2020届高考数学一轮复习单元检测09《直线与圆》提升卷单元检测A 理数（含解析）

单元检测九(A)　直线与圆(提升卷)

考生注意：

1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．

2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．

3．本次考试时间100分钟，满分130分．

4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．

第Ⅰ卷(选择题　共60分)

一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．已知直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是(　　)

A．1 B．－1

C．－2或－1 D．－2或1

答案　D

解析　①当a＝0时，y＝2不合题意．

②当a≠0时，令x＝0，得y＝2＋a，令y＝0，得x＝，则＝a＋2，得a＝1或a＝－2.

2．已知直线l的倾斜角为，直线l1经过点A(3,2)，B(－a，1)，且l1与l垂直，直线l2：2x＋by＋1＝0与直线l1平行，则a＋b等于(　　)

A．－4B．－2C．0D．2

答案　B

解析　由题知，直线l的斜率为1，则直线l1的斜率为－1，所以＝－1，所以a＝－4.又l1∥l2，所以－＝－1，b＝2，所以a＋b＝－4＋2＝－2.故选B.

3．坐标原点(0,0)关于直线x－2y＋2＝0对称的点的坐标是(　　)

A. B.

C. D.

答案　A

解析　直线x－2y＋2＝0的斜率k＝，设坐标原点(0,0)关于直线x－2y＋2＝0对称的点的坐标是(x0，y0)，依题意可得解得即所求点的坐标是.故选A.

4．过点A(2019，a)和B(2020，b)的直线与直线l：x＋y＋m＝0垂直，则|AB|的值为(　　)

A．4 B．2

C. D．与m的取值有关

答案　C

解析　由题意得kAB＝＝1，所以b－a＝1，所以|AB|＝＝.故选C.

5．若直线ax－by＋1＝0平分圆C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的周长，则ab的取值范围是(　　)

A. B.

C. D.

答案　D

解析　∵把圆的方程化为标准方程得(x＋1)2＋(y－2)2＝4，∴圆心坐标为(－1,2)，根据题意可知，圆心在直线ax－by＋1＝0上，∴－a－2b＋1＝0，即a＝1－2b，ab＝(1－2b)b＝－2b2＋b＝－22＋≤，当b＝时，ab取得最大值.

6．已知点A(－3，－4)，B(6,3)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值等于(　　)

A. B．－

C．－或－ D．－或

答案　C

解析　由已知可得＝，化简得|3a＋3|＝|6a＋4|，解得a＝－或a＝－.

7．已知圆O1的方程为x2＋y2＝1，圆O2的方程为(x＋a)2＋y2＝4，如果这两个圆有且只有一个公共点，那么实数a的所有取值构成的集合是(　　)

A．{1，－1,3，－3} B．{5，－5,3，－3}

C．{1，－1} D．{3，－3}

答案　A

解析　由题意得两圆心之间的距离d＝|a|＝2＋1＝3或d＝|a|＝2－1＝1，所以a＝1，－1,3，－3.故选A.

8．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线l：y＝kx＋2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最小值是(　　)

A．－B．－C．－D．－

答案　A

解析　由圆C的方程知其圆心为(4,0)，半径为1，圆心到直线l的距离d＝，由题意知，当距离d≤2时，满足条件，∴≤2，解得－≤k≤0，∴直线l的斜率k的最小值为－.

9．已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，圆C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为(　　)

A．5－4 B.－1

C．6－2 D.

答案　A

解析　圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标为A(2，－3)，半径为1，圆C2的圆心坐标为(3,4)，半径为3，|PM|＋|PN|的最小值为圆A与圆C2的圆心距减去两个圆的半径，即－1－3＝5－4.

10．已知圆C：x2＋y2－2x－4y＋a＝0，圆C与直线x＋2y－4＝0相交于A，B两点，且OA⊥OB(O为坐标原点)，则实数a的值为(　　)

A．－B.C.D.

答案　C

解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由于OA⊥OB，

所以x1x2＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋4＝0.(*)

联立直线和圆的方程，消去y得5x2－8x＋4a－16＝0，

x1＋x2＝，x1x2＝，

代入(*)式得a＝.

11．已知直线x＋y－k＝0(k>0)与圆x2＋y2＝4交于不同的两点A，B，O是坐标原点，且|＋|≥||，则实数k的取值范围是(　　)

A．(，＋∞)   B．[，＋∞)

C．[，2)   D．[，2)

答案　C

解析　设AB的中点为D，则OD⊥AB.因为|＋|≥||，所以|2|≥||，所以||≤2||.因为||2＋||2＝4，所以||2≥1.因为直线x＋y－k＝0(k>0)与圆x2＋y2＝4交于不同的两点，所以||2<4，所以1≤||2<4，即1≤2<4，解得≤k<2，故选C.

12．对于函数y＝f(x)，y＝g(x)，若存在x0，使f(x0)＝－g(－x0)，则称M(x0，f(x0))，N(－x0，g(－x0))是函数f(x)与g(x)的一对“雷点”．已知f(x)＝，g(x)＝kx＋1，若函数f(x)与g(x)恰有一对“雷点”，则实数k的取值范围为(　　)

A. B.

C.∪ D.∪

答案　C

解析　令y＝，整理得(x＋2)2＋y2＝1(y≥0)，它表示圆心为(－2,0)，半径为1的半圆(x轴上方)，作出这个半圆及其关于原点对称的半圆，如图所示．

由g(x)＝kx＋1知，g(x)的图象为过定点P(0,1)的直线l，易求得直线l与y轴右侧半圆相切时的斜率k＝－，直线PA，PB的斜率分别为－1，－，故实数k的取值范围为∪.故选C.

第Ⅱ卷(非选择题　共70分)

二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)

13．已知a≠0，直线ax＋(b＋2)y＋4＝0与直线ax＋(b－2)y－3＝0互相垂直，则ab的最大值为________．

答案　2

解析　由两直线垂直可得a2＋(b＋2)(b－2)＝0，

即a2＋b2＝4，∴ab≤＝2，

当且仅当a＝b时，(ab)max＝2.

14．当点P(3,2)到直线mx－y＋1－2m＝0的距离最大时，实数m的值为________．

答案　－1

解析　直线mx－y＋1－2m＝0过定点Q(2,1)，所以当PQ与直线垂直时，点P(3,2)到直线mx－y＋1－2m＝0的距离最大，即m·＝－1，所以m＝－1.

15．已知点Q(－1，m)，P是圆C：(x－a)2＋(y－2a＋4)2＝4上任意一点，若线段PQ的中点M的轨迹方程为x2＋(y－1)2＝1，则实数m的值为________．

答案　4

解析　设P(x，y)，线段PQ的中点为M(x0，y0)，则因为点M(x0，y0)在圆x2＋(y－1)2＝1上，所以2＋2＝1，即(x－1)2＋(y＋m－2)2＝4.将此方程与方程(x－a)2＋(y－2a＋4)2＝4比较，可得解得m＝4.

16．已知在平面直角坐标系xOy中，圆O1：x2＋y2＝9，圆O2：x2＋(y－6)2＝16，若在圆O2内存在一定点M，过点M的直线l被圆O1，O2截得的弦分别为AB，CD，且＝，则定点M的坐标为________．

答案　

解析　因为＝总成立，且知过两圆的圆心的直线截两圆弦长之比是＝，所以点M在两圆圆心的连线上．因为圆心连线的方程为x＝0，所以可设M(0，y0)，当直线l的斜率不存在时，显然满足题意，当直线l的斜率存在时，设其斜率为k，直线l的方程为y＝kx＋y0，因为＝，所以＝，解得y0＝或y0＝－18(此时点M在圆O2外，舍去)，故定点M的坐标为.

三、解答题(本题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(12分)已知直线l的方程为(2－m)x＋(2m＋1)y＋3m＋4＝0，其中m∈R.

(1)求证：直线l过定点；

(2)当m变化时，求点Q(3,4)到直线l的距离的最大值；

(3)若直线l分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，求△AOB面积的最小值及此时直线l的方程．

(1)证明　直线l的方程可化为(2x＋y＋4)＋m(－x＋2y＋3)＝0，

由题意知，其对任意m都成立，

所以解得

所以直线l过定点(－1，－2)．

(2)解　由题意可知，点Q与定点(－1，－2)的距离就是所求最大值，即＝2.

(3)解　因为直线l分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，所以可设直线l的方程为y＋2＝k(x＋1)，k<0，

则A，B(0，k－2)，

S△AOB＝|k－2|＝(2－k)＝2＋＋≥2＋2＝4，

当且仅当＝，即k＝－2时取等号，故△AOB面积的最小值为4，此时直线l的方程为2x＋y＋4＝0.

18．(12分)一个圆和已知圆x2＋y2－2x＝0外切，并与直线l：x＋y＝0相切于点M(3，－)，求该圆的方程．

解　已知圆方程化为(x－1)2＋y2＝1，其圆心P(1,0)，半径为1.

设所求圆的圆心为C(a，b)．

则半径为，

因为两圆外切，|PC|＝1＋，

从而＝1＋，①

又所求圆与直线l：x＋y＝0相切于M(3，－)，

所以直线CM⊥l，kCMkl＝－1，

于是－·＝－1，

即b＝a－4，②

将②代入①化简，得a－6＋2|a－3|＝0，

解得a＝0或a＝4.

当a＝0时，b＝－4，

所求圆方程为x2＋(y＋4)2＝36，

当a＝4时，b＝0，

所求圆方程为(x－4)2＋y2＝4.

19．(13分)已知曲线C上任意一点到原点的距离与到E(3，－6)的距离之比均为1∶2.

(1)求曲线C的方程；

(2)设点P(1，－2)，过点P作两条相异直线分别与曲线C相交于A，B两点，且直线PA和直线PB的倾斜角互补，求证：直线AB的斜率为定值．

(1)解　设曲线C上的任意一点为Q(x，y)，

由题意得＝，

所以曲线C的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝20.

(2)证明　由题意知，直线PA和直线PB的斜率存在，且互为相反数，点P(1，－2)在曲线C上，

故可设PA：y＋2＝k(x－1)，

由

得(1＋k2)x2＋2(1－k2－4k)x＋k2＋8k－3＝0，

因为点P的横坐标1一定是该方程的解，

故可得xA＝，

同理可得，xB＝，

所以kAB＝＝

＝＝－，

故直线AB的斜率为定值－.

20．(13分)已知圆O：x2＋y2＝4，直线l：y＝kx－4.

(1)若直线l与圆O交于不同的两点A，B，当∠AOB＝时，求k的值；

(2)若k＝1，P是直线l上的动点，过P作圆O的两条切线PC，PD，切点为C，D，问：直线CD是否过定点？若过定点，则求出定点坐标；若不过定点，请说明理由；

(3)若EF，GH为圆O：x2＋y2＝4的两条相互垂直的弦，垂足为M(1，)，求四边形EGFH的面积S的最大值．

解　(1)设圆O的半径为r，∵∠AOB＝，

∴点O到直线l的距离d＝r，

∴＝×2，解得k＝±.

(2)由题意可知O，P，C，D四点在以OP为直径的圆上，设P(t，t－4)，则该圆的方程为x(x－t)＋y[y－(t－4)]＝0，即x2－tx＋y2－(t－4)y＝0.

∵C，D在圆O：x2＋y2＝4上，

∴直线CD的方程为tx＋(t－4)y－4＝0，即(x＋y)t－4y－4＝0.

由得

∴直线CD过定点(1，－1)．

(3)设圆心O到直线EF，GH的距离分别为d1，d2，则d＋d＝|OM|2＝3，|EF|＝2，|GH|＝2，

∴S＝|EF||GH|＝2≤4－d＋4－d＝8－3＝5，当且仅当4－d＝4－d，d＋d＝3，即d1＝d2＝时取等号，

∴四边形EGFH的面积S的最大值为5.