)上是单调函数，所以－a≥－1，解得a≤1.]

8．已知函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，若f(a2－a)＞f(a＋3)，则实数a的取值范围为________．

(－3，－1)∪(3，＋∞)　[由已知可得解得－3＜a＜－1或a＞3，所以实数a的取值范围为(－3，－1)∪(3，＋∞)．]

三、解答题

9．已知函数f(x)=x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]．

(1)当a=－1时，求函数的最大值和最小值；

(2)求实数a的取值范围，使y=f(x)在区间[－5,5]上是单调函数．

[解]　(1)当a=－1时，f(x)=x2－2x＋2=(x－1)2＋1；因为x∈[－5,5]，所以x=1时，f(x)取最小值1；x=－5时，f(x)取最大值37.

(2)f(x)的对称轴为x=－a.因为f(x)在[－5,5]上是单调函数，所以－a≤－5，或－a≥5，所以实数a的取值范围为(－∞，－5]∪[5，＋∞)．

10．已知f(x)=(x≠a)．

(1)若a=－2，试证f(x)在(－∞，－2)上是增加的；

(2)若a＞0且f(x)在(1，＋∞)上是减少的，求a的取值范围．

[解]　(1)证明：设x1＜x2＜－2，

则f(x1)－f(x2)=－=.

∵(x1＋2)(x2＋2)＞0，x1－x2＜0，∴f(x1)＜f(x2)，

∴f(x)在(－∞，－2)上是增加的．

(2)f(x)===1＋，

当a＞0时，f(x)在(－∞，a)，(a，＋∞)上是减函数，

又f(x)在(1，＋∞)上是减少的，

∴0＜a≤1，故实数a的取值范围是(0,1]．

B组　能力提升

1．(2019·唐山模拟)函数y=，x∈(m，n]的最小值为0，则m的取值范围是(　　)

A．(1,2)　　　　 B．(－1,2)

C．[1,2) D．[－1,2)

D　[函数y===－1，在x∈(－1，＋∞)时，函数y是减函数，在x=2时，y=0；根据题意x∈(m，n]时，y的最小值为0，∴m的取值范围是－1≤m＜2.故选D.]

2．若函数f(x)=|2x＋a|的递增区间是[3，＋∞)，则a=________.

－6　[f(x)=|2x＋a|=

∵函数的递增区间为，

∴－=3，∴a=－6.]

3．设函数f(x)=g(x)=x2f(x－1)，则函数g(x)的递减区间是________．

[0,2)　[g(x)=x2f(x－1)=

当x＜2时，g(x)=－x2，因此g(x)的递减区间为[0,2)．]

4．已知函数f(x)=2x－的定义域为(0,1](a为实数)．

(1)当a=1时，求函数y=f(x)的值域；

(2)求函数y=f(x)在区间(0,1]上的最大值及最小值，并求出当函数f(x)取得最值时x的值．

[解]　(1)当a=1时，f(x)=2x－，任取1≥x1＞x2＞0，则f(x1)－f(x2)=2(x1－x2)－=(x1－x2).

因为1≥x1＞x2＞0，

所以x1－x2＞0，x1x2＞0.

所以f(x1)＞f(x2)，所以f(x)在(0,1]上递增，无最小值，当x=1时取得最大值1，所以f(x)的值域为(－∞，1]．

(2)当a≥0时，y=f(x)在(0,1]上递增，无最小值，当x=1时取得最大值2－a；

当a＜0时，f(x)=2x＋，

当≥1，即a∈(－∞，－2]时，y=f(x)在(0,1]上递减，无最大值，当x=1时取得最小值2－a；

当＜1，即a∈(－2,0)时，y=f(x)在上递减，在上递增，无最大值，当x=时取得最小值2.