2020届高考数学一轮复习单元检测07《不等式推理与证明》提升卷单元检测 理数（含解析）

单元检测七　不等式、推理与证明(提升卷)

考生注意：

1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．

2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．

3．本次考试时间100分钟，满分130分．

4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．

第Ⅰ卷(选择题　共60分)

一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．若a<b<0，则下列不等式一定不成立的是(　　)

A.< B.>

C．|a|>－b D.>

答案　A

解析　因为a<b<0，所以－＝>0，即>，A不成立；－a>－b>0，>，B成立；－a＝|a|>|b|＝－b，C成立；当a＝－3，b＝－1时，＝－，＝－1，故>，D成立．

2．不等式≤0的解集为(　　)

A.

B.

C.∪(3，＋∞)

D.∪[3，＋∞)

答案　C

解析　不等式≤0可化为

∴解得x≤－或x>3，

∴不等式≤0的解集为∪(3，＋∞)．

3．下面几种推理过程是演绎推理的是(　　)

A．某校高三有8个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班人数都超过50人

B．由三角形的性质，推测空间四面体的性质

C．平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分

D．在数列{an}中，a1＝1，an＝，由此归纳出{an}的通项公式

答案　C

解析　因为演绎推理是由一般到特殊，所以选项C符合要求，平行四边形对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分．

4．“1＋≥0”是“(x＋2)(x－1)≥0”的(　　)

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

答案　A

解析　由1＋≥0，得≥0，等价于(x－1)(x＋2)≥0，且x≠1，解得x≤－2或x>1.由(x＋2)(x－1)≥0，得x≤－2或x≥1，所以“1＋≥0”能推出“(x＋2)·(x－1)≥0”，“(x＋2)(x－1)≥0”推不出“1＋≥0”，故“1＋≥0”是“(x＋2)(x－1)≥0”的充分不必要条件，故选A.

5．若x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，则xy的最小值为(　　)

A．8B．14C．16D．64

答案　D

解析　∵x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，

∴xy＝2x＋8y≥2，∴≥8，

∴xy≥64，当且仅当x＝16，y＝4时取等号，

∴xy的最小值为64，故选D.

6．已知实数a>0，b>0，＋＝1，则a＋2b的最小值是(　　)

A．3B．2C．3D．2

答案　B

解析　∵a>0，b>0，＋＝1，

∴a＋2b＝(a＋1)＋2(b＋1)－3

＝[(a＋1)＋2(b＋1)]·－3

＝－3≥3＋2－3＝2，

当且仅当＝，即a＝，b＝时取等号，

∴a＋2b的最小值是2，故选B.

7．若直线l：ax＋by＋1＝0(a>0，b>0)把圆C：(x＋4)2＋(y＋1)2＝16分成面积相等的两部分，则＋的最小值为(　　)

A．10B．8C．5D．4

答案　B

解析　由题意知，已知圆的圆心C(－4，－1)在直线l上，所以－4a－b＋1＝0，所以4a＋b＝1.所以＋＝(4a＋b)＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当＝，即a＝，b＝时，等号成立．所以＋的最小值为8.故选B.

8．在不等式组所表示的平面区域内随机地取一点M，则点M恰好落在第二象限的概率为(　　)

A.B.C.D.

答案　C

解析　如图，不等式组所表示的平面区域为一直角三角形，其面积为×3×＝，其中在第二象限的区域为一直角三角形，其面积为×1×1＝.所以点M恰好落在第二象限的概率为＝，故选C.

9．(2018·河南名校联盟联考)已知变量x，y满足则z＝3y－x的取值范围为(　　)

A．[1,2]B．[2,5]C．[2,6]D．[1,6]

答案　D

解析　画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示(△ABC边界及其内部)．

因为z＝3y－x，所以y＝x＋z.当直线y＝x＋在y轴上的截距有最小值时，z有最小值；当在y轴上的截距有最大值时，z有最大值．由图可知，当直线y＝x＋经过点A(－1,0)，在y轴上的截距最小，zmin＝0－(－1)＝1；经过点C(0,2)时，在y轴上的截距最大，zmax＝3×2－0＝6.所以z＝3y－x的取值范围为[1,6]，故选D.

10．小王计划租用A，B两种型号的小车安排30名队友(大多有驾驶证，会开车)出去游玩，A与B两种型号的车辆每辆的载客量都是5人，租金分别为1000元/辆和600元/辆，要求租车总数不超过12辆，不少于6辆，且A型车至少有1辆，则租车所需的最少租金为(　　)

A．1000元 B．2000元

C．3000元 D．4000元

答案　D

解析　设分别租用A，B两种型号的小车x辆、y辆，所用的总租金为z元，则z＝1000x＋600y，其中x，y满足不等式组(x，y∈N)，作出可行域，如图阴影部分(包括边界)所示．

易知当直线y＝－x＋过点D(1,5)时，z取最小值，所以租车所需的最少租金为1×1000＋5×600＝4000(元)，故选D.

11．(2018·贵州贵阳一中月考)若变量x，y满足约束条件则t＝的取值范围是(　　)

A.B.C.D.

答案　B

解析　作出可行域，如图中阴影部分所示(包括边界)．

t＝表示可行域内的点与点M(3,2)连线的斜率．由图可知，当可行域内的点与点M的连线与圆x2＋y2＝4相切时斜率分别取最大值和最小值．设切线方程为y－2＝k(x－3)，即kx－y－3k＋2＝0，则有＝2，解得k＝或k＝0，所以t＝的取值范围是，故选B.

12．已知甲、乙两个容器，甲容器的容量为x(单位：L)，装满纯酒精，乙容器的容量为z(单位：L)，其中装有体积为y(单位：L)的水(x<z，y<z)．现将甲容器中的液体倒入乙容器中，直至甲容器中液体倒完或乙容器盛满，搅拌使乙容器两种液体充分混合，再将乙容器中的液体倒入甲容器中直至倒满，搅拌使甲容器中液体充分混合，如此称为一次操作，假设操作过程中溶液体积变化忽略不计．设经过n(n∈N*)次操作之后，乙容器中含有纯酒精an(单位：L)，下列关于数列{an}的说法正确的是(　　)

A．当x＝y＝a时，数列{an}有最大值

B．设bn＝an＋1－an(n∈N*)，则数列{bn}为递减数列

C．对任意的n∈N*，始终有an≤

D．对任意的n∈N*，都有an≤

答案　D

解析　对于A，若x＋y>z，每次倾倒后甲容器都有剩余，则an<，故A错误；对于B，若x＋y＝z，则每次操作后乙容器所含酒精都为，bn＝0，故B错误；对于C，若x＝1，y＝1，z＝3，则a1＝，＝，则a1>，故C错误；对于D，当n→＋∞时，甲乙两容器浓度趋于相等，当x＋y≤z时，an＝，当x＋y>z时，an<，故选D.

第Ⅱ卷(非选择题　共70分)

二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)

13．若在关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0的解集中至多包含2个整数，则实数a的取值范围是____________．

答案　[－2,4]

解析　关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0可化为(x－1)(x－a)<0.当a＝1时，(x－1)2<0，无解，满足题意；当a>1时，不等式的解集为{x|1<x<a}；当a<1时，不等式的解集为{x|a<x<1}．要使得解集中至多包含2个整数，则a≤4，且a≥－2，

所以实数a的取值范围是[－2,4]．

14．已知x≥，则的最小值为__________．

答案　2＋2

解析　设t＝x－1，则x＝t＋1，所以＝＝＝2t＋＋2≥2＋2，当且仅当t＝时等号成立，所以所求最小值为2＋2.

15．某传媒大学的甲、乙、丙、丁四位同学分别从影视配音、广播电视、公共演讲、播音主持四门课程中选修一门，且这四位同学选修的课程互不相同．下面是关于他们选课的一些信息：①甲同学和丙同学均不选播音主持，也不选广播电视；②乙同学不选广播电视，也不选公共演讲；③如果甲同学不选公共演讲，那么丁同学就不选广播电视．若这些信息都是正确的，依据以上信息可推断丙同学选修的课程是________．(填影视配音、广播电视、公共演讲、播音主持)

答案　影视配音

解析　由①知甲和丙均不选播音主持，也不选广播电视；由②知乙不选广播电视，也不选公共演讲；由③知如果甲不选公共演讲，那么丁就不选广播电视，综上得甲、乙、丙均不选广播电视，故丁选广播电视，从而甲选公共演讲，丙选影视配音，故答案为影视配音．

16．(2018·重庆调研)已知定义在R上的函数y＝f(x)为增函数，且函数y＝f(x＋1)的图象关于点(－1,0)成中心对称，若实数a，b满足不等式f(4a－a2)＋f(b2－2b－3)≤0，则当2≤a≤4时，a2＋(b－1)2的最大值为______．

答案　20

解析　易知f(x)是奇函数，又f(x)是增函数，∴4a－a2≤－b2＋2b＋3，∴|a－2|≥|b－1|，在平面直角坐标系中画出表示的平面区域，如图中阴影部分(含边界)所示，a2＋(b－1)2表示定点(0,1)到该平面区域内的动点(a，b)的距离的平方，由图可知动点(a，b)在图中点(4,3)或点(4，－1)处时，a2＋(b－1)2取得最大值，最大值为42＋22＝20.

三、解答题(本题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(12分)已知函数f(x)＝2x＋.

(1)若x∈(－1，＋∞)，求f(x)的最小值，并指出此时x的值；

(2)求不等式f(x)≥2x＋2的解集．

解　(1)由x∈(－1，＋∞)可得x＋1>0.

因为f(x)＝2x＋＝2x＋2＋－2≥4－2＝2，所以f(x)≥2，

当且仅当2x＋2＝，即x＝0时取等号．

故f(x)的最小值为2，此时x＝0.

(2)由f(x)≥2x＋2，得≥0，所以－1<x≤0，

故所求不等式的解集为(－1,0]．

18．(12分)已知函数f(x)＝(3x－1)a－2x＋b.

(1)若f＝，且a>0，b>0，求ab的最大值；

(2)当x∈[0,1]时，f(x)≤1恒成立，且2a＋3b≥3，求z＝的取值范围．

解　(1)因为f(x)＝(3a－2)x＋b－a，f＝，

所以a＋b－＝，即a＋b＝8.

因为a>0，b>0，

所以a＋b≥2，即4≥，所以ab≤16，

当且仅当a＝b＝4时等号成立，

所以ab的最大值为16.

(2)因为当x∈[0,1]时，f(x)≤1恒成立，且2a＋3b≥3，

所以且2a＋3b≥3，即

作出此不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示(含边界)．

由图可得经过可行域内的点(a，b)与点(－1，－1)的直线的斜率的取值范围是，

所以z＝＝＋1的取值范围是.

19．(13分)2019年某企业计划引进新能源汽车生产设备，已知该设备全年需投入固定成本2 500万元，每生产x百辆新能源汽车，需另投入成本C(x)万元，且C(x)＝由市场调研知，若每辆新能源汽车售价5万元，则全年内生产的新能源汽车当年能全部售完．

(1)求该企业2019年的利润L(x)万元关于年产量x(单位：百辆)的函数解析式(利润＝销售额－成本)；

(2)2019年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．

解　(1)当0<x<40时，L(x)＝5×100x－10x2－100x－2500＝－10x2＋400x－2500；

当x≥40时，L(x)＝5×100x－501x－＋4500－2500＝2000－.

所以L(x)＝

(2)当0<x<40时，L(x)＝－10(x－20)2＋1500，所以当0<x<40时，L(x)max＝L(20)＝1500；

当x≥40时，L(x)＝2000－

≤2000－2＝2000－200＝1800，

当且仅当x＝，即x＝100时取等号，

所以L(x)max＝L(100)＝1800.

因为1800>1500，所以当x＝100，即2019年年产量为100百辆时，该企业所获利润最大，且最大利润为1800万元．

20．(13分)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足4Sn与2an的等差中项为3(n∈N*)．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)是否存在正整数k，使不等式k(－1)na<Sn(n∈N*)恒成立；若存在，求出k的最大值；若不存在，请说明理由；

(3)设＝·n(n∈N*)，若集合M＝{n|bn≥λ，n∈N*}恰有4个元素，求实数λ的取值范围．

解　(1)由4Sn与2an的等差中项为3，得

4Sn＋2an＝6，①

当n≥2时，4Sn－1＋2an－1＝6，②

①－②得an＝an－1.

又因为在①式中，令n＝1，得a1＝1，所以数列{an}是以1为首项，为公比的等比数列，

所以数列{an}的通项公式为an＝(n∈N*)．

(2)原问题等价于k(－1)n2(n－1)

<(n∈N*)恒成立．

当n为奇数时，对任意正整数为k，不等式恒成立；

当n为偶数时，原不等式等价于2k2(n－1)＋n－1－3<0恒成立，

令n－1＝t,0<t≤，则原不等式等价于2kt2＋t－3<0对0<t≤恒成立，k∈N*.

因为f(t)＝2kt2＋t－3在区间上单调递增，

故f(t)max＝f＝k－<0，即k<12.综上，正整数k的最大值为11.

(3)由＝·n(n∈N*)及an＝，

得bn＝，bn＋1－bn＝，

当n＝1时，b2>b1；当n≥2时，bn＋1<bn，

且b1＝，b2＝2，b3＝，b4＝，b5＝.

由集合M＝{n|bn≥λ，n∈N*}恰有4个元素，得<λ≤，即实数λ的取值范围为.