2020版高考数学一轮复习课后限时集训43《两条直线的位置关系》文数（含解析）北师大版 试卷

课后限时集训(四十三)　

(建议用时：60分钟)

A组　基础达标

一、选择题

1．直线2x＋y＋m=0和x＋2y＋n=0的位置关系是(　　)

A．平行　　　　　 B．垂直

C．相交但不垂直 D．不能确定

C　[∵≠，∴两条直线相交，又2×1＋1×2≠0，故两条直线不垂直．]

2．(2019·遵义四中月考)“a=2”是“直线ax＋3y－1=0与直线6x＋4y－3=0垂直”成立的(　　)

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

D　[a=2时，直线2x＋3y－1=0和直线6x＋4y－3=0不垂直，不是充分条件；直线ax＋3y－1=0和直线6x＋4y－3=0垂直时，可得a=－2，所以不是必要条件，故选D.]

3．已知点P(3,2)与点Q(1,4)关于直线l对称，则直线l的方程为(　　)

A．x－y＋1=0 B．x－y=0

C．x＋y＋1=0 D．x＋y=0

A　[由题意知直线l与直线PQ垂直，直线PQ的斜率kPQ=－1，所以直线l的斜率k=－=1.又直线l经过PQ的中点(2,3)，所以直线l的方程为y－3=x－2，即x－y＋1=0.]

4．已知过点A(－2，m)和点B(m,4)的直线为l1，直线2x＋y－1=0为l2，直线x＋ny＋1=0为l3.若l1∥l2，l2⊥l3，则实数m＋n的值为(　　)

A．－10　　　　B．－2

C．0　　　　D．8

A　[因为l1∥l2，所以kAB==－2，解得m=－8.

又因为l2⊥l3，所以－×(－2)=－1，

解得n=－2，所以m＋n=－10.]

5．平面直角坐标系中直线y=2x＋1关于点(1,1)对称的直线方程是(　　)

A．y=2x－1 B．y=－2x＋1

C．y=－2x＋3 D．y=2x－3

D　[在直线y=2x＋1上任取两个点A(0,1)，B(1,3)，则点A关于点(1,1)对称的点为M(2,1)，点B关于点(1,1)对称的点为N(1，－1)．由两点式求出对称直线MN的方程为=，即y=2x－3.]

二、填空题

6．设m∈R，过定点A的动直线x＋my=0和过定点B的动直线mx－y－m＋3=0交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是________．

5　[易知A(0,0)，B(1,3)且两直线互相垂直，

即△APB为直角三角形，

∴|PA|·|PB|≤===5.

当且仅当|PA|=|PB|时，等号成立．]

7．设曲线y=ex在点(0,1)处的切线与曲线y=(x>0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为__________．

(1,1)　[设点P的坐标为，x0＞0，曲线y=在点P处的切线斜率k2=－(x0＞0)，又因为曲线y=ex在点(0,1)处的切线斜率k1=ex=1，k1k2=－1，所以x=1，所以x0=1，所以点P的坐标为(1,1)．]

8．已知点A(1,0)，B(3,0)，若直线y=kx＋1上存在一点P，满足PA⊥PB，则k的取值范围是________．

　[法一：设P(x0，kx0＋1)，

依题意可得kPA·kPB=－1，

即×=－1，

即(k2＋1)x＋(2k－4)x0＋4=0，

则Δ=(2k－4)2－16(k2＋1)≥0，

化简得3k2＋4k≤0，解得－≤k≤0，

故k的取值范围是.

法二：若直线y=kx＋1上存在点P，满足PA⊥PB，

则直线y=kx＋1与以AB为直径的圆(x－2)2＋y2=1有公共点，

故≤1，即3k2＋4k≤0，故－≤k≤0，

k的取值范围为.]

三、解答题

9．在△ABC中，BC边上的高所在直线的方程为x－2y＋1=0，∠A的平分线所在直线的方程为y=0.若点B的坐标为(1,2)，求：

(1)点A和点C的坐标；

(2)△ABC的面积．

[解]　(1)由方程组

解得点A(－1,0)．

又直线AB的斜率为kAB=1，且x轴是∠A的平分线，

故直线AC的斜率为－1，所以AC所在的直线方程为y=－(x＋1)．

已知BC边上的高所在的直线方程为x－2y＋1=0，

故直线BC的斜率为－2，故BC所在的直线方程为y－2=－2(x－1)．

解方程组得点C的坐标为(5，－6)．

(2)因为B(1,2)，C(5，－6)，

所以|BC|==4，点A(－1,0)到直线BC：y－2=－2(x－1)的距离为d==，所以△ABC的面积为×4×=12.

10．(2019·沈阳模拟)l1，l2是分别经过A(1,1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，

(1)当l1，l2间的距离最大时，求直线l1的方程；

(2)当l1，l2间的距离为1时求l2的方程．

[解]　(1)当两条平行直线与A，B两点连线垂直时，两条平行直线间的距离最大．又kAB==2，所以两条平行直线的斜率为－，所以直线l1的方程是y－1=－(x－1)，即x＋2y－3=0.

(2)当l1⊥x轴时，l1方程为x=1，l2方程为x=0，l1与l2间距离为1，满足题意．

当l1不垂直于x轴时，设l1斜率为k，则l1，l2方程分别为y－1=k(x－1)，y＋1=kx，所以l1与l2间距离为d==1，解得k=.所以l2方程为y=x－1，综上所述，l2方程为x=0或3x－4y－4=0.

B组　能力提升

1．已知点P(x0，y0)是直线l：Ax＋By＋C=0外一点，则方程Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)=0表示(　　)

A．过点P且与l垂直的直线

B．过点P且与l平行的直线

C．不过点P且与l垂直的直线

D．不过点P且与l平行的直线

D　[因为点P(x0，y0)不在直线Ax＋By＋C=0上，所以Ax0＋By0＋C≠0，所以直线Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)=0不经过点P，排除A、B；又直线Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)=0与直线l：Ax＋By＋C=0平行，排除C，故选D.]

2．已知点A(－1,2)，B(3,4)．P是x轴上一点，且|PA|=|PB|，则△PAB的面积为(　　)

A．15　　　B.　　　C．6　　　D.

D　[设AB的中点坐标为M(1,3)，

kAB==，

所以AB的中垂线方程为y－3=－2(x－1)．

即2x＋y－5=0.令y=0，则x=，

即P点的坐标为，

|AB|==2.

P到AB的距离为|PM|==.

所以S△PAB=|AB|·|PM|=×2×=.]

3．已知入射光线经过点M(－3,4)，被直线l：x－y＋3=0反射，反射光线经过点N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为________．

6x－y－6=0　[设点M(－3,4)关于直线l：x－y＋3=0的对称点为M′(a，b)，则反射光线所在直线过点M′.

所以解得a=1，b=0.即M′(1,0)．

又反射光线经过点N(2,6)，

所以所求直线的方程为=，

即6x－y－6=0.]

4．已知点A(4，－3)，B(2，－1)和直线l：4x＋3y－2=0，在坐标平面内求一点P，使|PA|=|PB|，且点P到直线l的距离为2.

[解]　设点P的坐标为(a，b)．

∵A(4，－3)，B(2，－1)，

∴线段AB的中点坐标为(3，－2)．

又kAB==－1，

∴线段AB的垂直平分线的斜率为1，

∴线段AB的垂直平分线方程为y＋2=x－3，

即x－y－5=0.

∵点P(a，b)在直线x－y－5=0上，

∴a－b－5=0.①

又点P(a，b)到直线l：4x＋3y－2=0的距离为2，

∴=2，

即4a＋3b－2=±10，②

联立①②求得或

∴点P的坐标为(1，－4)或.