2020版高考数学一轮复习课后限时集训11《函数与方程》文数（含解析）北师大版 试卷

课后限时集训(十一)　

(建议用时：60分钟)

A组　基础达标

一、选择题

1．若函数f(x)=ax＋b有一个零点是2，那么函数g(x)=bx2－ax的零点是(　　)

A．0,2　　　　　　　　 B．0，

C．0，－ D．2，－

C　[由题意知2a＋b=0，

即b=－2a.

令g(x)=bx2－ax=0，得x=0或x==－.]

2．已知函数f(x)=x－cos x，则f(x)在[0,2π]上的零点个数是(　　)

A．1　　 B．2 

C．3　　　　 D．4

C　[作出g(x)=x与h(x)=cos x的图像如图所示，可以看到其在[0,2π]上的交点个数为3，所以函数f(x)在[0,2π]上的零点个数为3，故选C．]

3．已知函数f(x)=ln x－x－2的零点为x0，则x0所在的区间是(　　)

A．(0,1) B．(1,2)

C．(2,3) D．(3,4)

C　[∵f(x)=ln x－x－2在(0，＋∞)上是增函数，

又f(1)=ln 1－－1=－2＜0，

f(2)=ln 2－0＜0，

f(3)=ln 3－1＞0，

∴x0∈(2,3)，故选C．]

4．已知函数f(x)=2ax－a＋3，若存在x0∈(－1,1)，f(x0)=0，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－∞，－3)∪(1，＋∞) B．(－∞，－3)

C．(－3,1) D．(1，＋∞)

A　[当a=0时，f(x)=3，不合题意，当a≠0时，由题意知f(－1)·f(1)＜0，即(－3a＋3)(a＋3)＜0，解得a＜－3或a＞1，故选A．]

5．已知函数f(x)=(a∈R)，若函数f(x)在R上有两个零点，则a的取值范围是(　　)

A．(－∞，－1) B．(－∞，0)

C．(－1,0) D．[－1,0)

D　[当x＞0时，f(x)=3x－1有一个零点x=，所以只需要当x≤0时，ex＋a=0有一个根即可，即ex=－a.当x≤0时，ex∈(0,1]，所以－a∈(0,1]，即a∈[－1,0)，故选D.]

二、填空题

6．已知关于x的方程x2＋mx－6=0的一个根比2大，另一个根比2小，则实数m的取值范围是________．

(－∞，1)　[设函数f(x)=x2＋mx－6，则根据条件有f(2)＜0，即4＋2m－6＜0，解得m＜1.]

7．方程2x＋3x=k的解在[1,2)内，则k的取值范围为________．

[5,10)　[令函数f(x)=2x＋3x－k，

则f(x)在R上是增函数．

当方程2x＋3x=k的解在(1,2)内时，f(1)·f(2)＜0，

即(5－k)(10－k)＜0，

解得5＜k＜10.

当f(1)=0时，k=5.]

8．(2019·衡阳模拟)若函数f(x)=|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是__________．

(0,2)　[由f(x)=|2x－2|－b=0得|2x－2|=b.

在同一平面直角坐标系中画出y=|2x－2|与y=b的图像，如图所示，

则当0<b<2时，两函数图像有两个交点，从而函数f(x)=|2x－2|－b有两个零点．]

三、解答题

9．已知函数f(x)=x3－x2＋＋.证明：存在x0∈，使f(x0)=x0.

[证明]　令g(x)=f(x)－x.

∵g(0)=，g=f－=－，

∴g(0)·g＜0.

又函数g(x)在上连续，

∴存在x0∈，使g(x0)=0，

即f(x0)=x0.

10．已知二次函数f(x)=x2＋(2a－1)x＋1－2a.

(1)判断命题：“对于任意的a∈R，方程f(x)=1必有实数根”的真假，并写出判断过程；

(2)若y=f(x)在区间(－1,0)及内各有一个零点，求实数a的取值范围．

[解]　(1)“对于任意的a∈R，方程f(x)=1必有实数根”是真命题．

依题意，f(x)=1有实根，即x2＋(2a－1)x－2a=0有实根．

因为Δ=(2a－1)2＋8a=(2a＋1)2≥0对于任意的a∈R恒成立，即x2＋(2a－1)x－2a=0必有实根，从而f(x)=1必有实根．

(2)依题意，要使y=f(x)在区间(－1,0)及内各有一个零点，只需

即解得<a<.

故实数a的取值范围为.

B组　能力提升

1．已知函数f(x)=若方程f(x)－a=0有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是(　　)

A．(1,3) B．(0,3)

C．(0,2) D．(0,1)

D　[画出函数f(x)的图像如图所示，

观察图像可知，若方程f(x)－a=0有三个不同的实数根，则函数y=f(x)的图像与直线y=a有3个不同的交点，此时需满足0＜a＜1.故选D.]

2．已知函数y=f(x)是周期为2的周期函数，且当x∈[－1,1]时，f(x)=2|x|－1，则函数F(x)=f(x)－|lg x|的零点个数是(　　)

A．9 B．10

C．11 D．18

B　[在坐标平面内画出y=f(x)与y=|lg x|的大致图像如图，由图像可知，它们共有10个不同的交点，因此函数F(x)=f(x)－|lg x|的零点个数是10.

]

3．(2019·昆明模拟)已知函数f(x)=g(x)=f(x)－a(x－2)．若g(x)存在两个零点，则实数a的取值范围是________．

∪(0，＋∞)　[函数g(x)有两个零点，就是方程g(x)=f(x)－a(x－2)=0有两个解，也就是函数y=f(x)与y=a(x－2)的图像有两个交点．y=f(x)=的图像如图所示．直线y=a(x－2)过定点(2，

0)．当a=0时，两个函数的图像只有一个交点，不符合题意；当a＜0时，两个函数的图像要有两个交点，则直线y=a(x－2)过点(0,1)时，斜率a取得最小值，为－，所以－≤a＜0；当a＞0时，两个函数的图像一定有两个交点．综上，实数a的取值范围是∪(0，＋∞)．]

4．设函数f(x)=(x＞0)．

(1)作出函数f(x)的图像；

(2)当0＜a＜b且f(a)=f(b)时，求＋的值；

(3)若方程f(x)=m有两个不相等的正根，求m的取值范围．

[解]　(1)如图所示．

(2)因为f(x)=

=

故f(x)在(0,1]上是减函数，而在(1，＋∞)上是增函数，

由0＜a＜b且f(a)=f(b)，得0＜a＜1＜b，

且－1=1－，所以＋=2.

(3)由函数f(x)的图像可知，当0＜m＜1时，方程f(x)=m有两个不相等的正根．