2020版高考数学一轮复习课后限时集训7《二次函数的再研究与幂函数》文数（含解析）北师大版 试卷

课后限时集训(七)　

(建议用时：60分钟)

A组　基础达标

一、选择题

1．(2019·孝义模拟)函数f(x)=2x2－mx＋3，若当x∈[－2，＋∞)时是增函数，当x∈(－∞，－2]时是减函数，则f(1)等于(　　)

A．－3　　  B．13　　　　C．7　　　　D．5

B　[由题意知=－2，即m=－8，所以f(x)=2x2＋8x＋3，所以f(1)=2×12＋8×1＋3=13，故选B.]

2．函数f(x)=(m2－m－1)xm是幂函数，且在(0，＋∞)上为增函数，则实数m的值是(　　)

A．－1 B．2 

C．3 D．－1或2

B　[由题意知解得m=2，故选B.]

3．已知函数f(x)=x2－2x＋3在区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是(　　)

A．[1，＋∞) B．[0,2]

C．(－∞，2] D．[1,2]

D　[f(x)=x2－2x＋3=(x－1)2＋2，且f(0)=f(2)=3，f(1)=2，则1≤m≤2，故选D.]

4．(2019·舟山模拟)已知a，b，c∈R，函数f(x)=ax2＋bx＋c.若f(0)=f(4)＞f(1)，则(　　)

A．a＞0,4a＋b=0 B．a＜0,4a＋b=0

C．a＞0,2a＋b=0 D．a＜0,2a＋b=0

A　[由f(0)=f(4)，得f(x)=ax2＋bx＋c的对称轴为x=－=2，所以4a＋b=0，又f(0)＞f(1)，所以f(x)先减后增，所以a＞0，故选A．]

5．若关于x的不等式x2＋ax＋1≥0在区间上恒成立，则a的最小值是(　　)

A．0 B．2

C．－ D．－3

C　[由x2＋ax＋1≥0，得a≥－在上恒成立．

令g(x)=－，因为g(x)在上为增函数，

所以g(x)max=g=－，所以a≥－.故选C．]

二、填空题

6．已知P=2－，Q=3，R=3，则P，Q，R的大小关系是________．

P＞R＞Q　[P=2－=3，根据函数y=x3是R上的增函数且＞＞，

得3＞3＞3，即P＞R＞Q.]

7．已知二次函数的图像与x轴只有一个交点，对称轴为x=3，与y轴交于点(0,3)．则它的解析式为________．

y=x2－2x＋3　[由题意知，可设二次函数的解析式为y=a(x－3)2，又图像与y轴交于点(0,3)，

所以3=9a，即a=.

所以y=(x－3)2=x2－2x＋3.]

8．已知函数f(x)=x2＋(a＋1)x＋b满足f(3)=3，且f(x)≥x恒成立，则a＋b=________.

3　[由f(3)=3得9＋3(a＋1)＋b=3，即b=－3a－9.

所以f(x)=x2＋(a＋1)x－3a－9.

由f(x)≥x得x2＋ax－3a－9≥0.

则Δ=a2－4(－3a－9)≤0，即(a＋6)2≤0，所以a=－6，b=9.

所以a＋b=3.]

三、解答题

9．已知函数f(x)=ax2＋bx＋1(a，b为实数，a≠0，x∈R)．

(1)若函数f(x)的图像过点(－2,1)，且方程f(x)=0有且只有一个根，求f(x)的表达式；

(2)在(1)的条件下，当x∈[－1,2]时，g(x)=f(x)－kx是单调函数，求实数k的取值范围．

[解]　(1)因为f(－2)=1，即4a－2b＋1=1，

所以b=2a.

因为方程f(x)=0有且只有一个根，

所以Δ=b2－4a=0.

所以4a2－4a=0，所以a=1，b=2.

所以f(x)=x2＋2x＋1.

(2)g(x)=f(x)－kx=x2＋2x＋1－kx=x2－(k－2)x＋1=2＋1－.

由g(x)的图像知，要满足题意，则≥2或≤－1，即k≥6或k≤0，

所以所求实数k的取值范围为(－∞，0]∪[6，＋∞)．

10．已知函数f(x)=x2＋(2a－1)x－3.

(1)当a=2，x∈[－2,3]时，求函数f(x)的值域；

(2)若函数f(x)在[－1,3]上的最大值为1，求实数a的值．

[解]　(1)当a=2时，f(x)=x2＋3x－3，x∈[－2,3]，

对称轴x=－∈[－2,3]，

∴f(x)min=f=－－3=－，

f(x)max=f(3)=15，

∴值域为.

(2)由函数f(x)=x2＋(2a－1)x－3知其对称轴为直线x=－.

①当－≤1，即a≥－时，

f(x)max=f(3)=6a＋3，

∴6a＋3=1，即a=－满足题意；

②当－＞1，即a＜－时，

f(x)max=f(－1)=－2a－1，

∴－2a－1=1，即a=－1满足题意．

综上可知a=－或－1.

B组　能力提升

1．已知函数f(x)=则满足不等式f(1－x2)＞f(2x)的x的取值范围是(　　)

A．(－1，)　　　 B．(0,2)

C．(－1，－1) D．(1－，1)

C　[由题意知f(x)在[0，＋∞)上是增加的，且x＜0时，f(x)=1.

则f(1－x2)＞f(2x)可转化为

即解得－1＜x＜－1，故选C．]

2．(2019·江淮十校模拟)函数f(x)=x2－bx＋c满足f(x＋1)=f(1－x)，且f(0)=3，则f(bx)与f(cx)的大小关系是(　　)

A．f(bx)≤f(cx) B．f(bx)≥f(cx)

C．f(bx)＞f(cx) D．与x有关，不确定

A　[由f(x＋1)=f(1－x)知函数f(x)的对称轴x==1，所以b=2，由f(0)=3得c=3.

当x≥0时，1≤2x≤3x，则f(2x)≤f(3x)，

当x＜0时，3x＜2x＜1，则f(2x)＜f(3x)．

综上知，f(2x)≤f(3x)，即f(bx)≤f(cx)，故选A．]

3．已知点P1(x1,100)和P2(x2,100)在二次函数f(x)=ax2＋bx＋10的图像上，则f(x1＋x2)=________.

10　[由题意知x1＋x2=2×=－，

则f(x1＋x2)=f=a×2＋b×＋10=10.]

4．已知函数f(x)=x2＋ax＋3－a，若x∈[－2,2]时，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围．

[解]　要使f(x)≥0恒成立，则函数在区间[－2,2]上的最小值不小于0，设f(x)的最小值为g(a)．

f(x)的对称轴为x=－.

(1)当－＜－2，即a＞4时，

g(a)=f(－2)=7－3a≥0，得a≤，

故此时a不存在；

(2)当－∈[－2,2]，即－4≤a≤4时，

g(a)=f=3－a－≥0，

得－6≤a≤2，

又－4≤a≤4，故－4≤a≤2；

(3)当－＞2，即a＜－4时，

g(a)=f(2)=7＋a≥0，

得a≥－7，又a＜－4，故－7≤a＜－4.

综上得－7≤a≤2.