2020版高考数学一轮复习课后限时集训49《直线与圆锥曲线》文数（含解析）北师大版 试卷

课后限时集训(四十九)　(建议用时：60分钟)A组　基础达标一、选择题1．直线y=x＋3与双曲线－=1的交点个数是(　　)A．1　　　　B．2　　　　C．1或2　　　　D．0A　[因为直线y=x＋3与双曲线的渐近线y=x平行，所以它与双曲线只有1个交点．]2．已知椭圆＋=1(a>b>0)的一条弦所在的直线方程是x－y＋5=0，弦的中点坐标是M(－4,1)，则椭圆的离心率是(　　)A． B．C． D．C　[设直线与椭圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别代入椭圆方程，由点差法可知yM=－xM，代入k=1，M(－4,1)，解得=，e==，故选C．]3．抛物线C的顶点为原点，焦点在x轴上，直线x－y=0与抛物线C交于A，B两点．若P(1,1)为线段AB的中点，则抛物线C的方程为(　　)A．y=2x2 B．y2=2xC．x2=2y D．y2=－2xB　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，抛物线方程为y2=2px，则两式相减可得2p=·(y1＋y2)=kAB·2=2，即可得p=1，∴抛物线C的方程为y2=2x.]4．经过椭圆＋y2=1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于A，B两点，设O为坐标原点，则·等于(　　)A．－3 B．－C．－或－3 D．±B　[依题意，当直线l经过椭圆的右焦点(1,0)时，其方程为y－0=tan 45°(x－1)，即y=x－1，代入椭圆方程＋y2=1并整理得3x2－4x=0，解得x=0或x=，所以两个交点坐标分别为(0，－1)，，∴·=－，同理，直线l经过椭圆的左焦点时，也可得·=－.]5．(2018·太原一模)已知抛物线y2=4x的焦点为F，过焦点F的直线交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，若△AOB的面积为，则|AB|=(　　)A．6 B．8C．12 D．16A　[由题意知抛物线y2=4x的焦点F的坐标为(1,0)，易知当直线AB垂直于x轴时，△AOB的面积为2，不满足题意，所以可设直线AB的方程为y=k(x－1)(k≠0)，与y2=4x联立，消去x得ky2－4y－4k=0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以y1＋y2=，y1y2=－4，所以|y1－y2|=，所以△AOB的面积为×1×=，解得k=±，所以|AB|=|y1－y2|=6，故选A．]二、填空题6．已知斜率为2的直线经过椭圆＋=1的右焦点F1，与椭圆相交于A，B两点，则弦AB的长为________．　[由题意知，椭圆的右焦点F1的坐标为(1,0)，直线AB的方程为y=2(x－1)．由方程组消去y，整理得3x2－5x=0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系，得x1＋x2=，x1x2=0.则|AB|====.]7．(2019·沧州百校联盟)过点M(1,1)作斜率为－的直线与椭圆C：＋=1(a>b>0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于________．　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＋=1①，＋=1②，①②两式相减并整理得=－·.把已知条件代入上式得，－=－×，∴=，故椭圆的离心率e==.]8．P为椭圆＋=1上的任意一点，AB为圆C：(x－1)2＋y2=1的任一条直径，则·的取值范围是________．[3,15]　[圆心C(1,0)为椭圆的右焦点，·=(＋)·(＋)=(＋)·(－)=2－2=||2－1，显然||∈[a－c，a＋c]=[2,4]，所以·=||2－1∈[3,15]．]三、解答题9. 如图，已知椭圆＋y2=1的左焦点为F，O为坐标原点，设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围．[解]　设直线AB的方程为y=k(x＋1)(k≠0)，代入＋y2=1，整理得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－2=0.因为直线AB过椭圆的左焦点F，所以方程有两个不等实根，记A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点N(x0，y0)，则x1＋x2=－，x0=(x1＋x2)=－，y0=k(x0＋1)=，所以AB的垂直平分线NG的方程为y－y0=－(x－x0)．令y=0，得xG=x0＋ky0=－＋=－=－＋.因为k≠0，所以－<xG<0，所以点G横坐标的取值范围为.10．已知椭圆C：＋=1(a>b>0)的离心率为，其中左焦点为F(－2,0)．(1)求椭圆C的方程；(2)若直线y=x＋m与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点M在圆x2＋y2=1上，求m的值．[解]　(1)由题意，得解得∴椭圆C的方程为＋=1.(2)设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段AB的中点为M(x0，y0)，由消去y得，3x2＋4mx＋2m2－8=0，Δ=96－8m2>0，∴－2<m<2，∵x0==－，∴y0=x0＋m=，∵点M(x0，y0)在圆x2＋y2=1上，∴2＋2=1，∴m=±.B组　能力提升1．(2019·黑龙江松原模拟)已知P是圆C：x2＋y2=4上的动点，P在x轴上的射影为P′，点M满足=，当点P在圆C上运动时，点M形成的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程；(2)经过点A(0,2)的直线l与曲线E相交于点C，D，并且=，求直线l的方程．图①[解]　(1)如图①，设M(x，y)，则P(x,2y)在圆C：x2＋y2=4上．所以x2＋4y2=4，即曲线E的方程为＋y2=1.(2)经检验，当直线l⊥x轴时，题目条件不成立，所以直线l的斜率存在(如图②)．设直线l：y=kx＋2，C(x1，y1)，D(x2，y2)，联立得(1＋4k2)x2＋16kx＋12=0.Δ=(16k)2－4(1＋4k2)·12＞0，得k2＞.图②x1＋x2=－，①x1x2=.②又由=，得x1=x2，将它代入①②得k2=1，k=±1，所以直线l的斜率为k=±1，所以直线l的方程为y=±x＋2.2．(2019·河南濮阳期末)设F1，F2分别是椭圆＋y2=1的左、右焦点．设过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，且∠AOB为锐角(其中O为坐标原点)，求直线l的斜率k的取值范围．[解]　显然直线x=0不满足题设条件，可设直线l：y=kx＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立消去y，整理得x2＋4kx＋3=0，∴x1＋x2=－，x1·x2=，由Δ=(4k)2－4×3=4k2－3＞0得，k＞或k＜－.①又∠AOB为锐角，∴cos∠AOB＞0，∴·＞0，∴·=x1x2＋y1y2＞0.又y1y2=(kx1＋2)(kx2＋2)=k2x1x2＋2k(x1＋x2)＋4=＋＋4=，∴＋＞0，即k2＜4，∴－2＜k＜2.②由①②得，－2＜k＜－或＜k＜2.故k的取值范围是∪.