2020版高考数学一轮复习课后限时集训6《函数的奇偶性与周期性》文数（含解析）北师大版 试卷

课后限时集训(六)　

(建议用时：60分钟)

A组　基础达标

一、选择题

1．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是(　　)

A．y=　　　 B．y=x＋

C．y=2x＋ D．y=x＋ex

D　[A选项定义域为R，由于f(－x)===f(x)，所以是偶函数．B选项定义域为{x|x≠0}，由于f(－x)=－x－=－f(x)，所以是奇函数．C选项定义域为R，由于f(－x)=2－x＋=＋2x=f(x)，所以是偶函数．D选项定义域为R，由于f(－x)=－x＋e－x=－x，所以是非奇非偶函数．]

2．(2019·开封模拟)已知f(x)是定义在R上周期为4的奇函数，当x∈(0,2]时，f(x)=2x＋log2x，则f(2 019)=(　　)

A．5　　　B.  C．2　　　D．－2

D　[由题意得f(2 019)=f(4×505－1)=f(－1)=－f(1)=－(21＋log21)=－2，故选D.]

3．(2019·三明模拟)函数y=f(x)是R上的奇函数，当x＜0时，f(x)=2x，则当x＞0时，f(x)=(　　)

A．－2x B．2－x

C．－2－x D．2x

C　[当x＞0时，－x＜0，则f(－x)=2－x，又f(－x)=－f(x)，所以－f(x)=2－x，即f(x)=－2－x，故选C．]

4．(2019·郑州模拟)已知函数f(x)=如果对任意的n∈N*，定义fn(x)=f{f[f…f()]}，那么f2 018(2)的值为(　　)

A．0　　 B．1  C．2　　　　D．3

A　[由题意知，f1(2)=f(2)=1，f2(2)=f(f(2))=f(1)=0，f3(2)=f(f(f(2)))=f(0)=2，f4(2)=f(2)=1，因此fn(2)的值呈周期性变化，周期T=3.则f2 018(2)=f2(2)=0，故选A．]

5．已知函数f(x)的定义域为R，且满足下列三个条件：

①对任意的x1，x2∈[4,8]，当x1＜x2时，都有＞0；②f(x＋4)=－f(x)；③y=f(x＋4)是偶函数．若a=f(6)，b=f(11)，c=f(2 017)，则a，b，c的大小关系正确的是(　　)

A．a＜b＜c B．b＜a＜c

C．a＜c＜b D．c＜b＜a

B　[由条件①知，函数f(x)在区间[4,8]上是增加的，

由条件②知，函数f(x)的周期T=8，

由条件③知，函数f(x)的图像关于直线x=4对称．

则f(11)=f(3)=f(5)，f(2 017)=f(1)=f(7)．

由f(5)＜f(6)＜f(7)知f(11)＜f(6)＜f(2 017)，

即b＜a＜c.故选B.]

二、填空题

6．已知定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增加的，且f(1)=0，则不等式f(x－2)≥0的解集是________．

{x|x≤1或x≥3}　[由题意知偶函数f(x)在(－∞，0)上是减少的，且f(－1)=f(1)=0，所以f(x－2)≥0可转化为x－2≥1或x－2≤－1，解得x≥3或x≤1.]

7．(2019·广州模拟)已知函数f(x)=＋a为奇函数，则实数a=________.

－　[由题意知f(－1)=－f(1)，即＋a=－，解得a=－，经检验，符合题意．]

8．设定义在R上的函数f(x)同时满足以下条件：

①f(x)＋f(－x)=0；

②f(x)=f(x＋2)；

③当0≤x＜1时，f(x)=2x－1.

则f＋f(1)＋f＋f(2)＋f=________.

－1　[依题意知：函数f(x)为奇函数且周期为2，

则f(1)＋f(－1)=0，f(－1)=f(1)，即f(1)=0.

∴f＋f(1)＋f＋f(2)＋f=f＋0＋f＋f(0)＋f=f－f＋f(0)＋f=f＋f(0)

=2－1＋20－1

=－1.]

三、解答题

9．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意实数x有f=－f成立．

(1)证明y=f(x)是周期函数，并指出其周期；

(2)若f(1)=2，求f(2)＋f(3)的值．

[解]　(1)证明：由f=－f，

且f(－x)=－f(x)，知f(3＋x)=f=－f=－f(－x)=f(x)，所以y=f(x)是周期函数，且T=3是其一个周期．

(2)因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)=0，且f(－1)=－f(1)=－2，又T=3是y=f(x)的一个周期，所以f(2)＋f(3)=f(－1)＋f(0)=－2＋0=－2.

10．已知函数f(x)=是奇函数．

(1)求实数m的值；

(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上是增加的，求实数a的取值范围．

[解]　(1)设x＜0，则－x＞0，

所以f(－x)=－(－x)2＋2(－x)=－x2－2x.

又f(x)为奇函数，

所以f(－x)=－f(x)，

于是x＜0时，f(x)=x2＋2x=x2＋mx，所以m=2.

(2)要使f(x)在[－1，a－2]上是增加的，

结合f(x)的图像(如图所示)知

所以1＜a≤3，

故实数a的取值范围是(1,3]．

B组　能力提升

1．(2019·武汉模拟)若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)=ex，则g(x)=(　　)

A．ex－e－x　　　　　B.(ex＋e－x)

C．(e－x－ex) D．(ex－e－x)

D　[由题意知f(－x)＋g(－x)=e－x，又f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，所以f(x)－g(x)=e－x，

解方程组得g(x)=.

故选D.]

2．(2019·青岛模拟)已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时，f(x)=x3－1；当－1≤x≤1时，f(－x)=－f(x)；当x>时，f=f，则f(6)=(　　)

A．－2　 B．－1  C．0　　　D．2

D　[由题意知当x>时，f=f，

则f(x＋1)=f(x)．

又当－1≤x≤1时，f(－x)=－f(x)，∴f(6)=f(1)=－f(－1)．又当x<0时，f(x)=x3－1，∴f(－1)=－2，∴f(6)=2.故选D.]

3．设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的 x∈R恒有f(x＋1)=f(x－1)，已知当x∈[0,1]时，f(x)=2x，则有

①2是函数f(x)的周期；

②函数f(x)在(1,2)上是减少的，在(2,3)上是增加的；

③函数f(x)的最大值是1，最小值是0.

其中所有正确命题的序号是________．

①②　[由f(x＋1)=f(x－1)得f(x＋2)=f(x)，因此2是函数f(x)的周期，故①正确；

由题意知，在区间[0,1]上，函数f(x)是增加的．

在区间[－1,0]上，函数f(x)是减少的，由函数的周期性知，函数f(x)在(1,2)上是减少的，在(2,3)上是增加的，故②正确；

函数f(x)的最大值为2，最小值为1，故③错误．]

4．已知函数f(x)=2|x－2|＋ax(x∈R)有最小值．

(1)求实数a的取值范围；

(2)设g(x)为定义在R上的奇函数，且当x＜0时，g(x)=f(x)，求g(x)的解析式．

[解]　(1)f(x)=

要使函数f(x)有最小值，需

∴－2≤a≤2，

故a的取值范围为[－2,2]．

(2)∵g(x)为定义在R上的奇函数，

∴g(0)=0.

设x＞0，则－x＜0.

∴g(x)=－g(－x)=(a－2)x－4，

∴g(x)=