2020版高考数学一轮复习课后限时集训62《不等式的证明与应用》文数（含解析）北师大版 试卷

课后限时集训(六十二)　(建议用时：60分钟)A组　基础达标1．已知x＞0，y＞0，且x＋y=1，求证：·≥9.[证明]　因为x＞0，y＞0，所以1=x＋y≥2.所以xy≤.所以=1＋＋＋=1＋＋=1＋≥1＋8=9.当且仅当x=y=时，等号成立．2．已知α∈(0，π)，求证：2sin 2α≤.[证明]　2sin 2α－=4sin αcos α－==－，因为α∈(0，π)，所以sin α＞0,1－cos α＞0，又(2cos α－1)2≥0，所以2sin 2α－≤0，所以2sin 2α≤.3．若a>0，b>0，且＋=.(1)求a3＋b3的最小值；(2)是否存在a，b，使得2a＋3b=6？并说明理由．[解]　(1)由=＋≥，得ab≥2，当且仅当a=b=时等号成立．故a3＋b3≥2≥4，当且仅当a=b=时等号成立．所以a3＋b3的最小值为4.(2)由(1)知，2a＋3b≥2≥4.由于4>6，从而不存在a，b，使得2a＋3b=6.4．已知a，b，c∈R，且2a＋2b＋c=8，求(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2的最小值．[解]　由柯西不等式得(4＋4＋1)×[(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2]≥[2(a－1)＋2(b＋2)＋c－3]2，∴9[(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2]≥(2a＋2b＋c－1)2.∵2a＋2b＋c=8，∴(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2≥，当且仅当==c－3时等号成立，∴(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2的最小值是.B组　能力提升1．已知定义在R上的函数f(x)=|x＋1|＋|x－2|的最小值为a.(1)求a的值；(2)若p，q，r是正实数，且满足p＋q＋r=a，求证：p2＋q2＋r2≥3.[解]　(1)因为|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|=3，当且仅当－1≤x≤2时，等号成立，所以f(x)的最小值等于3，即a=3.(2)证明：由(1)知p＋q＋r=3，因为p2＋q2≥2pq，q2＋r2≥2qr，p2＋r2≥2pr，所以2(p2＋q2＋r2)≥2pq＋2qr＋2pr，所以3(p2＋q2＋r2)≥(p＋q＋r)2=9，则p2＋q2＋r2≥3.2．已知a，b∈(0，＋∞)，a＋b=1，x1，x2∈(0，＋∞)．(1)求＋＋的最小值；(2)求证：(ax1＋bx2)(ax2＋bx1)≥x1x2.[解]　(1)因为a，b∈(0，＋∞)，a＋b=1，x1，x2∈(0，＋∞)，所以＋＋≥3·=3·≥3·=3×=6，当且仅当==且a=b，即a=b=，且x1=x2=1时，＋＋有最小值6.(2)证明：法一：由a，b∈(0，＋∞)，a＋b=1，x1，x2∈(0，＋∞)，及柯西不等式可得：(ax1＋bx2)(ax2＋bx1)=[()2＋()2]·[()2＋()2]≥(·＋·)2=(a＋b)2=x1x2，当且仅当=，即x1=x2时取得等号．所以(ax1＋bx2)(ax2＋bx1)≥x1x2.法二：因为a，b∈(0，＋∞)，a＋b=1，x1，x2∈(0，＋∞)，所以(ax1＋bx2)(ax2＋bx1)=a2x1x2＋abx＋abx＋b2x1x2=x1x2(a2＋b2)＋ab(x＋x)≥x1x2(a2＋b2)＋ab(2x1x2)=x1x2(a2＋b2＋2ab)=x1x2(a＋b)2=x1x2，当且仅当x1=x2时，取得等号．所以(ax1＋bx2)(ax2＋bx1)≥x1x2.