2020版高考数学一轮复习课后限时集训39《平行关系》文数（含解析）北师大版 试卷

课后限时集训(三十九)　

(建议用时：60分钟)

A组　基础达标

一、选择题

1．(2018·长沙模拟)已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是(　　)

A．m∥α，n∥α，则m∥n

B．m∥n，m∥α，则n∥α

C．m⊥α，m⊥β，则α∥β

D．α⊥γ，β⊥γ，则α∥β

C　[对于A，平行于同一平面的两条直线可能相交，平行或异面，故A不正确；

对于B，m∥n，m∥α，则n∥α或nα，故B不正确；

对于C，利用垂直于同一直线的两个平面平行，可知C正确；

对于D，因为垂直于同一平面的两个平面的位置关系是相交或平行，故D不正确．]

2．下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是(　　)

A．①③　　　　　　B．②③

C．①④ D．②④

C　[对于图形①，平面MNP与AB所在的对角面平行，即可得到AB∥平面MNP；对于图形④，AB∥PN，即可得到AB∥平面MNP；图形②③无论用定义还是判定定理都无法证明线面平行．]

3．若m，n表示不同的直线，α，β表示不同的平面，则下列结论中正确的是(　　)

A．若m∥α，m∥n，则n∥α

B．若mα，nβ，m∥β，n∥α，则α∥β

C．若α⊥β，m∥α，n∥β，则m∥n

D．若α∥β，m∥α，n∥m，nβ，则n∥β

D　[在A中，若m∥α，m∥n，则n∥α或nα，故A错误．在B中，若mα，nβ，m∥β，n∥α，则α与β相交或平行，故B错误．在C中，若α⊥β，m∥α，n∥β，则m与n相交、平行或异面，故C错误．在D中，若α∥β，m∥α，n∥m，nβ，则由线面平行的判定定理得n∥β，故D正确．]

4．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，给出下列四个推断：

①FG∥平面AA1D1D；

②EF∥平面BC1D1；

③FG∥平面BC1D1；

④平面EFG∥平面BC1D1.

其中推断正确的序号是(　　)

A．①③ B．①④

C．②③  D．②④

A　[因为在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，所以FG∥BC1，因为BC1∥AD1，所以FG∥AD1 ，

因为FG平面AA1D1D，AD1平面AA1D1D，

所以FG∥平面AA1D1D，故①正确；

因为EF∥A1C1，A1C1与平面BC1D1相交，所以EF与平面BC1D1相交，故②错误；

因为E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，

所以FG∥BC1，

因为FG平面BC1D1，BC1平面BC1D1，

所以FG∥平面BC1D1，故③正确；

因为EF与平面BC1D1相交，所以平面EFG与平面BC1D1相交，故④错误，故选A．]

5．(2019·黄山模拟)E是正方体ABCD­A1B1C1D1的棱C1D1上的一点(不与端点重合)，BD1∥平面B1CE，则(　　)

A．BD1∥CE

B．AC1⊥BD1

C．D1E=2EC1

D．D1E=EC1

D　[如图，设B1C∩BC1=O，

可得平面D1BC1∩平面B1CE=EO，

∵BD1∥平面B1CE，根据线面平行的性质可得D1B∥EO，

∵O为B1C的中点，∴E为C1D1中点，∴D1E=EC1，故选D.]

二、填空题

6．棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，M是棱AA1的中点，过C，M，D1作正方体的截面，则截面的面积是________．

　[由面面平行的性质知截面与平面AB1的交线MN是△AA1B的中位线，所以截面是梯形CD1MN，易求其面积为.]

7．(2019·株洲模拟)如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足________时，有MN∥平面B1BDD1.

M∈FH　[∵HN∥DB，FH∥D1D，

∴平面FHN∥平面B1BDD1.

∵点M在四边形EFGH上及其内部运动，

故M∈FH.]

8．如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD­A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个命题：

①没有水的部分始终呈棱柱形；

②水面EFGH所在四边形的面积为定值；

③棱A1D1始终与水面所在平面平行；

④当容器倾斜如图所示时，BE·BF是定值．

其中正确的命题是________．

①③④　[由题图，显然①是正确的，②是错误的；

对于③，因为A1D1∥BC，BC∥FG，

所以A1D1∥FG且A1D1平面EFGH，

所以A1D1∥平面EFGH(水面)．

所以③是正确的；

对于④，因为水是定量的(定体积V)，

所以S△BEF·BC=V，即BE·BF·BC=V.

所以BE·BF=(定值)，即④是正确的．]

三、解答题

9．(2019·合肥模拟)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，BF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，BF=DE，M为棱AE的中点．

(1)求证：平面BDM∥平面EFC；

(2)若AB=1，BF=2，求三棱锥A­CEF的体积．

[解]　(1)证明：如图，设AC与BD交于点N，则N为AC的中点，连接MN，

又M为棱AE的中点，∴MN∥EC．

∵MN平面EFC，EC平面EFC，

∴MN∥平面EFC．

∵BF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，且BF=DE，

∴BFDE，

∴四边形BDEF为平行四边形，∴BD∥EF.

∵BD平面EFC，EF平面EFC，

∴BD∥平面EFC．

又MN∩BD=N，∴平面BDM∥平面EFC．

(2)连接EN，FN.在正方形ABCD中，AC⊥BD，

又BF⊥平面ABCD，∴BF⊥AC．

又BF∩BD=B，∴AC⊥平面BDEF，

又N是AC的中点，∴V三棱锥A­NEF=V三棱锥C­NEF，

∴V三棱锥A­CEF=2V三棱锥A­NEF=2××AN×S△NEF=2×××××2=，

∴三棱锥A­CEF的体积为.

10．在如图所示的多面体中，四边形ABB1A1和四边形ACC1A1都为矩形．设D，E分别是线段BC，CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使DE∥平面A1MC？请证明你的结论．

[解]　存在点M为线段AB的中点，使直线DE∥平面A1MC，证明如下：

如图，取线段AB的中点M，连接A1M，MC，A1C，AC1，设O为A1C与AC1的交点．

由已知，O为AC1的中点．

连接MD，OE，则MD，OE分别为△ABC，△ACC1的中位线，

所以MDAC，OEAC，

因此MDOE.

连接OM，从而四边形MDEO为平行四边形，

则DE∥MO.

因为DE平面A1MC，MO平面A1MC，

所以DE∥平面A1MC．

即线段AB上存在一点M(线段AB的中点)，

使DE∥平面A1MC．

B组　能力提升

1.在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则在下列结论中，错误的是(　　)

A．AC⊥BD

B．AC∥截面PQMN

C．AC=BD

D．异面直线PM与BD所成的角为45°

C　[因为截面PQMN是正方形，

所以MN∥PQ，则MN∥平面ABC，

由线面平行的性质知MN∥AC，

则AC∥截面PQMN，

同理可得MQ∥BD，又MN⊥QM，

则AC⊥BD，故A，B正确．

又因为BD∥MQ，所以异面直线PM与BD所成的角等于PM与QM所成的角，即为45°，故D正确．]

2．在如图所示的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB和棱AA1的中点，点M，N分别为线段D1E，C1F上的点，则与平面ABCD平行的直线MN有(　　)

A．无数条 B．2条

C．1条 D．0条

A　[法一：取BB1的中点H，连接FH，则FH∥C1D1，连接HE，D1H，在D1E上任取一点M，

取D1E的中点O，

连接OH，

在平面D1HE中，作MG平行于HO，交D1H于G，

连接DE，取DE的中点K，连接KB，OK，则易证得OH∥KB.

过G作GN∥FH，交C1F于点N，连接MN，由于GM∥HO，HO∥KB，KB平面ABCD，GM平面ABCD，

所以GM∥平面ABCD，

同理，NG∥平面ABCD，又GM∩NG=G，

由面面平行的判定定理得，平面MNG∥平面ABCD，则MN∥平面ABCD.

由于M为D1E上任意一点，故与平面ABCD平行的直线MN有无数条．故选A．

法二：因为直线D1E，C1F与平面ABCD都相交，所以只需要把平面ABCD向上平移，与线段D1E的交点为M，与线段C1F的交点为N，由面面平行的性质定理知MN∥平面ABCD，故有无数条直线MN∥平面ABCD，故选A．]

3．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N，Q分别是棱D1C1，A1D1，BC的中点，点P在BD1上且BP=BD1.则以下四个说法：

(1)MN∥平面APC；

(2)C1Q∥平面APC；

(3)A，P，M三点共线；

(4)平面MNQ∥平面APC．

其中说法正确的是________．(填序号)

(2)(3)　[(1)连接MN，AC，则MN∥AC，连接AM，CN，

易得AM，CN交于点P，即MN平面PAC，所以MN∥平面APC是错误的；

(2)由(1)知M，N在平面APC上，由题易知AN∥C1Q，

所以C1Q∥平面APC是正确的；

(3)由(1)知A，P，M三点共线是正确的；

(4)由(1)知MN平面PAC，

又MN平面MNQ，所以平面MNQ∥平面APC是错误的．]

4．(2018·长沙模拟)如图，在多面体ABCA1B1C1中，四边形ABB1A1是正方形，△A1CB是等边三角形，AC=AB=1，B1C1∥BC，BC=2B1C1.

(1)求证：AB1∥平面A1C1C；

(2)求多面体ABCA1B1C1的体积．

[解]　(1)证明：如图，取BC的中点D，连接AD，B1D，C1D，

∵B1C1∥BC，BC=2B1C1，

∴BD∥B1C1，BD=B1C1，CD∥B1C1，CD=B1C1，

∴四边形BDC1B1，CDB1C1是平行四边形，

∴C1D∥B1B，C1D=B1B，CC1∥B1D，

又B1D平面A1C1C，C1C平面A1C1C，

∴B1D∥平面A1C1C．

在正方形ABB1A1中，BB1∥AA1，BB1=AA1，

∴C1D∥AA1，C1D=AA1，

∴四边形ADC1A1为平行四边形，∴AD∥A1C1.

又AD平面A1C1C，A1C1平面A1C1C，

∴AD∥平面A1C1C，

∵B1D∩AD=D，∴平面ADB1∥平面A1C1C，

又AB1平面ADB1，∴AB1∥平面A1C1C．

(2)在正方形ABB1A1中，A1B=，

∵△A1BC是等边三角形，∴A1C=BC=，

∴AC2＋AA=A1C2，AB2＋AC2=BC2，∴AA1⊥AC，AC⊥AB.

又AA1⊥AB，∴AA1⊥平面ABC，∴AA1⊥CD，

易得CD⊥AD，AD∩AA1=A，∴CD⊥平面ADC1A1.

易知多面体ABCA1B1C1是由直三棱柱ABD­A1B1C1和四棱锥C­ADC1A1组成的，

直三棱柱ABD­A1B1C1的体积为××1=，

四棱锥C­ADC1A1的体积为××1×=，

∴多面体ABCA1B1C1的体积为＋=.